% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VR1.tex && latex    2009-1-C1-prova-VR1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VR1.tex && pdflatex 2009-1-C1-prova-VR1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C1-prova-VR1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C1-prova-VR1.ps 2009-1-C1-prova-VR1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C1-prova-VR1.ps 2009-1-C1-prova-VR1.dvi && ps2pdf 2009-1-C1-prova-VR1.ps 2009-1-C1-prova-VR1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.pdf") 'over)

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C1-prova-VR1.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral I

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Prova de reposição 1 - 01/julho/2009}

}

\bsk
\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")
% (code-djvu "spivakcalculus" "~/books/__analysis/spivak__calculus.djvu")

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 209) "48.")
%

\noindent {\bf (1)} (Total: 0.5 pontos). O que está errado com o
seguinte uso da regra de l'Hôpital?
%
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+x+2}{x^2-3x+2} =
  \lim_{x \to 1} \frac{3x^2+1}{2x-3} =
  \lim_{x \to 1} \frac{6x}{2} =
  3
$$
%
Diga qual é o erro e encontre o limite correto.

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 208) "36.")

\msk
% \msk

\noindent {\bf (2)} (Total: 4.0 pontos). Seja $f_m(x)= x^3 - 3x + m$.

a) (0.5 pts) Calcule $f_0(10)$, $f_0(100)$, $f_0(1000)$. Baseando-se
nestes valores diga qual deve ser o valor do limite $\lim_{x \to +}
f_0(x)$. Faça o mesmo para $f_0(-10)$, $f_0(-100)$, $f_0(-1000)$ e
$\lim_{x \to -} f_0(x)$.

b) (0.5 pts) Encontre todos pontos onde a reta tangente ao gráfico de
$f_0(x)$ é horizontal.

c) (0.5 pts) Trace o gráfico de $f_0(x)$.

d) (0.5 pts) Trace os gráficos de $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$,
$f_{-1}(x)$. Quantas raízes cada uma destas funções têm no intervalo
$[0,1]$?

e) (2.0 pts) Use o TVM para mostrar formalmente que nenhuma das
funções $f_m(x)$ pode ter mais de uma raiz no intervalo $[0,1]$.

\msk
% \msk


\noindent {\bf (3)} (Total: 4.0 pontos). Sejam $f(x) = e^x$ e $g(x) =
a + bx + cx^2 +dx^3$.

a) (0.5 pts) Calcule $f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), f''''(0)$.

b) (1.0 pts) Calcule $g(0), g'(0), g''(0), g'''(0), g''''(0)$.

c) (1.0 pts) Encontre $a$, $b$, $c$, $d$ que façam com que
$f(0)=g(0)$, $f'(0)=g'(0)$, $\ldots$, $f'''(0)=g'''(0)$. Quando $a, b,
c, d$ têm estes valores quem é a função $g(x)$?

d) (1.5 pts) Mostre que as funções $g(x)$ e $g'(x)$ não têm nenhuma
raiz no intervalo $[0,\infty]$.


\msk \noindent {\bf (4)} (Total: 1.5 pontos). Calcule $f'(x)$ para:

% a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$

a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$

b) (1.0 pts) $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5$

% d) (1.0 pts) $f(x) = (\sen (x^2 + \sen 3x))^4$


% Por Weirstrass existem c e d em (2,6) tais que f(x) está sempre em
% [f(c), f(d)]. Pelo TVI cada valor no intervalo [f(c), f(d)] é
% atingido.

% \msk

% f é contínua, f(0)=1, f(\pi)<0, f(2\pi)>0. Usando o teorema do
% anulamento duas vezes conseguimos uma raiz em [0,\pi] e uma em
% [\pi,2\pi].

% \msk

% Se aplicarmos o TVM ao intervalo [0,2] conseguimos um ponto x com
% f'(x)<0, o que é absurdo.

% \msk

% \bsk
\bsk

Escreva as suas respostas {\sl com todos os detalhes possíveis}!!!!!

Boa prova!



% \bsk

% \vskip 2cm


\setlength{\parindent}{10pt}


% Justifique cada uma das suas respostas.

\newpage



\def\teo#1{\ssk \indent {\bf #1:}}
\long\def\teos#1#2#3#4{
 \par{\sl #1:}
 #2
 \par{\sl #3:}
 #4
 % \msk
}

{\bf Teoremas:}

\teos{Teorema do anulamento}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $f(a)$ e $f(b)$ são diferentes de 0 e
têm sinais opostos então $f$ atinge 0 em algum ponto do intervalo
aberto $(a,b)$ --- isto é, existe $xÝ(a,b)$ tal que $f(x)=0$.
    }{Teorema do valor intermediário}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $y$ está entre $f(a)$ e $f(b)$ ---
isto é, $yÝ[f(a),f(b)]$ (se $f(a) \le f(b)$) ou $yÝ[f(b),f(a)]$ (se
$f(b) \le f(a)$) --- então existe $xÝ[a,b]$ tal que $f(x)=y$.
}

\teos{Teorema da limitação}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então a sua imagem é limitada --- isto
é, existem $m,M \in \R$ tais que para todo $xÝ[a,b]$ vale $m \le f(x)
\le M$.
    }{Teorema de Weierstrass}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então $f$ atinge o seu valor mínimo e o
seu valor máximo em $[a,b]$ --- isto é, existem $c,d \in [a,b]$ tais
que para todo $xÝ[a,b]$ vale $f(c) \le f(x) \le f(d)$.
}

\teos{Teorema de Rolle}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ e além disso $f(a)=f(b)=0$ então existe $x$ em $(a,b)$
tal que $f'(x)=0$.
    }{Teorema do valor médio}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ então existe $x$ em $(a,b)$ tal que $f'(x) =
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
}

\msk

Importante: quando você for usar algum dos teoremas acima dê todos os
detalhes sobre o que você está fazendo --- diga quem é a função $f$,
quem são os pontos $a$ e $b$, explique por que a $f$ é contínua e/ou
derivável no intervalo, etc...

\msk

% \normalsize

Algumas fórmulas:

% {\bf Fórmulas:}

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

% \msk

% (5) $\ddx 1 = 0$

(5) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

% (7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

% (8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

(6) $\ddx e^x = e^x$

% (10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$



\newpage

\noindent {\bf (1)} (Total: 0.5 pontos). O que está errado com o
seguinte uso da regra de l'Hôpital?
%
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+x+2}{x^2-3x+2} =
  \lim_{x \to 1} \frac{3x^2+1}{2x-3} =
  \lim_{x \to 1} \frac{6x}{2} =
  3
$$
%
Diga qual é o erro e encontre o limite correto.

{\bf Gabarito:}

$\lim_{x \to 1} x^3+x+2 = 4$ e $\lim_{x \to 1} x^2-3x+2 = 0$; não
podemos aplicar l'Hôpital, e o limite é $$.

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 208) "36.")

\bsk
% \msk

\noindent {\bf (2)} (Total: 4.0 pontos). Seja $f_m(x)= x^3 - 3x + m$.

a) (0.5 pts) Calcule $f_0(10)$, $f_0(100)$, $f_0(1000)$. Baseando-se
nestes valores diga qual deve ser o valor do limite $\lim_{x \to +}
f_0(x)$. Faça o mesmo para $f_0(-10)$, $f_0(-100)$, $f_0(-1000)$ e
$\lim_{x \to -} f_0(x)$.

b) (0.5 pts) Encontre todos pontos onde a reta tangente ao gráfico de
$f_0(x)$ é horizontal.

c) (0.5 pts) Trace o gráfico de $f_0(x)$.

d) (0.5 pts) Trace os gráficos de $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$,
$f_{-1}(x)$. Quantas raízes cada uma destas funções têm no intervalo
$[0,1]$?

e) (2.0 pts) Use o TVM para mostrar formalmente que nenhuma das
funções $f_m(x)$ pode ter mais de uma raiz no intervalo $[0,1]$.

{\bf Gabarito:}

a) (0.5 pts) $f_0(10) = 970$,

$f_0(100) = 999700$,

$f_0(1000) = 999997000$,

$\lim_{x \to +} f_0(x) = +$;

$f_0(-10) = -970$,

$f_0(-100) = -999700$,

$f_0(-1000) = -999997000$,

$\lim_{x \to -} f_0(x) = -$.

% (defun f (x) (+ (* x x x) (* -3 x) 0))
% (defun ff (x) (format "\$f_0(%d) = %d\$, " x (f x)))
% (mapcar 'f '(10.0 100.0 1000.0 -10.0 -100.0 -1000.0))
% (mapconcat 'ff '(10.0 100.0 1000.0 -10.0 -100.0 -1000.0) "")

b) (0.5 pts) $f'_m(x) = 3x^2 - 3$, que zera exatamente em $x=\pm1$.

c) (0.5 pts) Gráfico de $x^3 - 3x$; ele passa por (-2,-2), (-1,2),
(0,0), (1,-2), (2,2).

d) (0.5 pts) Gráficos de $x^3 - 3x - m$ para $m \in \{1, 2, 3, -1\}$;
número de raízes em [0,1]: $f_1(x) \mto 1$, $f_2(x) \mto 1$, $f_3(x)
\mto 0$, $f_{-1}(x) \mto 0$.

e) (2.0 pts) Se as raízes são $a,bÝ[0,1]$ com $f(a)=f(b)=0$ e $a<b$
então pelo teorema de Rolle existe em $cÝ(a,b) \subset (0,1)$ com
$f'(c)=0$, mas $f'$ só zera em -1 e 1.



\newpage

\msk
% \msk


\noindent {\bf (3)} (Total: 4.0 pontos). Sejam $f(x) = e^x$ e $g(x) =
a + bx + cx^2 +dx^3$.

a) (0.5 pts) Calcule $f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), f''''(0)$.

b) (1.0 pts) Calcule $g(0), g'(0), g''(0), g'''(0), g''''(0)$.

c) (1.0 pts) Encontre $a$, $b$, $c$, $d$ que façam com que
$f(0)=g(0)$, $f'(0)=g'(0)$, $\ldots$, $f'''(0)=g'''(0)$. Quando $a, b,
c, d$ têm estes valores quem é a função $g(x)$?

d) (1.5 pts) Mostre que as funções $g(x)$ e $g'(x)$ não têm nenhuma
raiz no intervalo $[0,\infty]$.

{\bf Gabarito:}

a) (0.5 pts) $f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f''''(0) = 1$.

b) (1.0 pts) $g(0) = a$, $g'(0) = b$, $g''(0) = 2c$, $g'''(0) = 6d$,
$g''''(0) = 0$.

c) (1.0 pts) $a=1$, $b=1$, $c=\frac12$, $d=\frac16$, $g(x) = 1 + x +
\frac12 x^2 + \frac16 x^3$

d) (1.5 ps) $g(x)$ e $g'(x)$ são somas de monômios que são
não-descrescentes em $[0,)$, e são crescentes. Como $g(0)=g'(0)=1$
  elas não podem cair e ter raízes positivas.


\bsk

\noindent {\bf (4)} (Total: 1.5 pontos). Calcule $f'(x)$ para:

a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$

b) (1.0 pts) $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5$

{\bf Gabarito:}

a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$:

   $\begin{array}[t]{rcl}
    f'(x) &=& \frac12 (1 - x^2)^{-1/2} (1 - x^2)' \\
          &=& \frac12 (1 - x^2)^{-1/2} (-2x)      \\
          &=& -(1 - x^2)^{-1/2} x                 \\
          &=& -x/\sqrt{1 - x^2}                   \\
    \end{array}
  $

b) (1.0 pts)

   $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5 = (g(x) + x)^5$

   $g(x) =  ((x^2 + x)^3 + x)^4        = (h(x) + x)^4$

   $h(x) =   (x^2 + x)^3$

   $h'(x) = 3(x^2 + x)(2x + 1)$

   $g'(x) = 4(h(x) + x)^3 (h'(x) + 1)$

   $f'(x) = 5(g(x) + x)^4 (g'(x) + 1)$

   $f'(x) = 5(((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^4 (4(h(x) + x)^3 (h'(x) + 1) + 1)$

   $f'(x) = 5(((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^4 (4((x^2 + x)^3 + x)^3 (3(x^2 + x)(2x + 1) + 1) + 1)$






%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
