% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-2.tex && latex    2009-1-C1-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-2.tex && pdflatex 2009-1-C1-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C1-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C1-prova-2.ps 2009-1-C1-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C1-prova-2.ps 2009-1-C1-prova-2.dvi && ps2pdf 2009-1-C1-prova-2.ps 2009-1-C1-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C1-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C1-prova-2.pdf") 'over)

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C1-prova-2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral I

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Segunda prova - 29/junho/2009}

}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 4.0 pontos). Seja $f:[2,6] \to \R$ uma
função contínua com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass
e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é
um intervalo fechado.

% Por Weirstrass existem c e d em (2,6) tais que f(x) está sempre em
% [f(c), f(d)]. Pelo TVI cada valor no intervalo [f(c), f(d)] é
% atingido.

\msk

\noindent {\bf (2)} (Total: 3.0 pontos). Use o Teorema do Anulamento
para mostrar que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos duas
raízes em $[0, 2\pi]$.

% f é contínua, f(0)=1, f(\pi)<0, f(2\pi)>0. Usando o teorema do
% anulamento duas vezes conseguimos uma raiz em [0,\pi] e uma em
% [\pi,2\pi].

\msk

\noindent {\bf (3)} (Total: 3.0 pontos). Seja $f: \R \to \R$ uma
função derivável cuja derivada é sempre positiva e tal que $f(0)=1$ e
$f(4)=2$. Use o TVM para mostrar que $f(2) \neq 2$.

% Se aplicarmos o TVM ao intervalo [0,2] conseguimos um ponto x com
% f'(x)<0, o que é absurdo.

\msk

\noindent {\bf (4)} (Total: 1.0 pontos {\sl a serem somados na nota da
  P1}, pra compensar a questão sobre limites no infinito). Seja $f(x)
= e^{x^2-2x}$. Encontre todos os pontos nos quais o gráfico de $f$ é
horizontal, e depois diga em que intervalos a $f$ é crescente e em que
intervalos ela é decrescente.

\bsk
\bsk

Escreva as suas respostas {\sl com todos os detalhes possíveis}!!!!!

Boa prova!



% \bsk

% \vskip 2cm


\setlength{\parindent}{10pt}


% Justifique cada uma das suas respostas.

\newpage



\def\teo#1{\ssk \indent {\bf #1:}}
\long\def\teos#1#2#3#4{
 \par{\sl #1:}
 #2
 \par{\sl #3:}
 #4
 % \msk
}

{\bf Teoremas:}

\teos{Teorema do anulamento}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $f(a)$ e $f(b)$ são diferentes de 0 e
têm sinais opostos então $f$ atinge 0 em algum ponto do intervalo
aberto $(a,b)$ --- isto é, existe $xÝ(a,b)$ tal que $f(x)=0$.
    }{Teorema do valor intermediário}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $y$ está entre $f(a)$ e $f(b)$ ---
isto é, $yÝ[f(a),f(b)]$ (se $f(a) \le f(b)$) ou $yÝ[f(b),f(a)]$ (se
$f(b) \le f(a)$) --- então existe $xÝ[a,b]$ tal que $f(x)=y$.
}

\teos{Teorema da limitação}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então a sua imagem é limitada --- isto
é, existem $m,M \in \R$ tais que para todo $xÝ[a,b]$ vale $m \le f(x)
\le M$.
    }{Teorema de Weierstrass}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então $f$ atinge o seu valor mínimo e o
seu valor máximo em $[a,b]$ --- isto é, existem $c,d \in [a,b]$ tais
que para todo $xÝ[a,b]$ vale $f(c) \le f(x) \le f(d)$.
}

\teos{Teorema de Rolle}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ e além disso $f(a)=f(b)=0$ então existe $x$ em $(a,b)$
tal que $f'(x)=0$.
    }{Teorema do valor médio}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ então existe $x$ em $(a,b)$ tal que $f'(x) =
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
}

\msk

Importante: quando você for usar algum dos teoremas acima dê todos os
detalhes sobre o que você está fazendo --- diga quem é a função $f$,
quem são os pontos $a$ e $b$, explique por que a $f$ é contínua e/ou
derivável no intervalo, etc...

\msk

% \normalsize

Algumas fórmulas:

% {\bf Fórmulas:}

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

% \msk

% (5) $\ddx 1 = 0$

(5) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

% (7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

% (8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

(6) $\ddx e^x = e^x$

% (10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$



\newpage

\noindent {\bf (1)} (Total: 4.0 pontos). Seja $f:[2,6] \to \R$ uma
função contínua com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass
e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é
um intervalo fechado.

{\bf Gabarito:}

Pelo teorema de Weierstrass existem $c,d Ý [2,6]$ tais que $ýxÝ[2,6].\,
f(c) \le f(x) \le f(d)$.

Pelo teorema de Weierstrass se $y>f(d)$ então $y$ não tem preimagem em
$[2,6]$.

Pelo TVI se $yÝ[f(c),f(d)]$ então $y$ tem preimagem entre $c$ e $d$, e
portanto tem preimagem em $[2,6]$.

Pelo teorema de Weierstrass se $y<f(c)$ então $y$ não tem preimagem em
$[2,6]$.

\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 3.0 pontos). Use o Teorema do Anulamento
para mostrar que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos duas
raízes em $[0, 2\pi]$.

% f é contínua, f(0)=1, f(\pi)<0, f(2\pi)>0. Usando o teorema do
% anulamento duas vezes conseguimos uma raiz em [0,\pi] e uma em
% [\pi,2\pi].

{\bf Gabarito:}

$f(0) = 1$, $f(\pi) = -1-\frac{\pi}{10} < 0$, $f(2\pi) = 1 -
\frac{2\pi}{10} \approx 1 - 0.628... > 0$. Usando o teorema do
anulamento em $[0,\pi]$ encontramos uma raiz em $(0,\pi)$, e usando de
novo em $[\pi,2\pi]$ encontramos outra em $(\pi, 2\pi)$.

\bsk

\noindent {\bf (3)} (Total: 3.0 pontos). Seja $f: \R \to \R$ uma
função derivável cuja derivada é sempre positiva e tal que $f(0)=1$ e
$f(4)=2$. Use o TVM para mostrar que $f(2) \neq 2$.

{\bf Gabarito:}

Se $f(2)=2$ e aplicamos o TVM ao intervalo $[2,4]$ encontramos um $x
\in (2,4)$ com $f'(x) = 0$; mas isto contradiz a hipótese de que a
derivada é sempre positiva, então $f(2) \neq 2$.

\bsk

\noindent {\bf (4)} (Total: 1.0 pontos {\sl a serem somados na nota da
  P1}, pra compensar a questão sobre limites no infinito). Seja $f(x)
= e^{x^2-2x}$. Encontre todos os pontos nos quais o gráfico de $f$ é
horizontal, e depois diga em que intervalos a $f$ é crescente e em que
intervalos ela é decrescente.

{\bf Gabarito:}

$f'(x) = (2x-2) e^{x^2-2x}$, que tem o mesmo sinal que $2x-2$ e $x-1$;
isto é negativo em $x<1$, 0 em $x=1$, positivo em $x>1$. Daí $f(x)$
tem tangente horizontal só em $x=1$, é decrescente em $x<1$ e
crescente em $x>1$.




%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
