% (find-angg "LATEX/2009-1-C2-prova-2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-2.tex && latex    2009-1-C2-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-2.tex && pdflatex 2009-1-C2-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C2-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C2-prova-2.ps 2009-1-C2-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C2-prova-2.ps 2009-1-C2-prova-2.dvi && ps2pdf 2009-1-C2-prova-2.ps 2009-1-C2-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C2-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C2-prova-2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C2-prova-2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}

\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral II

PURO-UFF - 2009.1

% Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Segunda prova - 03/julho/2009}

}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 1.5 pontos). Encontre uma solução para a
EDO $y'=2xy$ --- que não seja 0 em todo ponto --- e verifique que a
função que você encontrou é realmente uma solução da EDO.

\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 4.0 pontos). Considere as duas EDOs
lineares de 2ª ordem abaixo:
%
$$\begin{array}{rrccl}
  (1) && y'' - 5y' + 6y &=& 0 \\
  (2) && y'' - 2y' + 2y &=& 0 \\
  \end{array}
$$

a) (0.6 pts) Encontre as soluções básicas da EDO (1).

b) (0.7 pts) Encontre as soluções básicas da EDO (2).

c) (0.6 pts) Encontre uma solução $y = f(x)$ da EDO (1) tal que
$f(0)=2$ e $f'(0)=5$.

d) (0.7 pts) Encontre uma solução real (que não seja 0 em todo ponto!)
para a EDO (2).

e) (0.7 pts) Verifique que as soluções do item (a) realmente obedecem
a EDO (1).

f) (0.7 pts) Verifique que a solução do item (d) realmente obedecem a
EDO (2).

\bsk
\bsk

\newpage

\noindent {\bf (3)} (Total: 4.5 pontos). Considere as duas EDOs
abaixo, aparentemente equivalentes:
%
$$\begin{array}{rrccl}
  (1) &&   xy'+ y &=& 0 \\
  (2) && x^2y'+xy &=& 0 \\
  \end{array}
$$

a) (0.3 pts) Reescreva ambas na forma $\psi_y y' + \psi_x = 0$. Quem
são $\psi_y$ e $\psi_x$ em cada um dos dois casos?

b) (0.7 pts) No caso (1) existe uma função $\psi(x,y)$ tal que a
$\psi_y$ e a $\psi_x$ são suas derivadas parciais, mas no caso (2)
não. Explique porquê.

c) (0.7 pts) Encontre uma $\psi(x,y)$ para a EDO (1) acima.

d) (0.7 pts) Encontre duas funções diferentes, $g(x)$ e $h(x)$, cujos
gráficos, $y=g(x)$ e $y=h(x)$, correspondam a curvas de nível da
$\psi$ do item anterior.

e) (0.7 pts) Encontre a solução geral da EDO (1) --- isto é, uma
função $f(x,C)$ tal que para cada valor de $C$ a curva $y=f(x,C)$ seja
uma solução da EDO.

f) (0.7 pts) Verifique que as soluções dos itens (d) e (e), isto é, as
curvas $y=g(x)$, $y=h(x)$ e as $y=f(x,C)$ (uma para cada $C$) são
soluções da EDO (1).

g) (0.7 pts) Represente graficamente as soluções da EDO (1).


\bsk
\bsk

\newpage

O diagrama principal que eu uso pra lembrar da relação entre EDOs
separáveis e EDOs exatas é esse aqui:
%
%D diagram ??
%D 2Dx     100    +35       +35        +70
%D 2D  100       \psi=v-u 
%D 2D
%D 2D  +15 ex1 <----------- sep1
%D 2D       ^                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       |                v
%D 2D  +25  |               sep2
%D 2D       |                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       v                v
%D 2D  +25 ex3 <----------- sep3 ....> sep4
%D 2D
%D (( sep1 .tex= (v_yy'-u_x=0)
%D    sep2 .tex= (y'=\frac{u_x}{v_y})
%D    sep3 .tex= (v-u=C)
%D    sep4 .tex= y(x)=v^{-1}(C+u(x))
%D    ex1  .tex= (\psi_y"y'+\psi_x=0)
%D    ex3  .tex= (\psi=C)
%D    \psi=v-u .tex= (\psi(x,y)=v(y)-u(x)) place
%D    ex1  sep1 <-
%D    ex1  ex3  <->
%D    sep1 sep2 <-> sep2 sep3 <->
%D    ex3  sep3 <-  sep3 sep4  .>
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{??}$$

% Vou colocá-lo na página de fórmulas da prova, e explicá-lo pra turma
% um pouco antes da prova.

``Resolver'' uma EDO é encontrar uma função $\psi(x,y)$ cujas curvas
de nível sejam soluções da EDO (``$\psi = C$'' no diagrama) ou então
--- isto é melhor ainda, mas nem sempre pode ser feito --- encontrar
um modo de expressar as soluções como funções de $x$ e de uma
constante $C$, que ``escolhe'' uma das soluções. Por exemplo:
$y=\sqrt{x-C}$, que corresponde a:

$x=y^2+C$,

$\psi(x,y)=y^2-x$,

% $y=\sqrt{x-C}$,

$y'=\frac{1}{2y}$,

$2yy'-1=0$.



\newpage

{\bf Mini-gabarito:}

1) (1.5 pts) $f(x) = e^{x^2}$

$f'(x) = 2x e^{x^2} = 2x f(x)$

\msk

2a) (0.6 pts) $y'' - 5y' + 6y = (D^2 - 5D + 6)y = (D-2)(D-3)y$; as
soluções básicas são $e^{2x}$ e $e^{3x}$.

2b) (0.7 pts) $y'' - 2y' + 2y = (D^2 - 2D + 2)y =
(D-(1+i))(D-(1-i))y$; as soluções básicas são $e^{(1+i)x} = e^x (\cos
x + i \sen x)$ e $e^{(1-i)x} = e^x (\cos -x + i \sen -x) = e^x (\cos x
- i \sen x)$.

2c) (0.6 pts) $f(x) = e^{2x} + e^{3x}$

2d) (0.7 pts) $e^x \sen x$

2e) (0.7 pts) $(e^{2x})'' - 5(e^{2x})' + 6 e^{2x} = (4 - 5·2 + 6)e^{2x}$;

    $(e^{3x})'' - 5(e^{3x})' + 6 e^{3x} = (9 - 5·3 + 6)e^{3x}$

2f) (0.7 pts)

{\footnotesize
$\begin{array}[t]{rcl}
     (e^x \sen x)'' - 2(e^x \sen x)' + 2(e^x \sen x) &=& \\
     (e^x \sen x + e^x \cos x)' - 2(e^x \sen x + e^x \cos x) + 2(e^x \sen x) &=& \\
     ((e^x \sen x + e^x \cos x) + (e^x \cos x - e^x \sen x)) - 2(e^x \sen x + e^x \cos x) + 2(e^x \sen x) &=& 0\\
     \end{array}
    $
}

\msk

3a) (0.3 pts)

EDO 1: $xy'+ y = \psi_y y' + \psi_x = 0$: $\psi_y = x$, $\psi_x = y$

EDO 2: $x^2 y'+ xy = \psi_y y' + \psi_x = 0$: $\psi_y = x^2$, $\psi_x = xy$

3b) (0.7 pts) No caso (1), $\psi_{yx} = \psi_{xy} = 1$; no caso (2),
$\psi_{yx} = 2x \neq \psi_{xy} = x$.

3c) (0.7 pts) $\psi(x,y) = xy$

3d) (0.7 pts) $\psi(x,y) = xy = 1$: $y = \frac 1x = g(x)$.

$\psi(x,y) = xy = -1$: $y = -\frac 1x = h(x)$.

3e) (0.7 pts) $y = \frac Cx$

3f) (0.7 pts)

$x (x^{-1})' + (x^{-1}) = x (- x^{-2}) + (x^{-1}) = 0$

$x (- x^{-1})' + (- x^{-1}) = x (x^{-2}) + (- x^{-1}) = 0$

$x (C x^{-1})' + (C x^{-1}) = x (- C x^{-2}) + (C x^{-1}) = 0$

3g) (0.7 pts) Gráfico de $xy=C$.





%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
