% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VR2.tex && latex    2009-1-C1-prova-VR2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VR2.tex && pdflatex 2009-1-C1-prova-VR2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C1-prova-VR2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C1-prova-VR2.ps 2009-1-C1-prova-VR2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C1-prova-VR2.ps 2009-1-C1-prova-VR2.dvi && ps2pdf 2009-1-C1-prova-VR2.ps 2009-1-C1-prova-VR2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C1-prova-VR2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral I

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Prova de reposição 2 - 06/julho/2009}

}

\bsk
\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")
% (code-djvu "spivakcalculus" "~/books/__analysis/spivak__calculus.djvu")

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 181) "10.")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 205) "19." "Graph of the {\\sl derivative}")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 209) "44." "\\sqrt{66}")

\noindent {\bf (1)} (Total: 1.0 pontos). Calcule a segunda derivada de
$e^{e^{f(x)}}$.

\msk
\msk

\noindent {\bf (2)} (Total: 1.0 pontos). Calcule a derivada de
$f(x)^{g(x)} = (e^{\ln f(x)})^{g(x)} = e^{(\ln f(x))g{x}}$.

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 208) "36.")
\msk
\msk
% \msk

\noindent {\bf (3)} (Total: 2.5 pontos). Sejam $f(x) = \cos x$ e $g(x)
= a + bx + cx^2 +dx^3 + ex^4$ (obs: aqui o `$e$' é uma constante
qualquer, não necessariamente $2.71828...$).

a) (0.5 pts) Calcule $f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), f''''(0),
f'''''(0)$.

b) (1.0 pts) Calcule $g(0), g'(0), g''(0), g'''(0), g''''(0),
g'''''(0)$.

c) (1.0 pts) Encontre $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ que façam com que
$f(0)=g(0)$, $f'(0)=g'(0)$, $\ldots$, $f''''(0)=g''''(0)$. Quando $a,
b, c, d, e$ têm estes valores quem é a função $g(x)$?

% d) (1.5 pts) Mostre que as funções $g(x)$ e $g'(x)$ não têm nenhuma
% raiz no intervalo $[0,\infty]$.


\msk
\msk

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 204) "14." "reciprocal")
%
\noindent {\bf (4)} (Total: 2.0 pontos). Prove que para todo $x>0$
temos $x + \frac 1x > 2$.

\msk
\msk


\noindent {\bf (5)} (Total: 3.5 pontos). Mostre que a função $f(x) =
\cos x - x^2$ tem exatamente duas raízes.


% \msk \noindent {\bf (4)} (Total: 1.5 pontos). Calcule $f'(x)$ para:
% 
% % a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$
% 
% a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$
% 
% b) (1.0 pts) $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5$
% 
% % d) (1.0 pts) $f(x) = (\sen (x^2 + \sen 3x))^4$


% Por Weirstrass existem c e d em (2,6) tais que f(x) está sempre em
% [f(c), f(d)]. Pelo TVI cada valor no intervalo [f(c), f(d)] é
% atingido.

% \msk

% f é contínua, f(0)=1, f(\pi)<0, f(2\pi)>0. Usando o teorema do
% anulamento duas vezes conseguimos uma raiz em [0,\pi] e uma em
% [\pi,2\pi].

% \msk

% Se aplicarmos o TVM ao intervalo [0,2] conseguimos um ponto x com
% f'(x)<0, o que é absurdo.

% \msk

% \bsk
\bsk

Escreva as suas respostas {\sl com todos os detalhes possíveis}!!!!!

Boa prova!



% \bsk

% \vskip 2cm


\setlength{\parindent}{10pt}


% Justifique cada uma das suas respostas.

\newpage



\def\teo#1{\ssk \indent {\bf #1:}}
\long\def\teos#1#2#3#4{
 \par{\sl #1:}
 #2
 \par{\sl #3:}
 #4
 % \msk
}

{\bf Teoremas:}

\teos{Teorema do anulamento}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $f(a)$ e $f(b)$ são diferentes de 0 e
têm sinais opostos então $f$ atinge 0 em algum ponto do intervalo
aberto $(a,b)$ --- isto é, existe $xÝ(a,b)$ tal que $f(x)=0$.
    }{Teorema do valor intermediário}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua e $y$ está entre $f(a)$ e $f(b)$ ---
isto é, $yÝ[f(a),f(b)]$ (se $f(a) \le f(b)$) ou $yÝ[f(b),f(a)]$ (se
$f(b) \le f(a)$) --- então existe $xÝ[a,b]$ tal que $f(x)=y$.
}

\teos{Teorema da limitação}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então a sua imagem é limitada --- isto
é, existem $m,M \in \R$ tais que para todo $xÝ[a,b]$ vale $m \le f(x)
\le M$.
    }{Teorema de Weierstrass}{
Se $f:[a,b] \to \R$ é contínua então $f$ atinge o seu valor mínimo e o
seu valor máximo em $[a,b]$ --- isto é, existem $c,d \in [a,b]$ tais
que para todo $xÝ[a,b]$ vale $f(c) \le f(x) \le f(d)$.
}

\teos{Teorema de Rolle}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ e além disso $f(a)=f(b)=0$ então existe $x$ em $(a,b)$
tal que $f'(x)=0$.
    }{Teorema do valor médio}{
Se $a < b$ e $f:[a,b] \to \R$ é contínua em $[a,b]$, derivável em
$(a,b)$ então existe $x$ em $(a,b)$ tal que $f'(x) =
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
}

\msk

Importante: quando você for usar algum dos teoremas acima dê todos os
detalhes sobre o que você está fazendo --- diga quem é a função $f$,
quem são os pontos $a$ e $b$, explique por que a $f$ é contínua e/ou
derivável no intervalo, etc...

\msk

% \normalsize

Algumas fórmulas:

% {\bf Fórmulas:}

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

% \msk

% (5) $\ddx 1 = 0$

(5) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

% (7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

% (8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

(6) $\ddx e^x = e^x$

% (10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$



\newpage

{\bf Mini-gabarito:}

1) (1.0 pts) Sejam $g=e^f$ e $h=e^{e^f}$. Então $h'=hgf'$, e

$\begin{array}{rcl}
 h'' &=& h'gf' + hg'f' + hgf'' \\
     &=& (hgf')gf' + hgf'f' + hgf'' \\
     &=& hggf'f' + hgf'f' + hgf'' \\
     &=& e^{(e^f+2f)}f'f' + e^{(e^f+f)}f'f' + e^{(e^f+f)}f'' \\
 \end{array}
$

2) (1.0 pts) $((\ln f) g)' = \frac{f'g}{f} + (\ln f)g'$, então

$(f^g)' = (e^{(\ln f)g})' = (f^g)((\ln f)g') = (f^g)(\frac{f'g}{f} + (\ln f)g')$

3a) (0.5 pts) $(f, f', f'', f''', f'''', f''''')(0) = (1, 0, -1, 0, 1, 0)$

3b) (1.0 pts) $(g, g', g'', g''', g'''', g''''')(0) = (a, b, 2c, 6d, \frac{e}{24}, 0)$

3c) (1.0 pts) $(a, b, c, d, e) = (1, 0, \frac{c}{2}, 0, \frac{e}{24})$

4) (2.0 pts) Se $f(x) = x+\frac{1}{x}$, $f'(x) = 1 - x^{-2}$. No
intervalo que nos interessa, $x \in (0,+\infty)$, só temos $f'(x)=0$
em $x=1$, e $f$ é decresente em $(-0,1)$ e crescente em $(1,+\infty)$;
daí atinge seu mínimo em $x=1$, e $f(x)=2$.

5) (3.5 pts) $f(x)$ é par, i.e. $f(x)=-f(-x)$, e $f(0)=1$, $f(1) =
(\cos 1) - 1 < 0$, então pelo TVI $ÎaÝ(0,1)$ com $f(a)=0$. Como $ýx
\ge 1.\, f(x)<0$ todas as raízes positivas têm que estar no intervalo
$(0,1)$. $f'(x) = - \sen x - 2x$, e portanto $f'(x)=0$ só acontece em
$x=0$.

Se $f$ tivesse duas raízes positivas diferentes, $a$ e $b$, pelo
teorema de Rolle teríamos uma raiz de $f'$ entre elas, mas isto não
pode acontecer, então as raízes de $f$ são exatamente $a$ e $-a$.




% \newpage

% \noindent {\bf (1)} (Total: 0.5 pontos). O que está errado com o
% seguinte uso da regra de l'Hôpital?
% %
% $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+x+2}{x^2-3x+2} =
%   \lim_{x \to 1} \frac{3x^2+1}{2x-3} =
%   \lim_{x \to 1} \frac{6x}{2} =
%   3
% $$
% %
% Diga qual é o erro e encontre o limite correto.
% 
% {\bf Gabarito:}
% 
% $\lim_{x \to 1} x^3+x+2 = 4$ e $\lim_{x \to 1} x^2-3x+2 = 0$; não
% podemos aplicar l'Hôpital, e o limite é $$.
% 
% % (find-spivakcalculuspage (+ 13 208) "36.")
% 
% \bsk
% % \msk
% 
% \noindent {\bf (2)} (Total: 4.0 pontos). Seja $f_m(x)= x^3 - 3x + m$.
% 
% a) (0.5 pts) Calcule $f_0(10)$, $f_0(100)$, $f_0(1000)$. Baseando-se
% nestes valores diga qual deve ser o valor do limite $\lim_{x \to +}
% f_0(x)$. Faça o mesmo para $f_0(-10)$, $f_0(-100)$, $f_0(-1000)$ e
% $\lim_{x \to -} f_0(x)$.
% 
% b) (0.5 pts) Encontre todos pontos onde a reta tangente ao gráfico de
% $f_0(x)$ é horizontal.
% 
% c) (0.5 pts) Trace o gráfico de $f_0(x)$.
% 
% d) (0.5 pts) Trace os gráficos de $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$,
% $f_{-1}(x)$. Quantas raízes cada uma destas funções têm no intervalo
% $[0,1]$?
% 
% e) (2.0 pts) Use o TVM para mostrar formalmente que nenhuma das
% funções $f_m(x)$ pode ter mais de uma raiz no intervalo $[0,1]$.
% 
% {\bf Gabarito:}
% 
% a) $f_0(10) = 970$,
% 
% $f_0(100) = 999700$,
% 
% $f_0(1000) = 999997000$,
% 
% $\lim{x \to +} f_0(x) = +$;
% 
% $f_0(-10) = -970$,
% 
% $f_0(-100) = -999700$,
% 
% $f_0(-1000) = -999997000$,
% 
% $\lim{x \to -} f_0(x) = +$.
% 
% % (defun f (x) (+ (* x x x) (* -3 x) 0))
% % (defun ff (x) (format "\$f_0(%d) = %d\$, " x (f x)))
% % (mapcar 'f '(10.0 100.0 1000.0 -10.0 -100.0 -1000.0))
% % (mapconcat 'ff '(10.0 100.0 1000.0 -10.0 -100.0 -1000.0) "")
% 
% b) $f'_m(x) = 3x^2 - 3$, que zera exatamente em $x=\pm1$.
% 
% c) Ele passa por (-2,-2), (-1,2), (0,0), (1,-2), (2,2).
% 
% d) $f_1(x) \mto 1$, $f_2(x) \mto 1$, $f_3(x) \mto 0$, $f_{-1}(x) \mto
% 1$.
% 
% e) Se as raízes são $a,bÝ[0,1]$ com $f(a)=f(b)=0$ e $a<b$ então pelo
% teorema de Rolle existe em $cÝ(a,b) \subset (0,1)$ com $f'(c)=0$, mas
% $f'$ só zera em -1 e 1.
% 
% 
% 
% \newpage
% 
% \msk
% % \msk
% 
% 
% \noindent {\bf (3)} (Total: 4.0 pontos). Sejam $f(x) = e^x$ e $g(x) =
% a + bx + cx^2 +dx^3$.
% 
% a) (0.5 pts) Calcule $f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), f''''(0)$.
% 
% b) (1.0 pts) Calcule $g(0), g'(0), g''(0), g'''(0), g''''(0)$.
% 
% c) (1.0 pts) Encontre $a$, $b$, $c$, $d$ que façam com que
% $f(0)=g(0)$, $f'(0)=g'(0)$, $\ldots$, $f'''(0)=g'''(0)$. Quando $a, b,
% c, d$ têm estes valores quem é a função $g(x)$?
% 
% d) (1.5 pts) Mostre que as funções $g(x)$ e $g'(x)$ não têm nenhuma
% raiz no intervalo $[0,\infty]$.
% 
% {\bf Gabarito:}
% 
% a) $f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f''''(0) = 1$.
% 
% b) $g(0) = a$, $g'(0) = b$, $g''(0) = 2c$, $g'''(0) = 6d$, $g''''(0) =
% 0$.
% 
% c) $a=1$, $b=1$, $c=\frac12$, $d=\frac16$, $g(x) = 1 + x + \frac12 x^2
% + \frac16 x^3$
% 
% d) $g(x)$ e $g'(x)$ são somas de monômios que são não-descrescentes em
% $[0,)$, e são crescentes. Como $g(0)=g'(0)=1$ elas não podem cair e
%   ter raízes positivas.
% 
% 
% \bsk
% 
% \noindent {\bf (4)} (Total: 1.5 pontos). Calcule $f'(x)$ para:
% 
% a) (0.5 pts) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$
% 
% b) (1.0 pts) $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5$
% 
% {\bf Gabarito:}
% 
% a) $\begin{array}[t]{rcl}
%     f'(x) &=& \frac12 (1 - x^2)^{-1/2} (1 - x^2)' \\
%           &=& \frac12 (1 - x^2)^{-1/2} (2x)       \\
%           &=& (1 - x^2)^{-1/2} x                  \\
%           &=& x/\sqrt(1 - x^2)                    \\
%     \end{array}
%   $
% 
% b) $f(x) = (((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^5 = (g(x) + x)^5$
% 
%    $g(x) =  ((x^2 + x)^3 + x)^4        = (h(x) + x)^4$
% 
%    $h(x) =   (x^2 + x)^3$
% 
%    $h'(x) = 3(x^2 + x)(2x + 1)$
% 
%    $g'(x) = 4(h(x) + x)^3 (h'(x) + 1)$
% 
%    $f'(x) = 5(g(x) + x)^4 (g'(x) + 1)$
% 
%    $f'(x) = 5(g(x) + x)^4 (g'(x) + 1)$
% 
%    $f'(x) = 5(((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^4 (4(h(x) + x)^3 (h'(x) + 1) + 1)$
% 
%    $f'(x) = 5(((x^2 + x)^3 + x)^4 + x)^4 (4((x^2 + x)^3 + x)^3 (3(x^2 + x)(2x + 1) + 1) + 1)$
% 



%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
