% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-VS.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VS.tex && latex    2009-1-C1-prova-VS.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C1-prova-VS.tex && pdflatex 2009-1-C1-prova-VS.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C1-prova-VS.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C1-prova-VS.ps 2009-1-C1-prova-VS.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C1-prova-VS.ps 2009-1-C1-prova-VS.dvi && ps2pdf 2009-1-C1-prova-VS.ps 2009-1-C1-prova-VS.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VS.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C1-prova-VS.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C1-prova-VS.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C1-prova-VS.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-VR1.tex")
% (find-angg "LATEX/2009-1-C1-prova-VR2.tex")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}


\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral I

PURO-UFF - 2009.1

Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Prova suplementar (VS) - 08/julho/2009}

}

\bsk
\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")
% (code-djvu "spivakcalculus" "~/books/__analysis/spivak__calculus.djvu")

% (find-spivakcalculuspage (+ 13 209) "48.")
%

\noindent {\bf (1)} (Total: 2.5 pontos). Calcule:

a) (1.0 pts) $\sen (x^5 + 6 x^2) e^{2x}$

b) (1.0 pts) $\ln \sqrt{x^2 - 1}$

c) (0.5 pts) $\sqrt[3]{x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 4x^3}$


\bsk
\bsk


\noindent {\bf (2)} (Total: 4.5 pontos). Seja $f(x) = \frac{3x}{x^2 -
  9}$.

a) (0.5 pts) Qual é a relação entre $f(x)$ e $f(-x)$?

b) (0.5 pts) Calcule $\lim_{x \to } f(x)$ e $\lim_{x \to -} f(x)$.
(Dica: você pode usar valores como $100, 1000, \ldots$ para $x$ e
calcular aproximadamente o valor do numerador e do denominador).

c) (1.0 pts) Qual é comportamento da $f(x)$ quando $x$ tende a 3?
(Dica: você pode fazer a mesma coisa que no item anterior, mas agora
começando com $x = 3 + 0.001$ e $x = 3 - 0.001$).

d) (1.0 pts) Descubra todos os pontos nos quais o gráfico da $f(x)$ é
horizontal.

e) (1.5 pts) Trace o gráfico de $f(x)$.



\bsk
\bsk

\noindent {\bf (3)} (Total: 1.5 pontos). Seja $f(x) = x^2$. Encontre
um valor para $a$ e um para $b$, tais que $a < b$ e para os quais
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 2$; depois encontre $c,d \in (a,b)$ tais que
$f'(c) = 2$ e $f'(d) \neq 2$.


\bsk
\bsk




% (find-spivakcalculuspage (+ 13 208) "36.")

\noindent {\bf (4)} (Total: 1.5 pontos). O gráfico de uma função
derivável $f(x)$ tem concavidade para cima --- como $x^2$ --- onde
$f''(x)>0$, e concavidade para baixo --- como $-x^2$ --- onde
$f''(x)<0$; os pontos onde a concavidade muda de direção são chamados
de {\sl pontos de inflexão}, e neles $f''(0)=0$. Use esta idéia para
fazer um gráfico da função $f(x) = x^4-6x^2$ no qual estejam
representados os pontos de inflexão, os pontos com tangente
horizontal, as raízes de $f(x)$, o comportamento no infinito, etc.
Dica: $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\sqrt{6} \approx 2.45$.

% (sqrt 3)
% (sqrt 6)

\newpage

\bsk
\bsk

% \hrule
\bsk
\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{10pt}


% \normalsize

Algumas fórmulas:

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

\msk

(5) $\ddx 1 = 0$

(6) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

(7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

(8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

(9) $\ddx e^x = e^x$

(10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$



\bsk
\bsk

Justifique cuidadosamente cada uma

das suas respostas, e não erre! 8-)

Boa prova!




\newpage

{\bf Mini-gabarito:}

1a) (1.0 pts) $\cos(x^5 + 6x^2)(5x^4 + 12x)e{2x} + 2\sen(x^5 + 6x^2)e^{2x}$

b) (1.0 pts) $\frac{\frac12 (x^2 - 1)^{-1/2} 2x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{x^2-1}$

c) (0.5 pts) $\frac13 (x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 4x^3)^{-2/3} (6x^5 - 10x^4 + 12x^3 - 12x^2)$

\msk

2a) (0.5 pts) $f$ é ímpar: $f(x)=-f(-x)$.

b) (0.5 pts) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

c) (1.0 pts) $\lim_{x \to 3^+} = +\infty$, $\lim_{x \to 3^-} = +\infty$

d) (1.0 pts) O gráfico nunca é horizontal.

e) (1.5 pts) O gráfico tem assíntotas verticais --- como $1/x$ -- em
$-3$ e $3$, e ele corta o eixo horizontal --- descendo --- em $x=0$, e
ele tende para 0 em $\pm\infty$.

\msk

3) (1.5 pts) $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$; $2 = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =
\frac{b^2-a^2}{b-a} = \frac{(b-a)(b+a)}{b-a} = b+a$; podemos tomar por
exemplo $a=-1$, $b=3$, $c=1$, $d=2$.

\msk

4) (1.5 pts) $f(x) = x^4 - 6x^2 = x^2(x^2 - 6)$, $f'(x) = 4x^3 - 12x =
4x(x^2 - 3)$, $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)$; o único ponto de
inflexão é $(1,-2)$, os pontos com tangente horizontal são
$(-\sqrt3,-9)$, $(\sqrt3,-9)$, os zeros são em $x=0$ (duplo) e $x =
\pm\sqrt6$.





%

\end{document}

 (eepitch-lua51)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-lua51)
f = function (x) return 3*x / (x*x - 9) end
= f(0)
= f(3.01)
= f(2.99)

 (eepitch-maxima)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maxima)
f(x) := 3*x / (x^2 - 9);
set_plot_option ([y, -10, 10]);
plot2d ([f(x), 0], [x, -10, 10]);
g(x) := x^4 - 6*x^2;
set_plot_option ([y, -10, 10]);
plot2d ([g(x), 0], [x, -4, 4]);






% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
