% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-1.tex && latex    2009-1-C1-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-1.tex && pdflatex 2009-1-C1-prova-1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C1-prova-1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C1-prova-1.ps 2009-1-C1-prova-1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C1-prova-1.ps 2009-1-C1-prova-1.dvi && ps2pdf 2009-1-C1-prova-1.ps 2009-1-C1-prova-1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C1-prova-1.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral I

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Primeira prova - 19/maio/2009}

}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 3.5 pontos). {\bf Fato:} um polinômio de
grau 2 tem no máximo uma corcova, um polinômio de grau 3 no máximo 2,
um polinômio de grau 4 no máximo 3, e assim por diante (veja a
figura abaixo).

\vskip 2cm

Seja:
%
$$f(x) = \frac14 x^4 - \frac13x^3 - x^2 -2$$



a) (0.5 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f$
no ponto $(-1, f(-1))$.

b) (1.5 pontos) Encontre todos os pontos do gráfico de $f$ nos quais a
reta tangente é horizontal.

c) (0.5 pontos) Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to
+\infty} f(x)$.

d) (1.0 ponto) Trace o gráfico da função $f$.



\bsk
\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 2.5 pontos). Seja $f(x) = |x^3|$.

a) (0.1 ponto) Para que valores de $x$ temos $f(x) = x^3$?

b) (0.1 ponto) Para que valores de $x$ temos $f(x) = -x^3$?

c) (0.3 pontos) Encontre uma função $g$, definida por casos (sem usar
``$|\;|$''!), tal que $g$ seja igual a $f$.
%
% Complete a definição abaixo para que a função $g$ seja igual a $f$.
%
$$g(x) = \begin{cases}
  \_\_\_   & \text{quando \_\_\_} \\
  \_\_\_   & \text{quando \_\_\_} \\
  \end{cases}
$$

{\bf Fato:} se duas funções deriváveis, $g$ e $h$, coincidem num
intervalo $(a,b)$, então as suas derivadas coincidem no intervalo
$(a,b)$.

d) (2.0 pontos) Calcule a derivada de $f$ e trace o seu gráfico.


\newpage
% \bsk


\noindent {\bf (3)} (Total: 2.0 pontos). Calcule:

a) $\ddth \, \sen(2\,\sen 3\theta)$

b) $\ddx \, %\displaystyle
           \frac{(x-1)^4(x-2)^5}{x}$

c) $(\ddx (\sen 2x \cos 2x))(\frac{\pi}{4})$

d) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{20}-1}{x^{10}-1}$


\bsk
\bsk
\bsk


\noindent {\bf (4)} (Total: 2.0 pontos). Considere a curva $y = \sqrt x$.

a) (0.5 ponto) Calcule as equações das retas tangentes a esta curva em
$x=1$ e em $x=4$, e trace um gráfico com a curva e estas duas retas
tangentes.

b) (1.5 pontos) Quando $\ee$ é pequeno, $f(x_0+\ee) \approx f(x_0) +
f'(x_0)\ee$. Use as duas retas tangentes para obter duas aproximações
para $\sqrt{3.5}$ e compare os valores obtidos com o valor real:
$\sqrt{3.5} = 1.8708...$.


% (sqrt 3.9)
% (sqrt 3.5)
% (* 2.2 2.2)

\bsk
\bsk

% \hrule
\bsk
\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{10pt}


Justifique cada uma das suas respostas.

Boa prova!

\msk

\normalsize

Algumas fórmulas:

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$



\msk

(5) $\ddx 1 = 0$

(6) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

(7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

(8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

(9) $\ddx e^x = e^x$

(10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$




%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
