% (find-angg "LATEX/2009-1-C2-prova-VR.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-VR.tex && latex    2009-1-C2-prova-VR.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-1-C2-prova-VR.tex && pdflatex 2009-1-C2-prova-VR.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-1-C2-prova-VR.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-1-C2-prova-VR.ps 2009-1-C2-prova-VR.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-1-C2-prova-VR.ps 2009-1-C2-prova-VR.dvi && ps2pdf 2009-1-C2-prova-VR.ps 2009-1-C2-prova-VR.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-1-C2-prova-VR.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-1-C2-prova-VR.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-1-C2-prova-VR.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-1-C2-prova-VR.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}

\large

{\setlength{\parindent}{0pt}

Cálculo Diferencial e Integral II

PURO-UFF - 2009.1

% Turma: A1/RCT00016

Professor: Eduardo Ochs

{Prova de Reposição - 06/julho/2009}

}

\bsk
\bsk


% Melhor: um triângulo de lados curvos

\noindent {\bf (1)} (Total: 2.5 pontos). A figura $T$ --- um
``triângulo torto'' --- é delimitada pelas curvas $p$, $r$ e $s$:
%
$$\begin{array}{rcl}
  p(x) &=& 2 - x^2 \\
  r(x) &=& 2x - 1  \\
  s(x) &=& \frac12(\cos \frac{\pi}{2}x) - \frac32 \\
  \end{array}
$$
%
% (find-sh0 "lua51 -e 'print(.5 * math.cos(math.pi/2 *  0) - 1.5)'")
% (find-sh0 "lua51 -e 'print(.5 * math.cos(math.pi/2 * -2) - 1.5)'")
%
%                  (0,2)
%               ppp  |  ppp
%         (-1,1)     |     (1,1)
%        p           |     rr
%  ---- p -----------+-- rr --------
%      p             | rr
%     p        ssss(0,-1)
%     p       s      |
%  (-2,-2)ssss       |

Mais precisamente, os vértices de $T$ são os pontos $(-2,-2)$,
$(0,-1)$ e $(1,1)$, e a curva $y=p(x)$ liga o vértice $(-2,-2)$ ao
vértice $(1,1)$, a curva $y=s(x)$ liga o $(-2,-2)$ ao $(0,-1)$, e a
curva $y=r(x)$ liga o $(0,-1)$ ao $(1,1)$.

a) (1.0 pts) Represente a figura $T$ graficamente e expresse a sua
área como soma de integrais definidas.

b) (1.5 pts) Calcule a área de $T$ (aqui o resultado deve ser um
número). Obs: se você souber argumentos geométricos para acelerar o
cálculo da área de $T$, use-os!


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 1.0 pontos). Seja $C = \sst{(x,y)}{x \in
  [1,2], y=x^2}$. Trace num plano a curva $C$ e ligue seus pontos
extremos ao eixo vertical por retas horizontais. Seja $R$ a região
delimitada pela curva $C$, pelos dois segmentos horizontais e por um
segmento do eixo vertical. Expresse a área da região $R$ como uma soma
de integrais definidas.



\bsk
\bsk


% (find-books "__analysis/__analysis.el" "spivak")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 669) "Substitution")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 365) "Substitution")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 367) "Substitution")
% (find-spivakcalculuspage (+ 13 377) "Substitution")

\noindent {\bf (3)} (Total: 1.0 pontos). Calcule $\int_{=a}^{=b}
(\sen )^n (\cos )^3 \, d$ usando a substituição $s = \sen $.

\bsk
\bsk


\noindent {\bf (4)} (Total: 2.0 pontos). Use a substituição $c = \cos
$ para mostrar que $\int_{c=-1}^{c=1} \sqrt{1-c^2} \, dc = \pi/2$.
Dica: $\sen^2 = \frac12(1 - \cos 2)$.

\bsk
\bsk

\newpage

\noindent {\bf (5)} (Total: 3.5 pontos). Considere as duas EDOs
abaixo, aparentemente equivalentes:
%
$$\begin{array}{rrccl}
  (1) &&   yy'- x &=& 0 \\
  (2) && y^2y'-xy &=& 0 \\
  \end{array}
$$

a) (0.2 pts) Reescreva ambas na forma $\psi_y y' + \psi_x = 0$. Quem
são $\psi_y$ e $\psi_x$ em cada um dos dois casos? Note que ainda não
estamos estamos dizendo que a função $\psi(x,y)$ existe; estas
$\psi_y$ e $\psi_x$ são candidatas a serem derivadas parciais de
alguma função $\psi$, mas só nos próximos itens você vai tentar
descobrir esta $\psi$.

b) (0.3 pts) No caso (1) acima existe uma função $\psi(x,y)$ tal que a
$\psi_y$ e a $\psi_x$ são suas derivadas parciais, mas no caso (2)
não. Explique porquê.

c) (0.5 pts) Encontre uma $\psi(x,y)$ para a EDO (1) acima.

d) (0.5 pts) Encontre duas funções diferentes, $g(x)$ e $h(x)$, cujos
gráficos, $y=g(x)$ e $y=h(x)$, correspondam a curvas de nível da
$\psi$ do item anterior.

e) (0.5 pts) Encontre a solução geral da EDO (1) --- isto é, uma
função $f(x,C)$ tal que para cada valor de $C$ a curva $y=f(x,C)$ seja
uma solução da EDO.

f) (0.5 pts) Verifique que as soluções dos itens (d) e (e), isto é, as
curvas $y=g(x)$, $y=h(x)$ e as $y=f(x,C)$ (uma para cada $C$) são
soluções da EDO (1).

g) (1.0 pts) Represente graficamente as soluções da EDO (1). Dica:
encontre uma solução que passe pelo ponto (1,1), uma que passe pelo
ponto $(-1,1)$, uma que passe pelo ponto (0,1) e uma que passe pelo
ponto (1,0).






\bsk
\bsk

% \noindent {\bf (1)} (Total: 1.5 pontos). Encontre uma solução para a
% EDO $y'=2xy$ --- que não seja 0 em todo ponto --- e verifique que a
% função que você encontrou é realmente uma solução da EDO.
% 
% \bsk
% \bsk
% 
% \noindent {\bf (2)} (Total: 4.0 pontos). Considere as duas EDOs
% lineares de 2ª ordem abaixo:
% %
% $$\begin{array}{rrccl}
%   (1) && y'' - 5y' + 6y &=& 0 \\
%   (2) && y'' - 2y' + 2y &=& 0 \\
%   \end{array}
% $$
% 
% a) (0.6 pts) Encontre as soluções básicas da EDO (1).
% 
% b) (0.7 pts) Encontre as soluções básicas da EDO (2).
% 
% c) (0.7 pts) Encontre uma solução $y = f(x)$ da EDO (1) tal que
% $f(0)=2$ e $f'(0)=5$.
% 
% d) (0.7 pts) Encontre uma solução real (que não seja 0 em todo ponto!)
% para a EDO (2).
% 
% e) (0.7 pts) Verifique que as soluções do item (a) realmente obedecem
% a EDO (1).
% 
% f) (0.7 pts) Verifique que a solução do item (d) realmente obedecem a
% EDO (2).
% 
% \bsk
% \bsk
 
\newpage

O diagrama da relação entre EDOs separáveis e EDOs exatas é:
%
%D diagram ??
%D 2Dx     100    +35       +35        +70
%D 2D  100       \psi=v-u 
%D 2D
%D 2D  +15 ex1 <----------- sep1
%D 2D       ^                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       |                v
%D 2D  +25  |               sep2
%D 2D       |                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       v                v
%D 2D  +25 ex3 <----------- sep3 ....> sep4
%D 2D
%D (( sep1 .tex= (v_yy'-u_x=0)
%D    sep2 .tex= (y'=\frac{u_x}{v_y})
%D    sep3 .tex= (v-u=C)
%D    sep4 .tex= y(x)=v^{-1}(C+u(x))
%D    ex1  .tex= (\psi_y"y'+\psi_x=0)
%D    ex3  .tex= (\psi=C)
%D    \psi=v-u .tex= (\psi(x,y)=v(y)-u(x)) place
%D    ex1  sep1 <-
%D    ex1  ex3  <->
%D    sep1 sep2 <-> sep2 sep3 <->
%D    ex3  sep3 <-  sep3 sep4  .>
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{??}$$

% Vou colocá-lo na página de fórmulas da prova, e explicá-lo pra turma
% um pouco antes da prova.

``Resolver'' uma EDO é encontrar uma função $\psi(x,y)$ cujas curvas
de nível sejam soluções da EDO (``$\psi = C$'' no diagrama) ou então
--- isto é melhor ainda, mas nem sempre pode ser feito --- encontrar
um modo de expressar as soluções como funções de $x$ e de uma
constante $C$, que ``escolhe'' uma das soluções. Por exemplo:
$y=\sqrt{x-C}$, que corresponde a:

$x=y^2+C$,

$\psi(x,y)=y^2-x$,

% $y=\sqrt{x-C}$,

$y'=\frac{1}{2y}$,

$2yy'-1=0$.



\newpage


\setlength{\parindent}{10pt}

\normalsize

{\bf Mini-gabarito:}

1a) (1.0 pts) Desenho, e:
    $\int_{-2}^{1} p(x)\,dx
   - \int_{-2}^{0} s(x)\,dx
   - \int_{0}^{1} r(x)\,dx$

1b) (1.5 pts) Área total = 6.

$\int_{-2}^{1} p(x)\,dx = \int_{-2}^{1} 2-x^2 \,dx = 3$

$\int_{-2}^{0} s(x)\,dx =
 \int_{-2}^{0} \frac12(\cos \frac{\pi}{2}x) - \frac32 \,dx = -3$

$\int_{0}^{1} r(x)\,dx = \int_{0}^{1} 2x - 1 \,dx = -3$

2) (1.0 pts) Área = $\int_0^2 4\,dx - \int_0^1 1\,dx - \int_1^2 x^2\,dx$

3) (1.0 pts)

$\begin{array}{rcl}
 \int s^n c^3 \,d &=& \int s^n (1 - s^2) c\,d \\
                   &=& \int s^n (1 - s^2) \,ds \\
                   &=& \int s^n - s^{n+2} \,ds \\
                   &=& \frac{1}{n} s^{n+1} - \frac{1}{n+3} s^{n+3} \\
                   &=& \frac{1}{n} (\sen )^{n+1} - \frac{1}{n+3} (\sen )^{n+3} \\
 \int_{=a}^{=b} (\sen )^n (\cos )^3\, d &=&
        (\frac{1}{n} (\sen )^{n+1} - \frac{1}{n+3} (\sen )^{n+3}) \big|_{=a}^{=b} \\
 \end{array}
$

4) (2.0 pts)

$\begin{array}{rcl}
 \int \sqrt{1-c^2} \,dc &=& \int \sqrt{s^2} \,dc \\
                        &=& \int \sqrt{s^2} (-s)\,d \\
                        &=& \int - s^2 \,d \\
                        &=& \int - \frac12 (1 - \cos 2) \,d \\
 \int_{c=-1}^{c=1} \sqrt{1-c^2} \,dc
                        &=& \int_{=\arccos -1}^{=\arccos 1} - \frac12 (1 - \cos 2) \,d \\
                        &=& \int_{=\pi}^{=0} - \frac12 (1 - \cos 2) \,d \\
                        &=& \int_{=0}^{=\pi} \frac12 (1 - \cos 2) \,d \\
                        &=& \int_{=0}^{=\pi} \frac12 \,d \\
                        &=& \frac{\pi}{2} \\
 \end{array}
$

5a) (0.2 pts) 1: $\psi_y=y$, $\psi_x = -x$. 2: $\psi_y=y^2$, $\psi_x = -xy$.

b) (0.3 pts) A (1) é exata ($\psi_{yx}=\psi_{xy}=0$), a (2) não.

c) (0.5 pts) $\psi(x,y) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2}$

d) (0.5 pts) $g(x) = x$, ou $g(x) = -x$, ou $h(x) = \sqrt{1+x^2}$, etc

e) (0.5 pts) $f(x,C) = \sqrt{C+x^2}$, etc

f) (0.5 pts) (3 verificações)

g) (0.5 pts) Gráfico de $x^2 - y^2 = C$.



\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\psm#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}
\def\bsm#1{\left[\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right]}
\def\mysubst#1{\bsm{#1}}

\bsk

$\mysubst{c = \cos  \\ dc = -s \, d \\  = \arccos c}$




% 
% 1) (1.5 pts) $f(x) = e^{x^2}$
% 
% $f'(x) = 2x e^{x^2} = 2x f(x)$
% 
% \msk
% 
% 2a) (0.6 pts) $y'' - 5y' + 6y = (D^2 - 5D + 6)y = (D-2)(D-3)y$; as
% soluções básicas são $e^{2x}$ e $e^{3x}$.
% 
% 2b) (0.7 pts) $y'' - 2y' + 2y = (D^2 - 2D + 2)y =
% (D-(1+i))(D-(1-i))y$; as soluções básicas são $e^{1+i}x = e^x (\cos x
% + i \sen x)$ e $e^{1-i}x = e^x (\cos -x + i \sen -x) = e^x (\cos x - i
% \sen x)$.
% 
% 2c) (0.7 pts) $f(x) = e^{2x} + e^{3x}$
% 
% 2d) (0.7 pts) $e^x \sen x$
% 
% 2e) $(e^{2x})'' - 5(e^{2x})' + 6 e^{2x} = (4 - 5·2 + 6)e^{2x}$;
% 
%     $(e^{3x})'' - 5(e^{3x})' + 6 e^{3x} = (9 - 5·3 + 6)e^{3x}$
% 
% 2f)
% 
% {\footnotesize
% $\begin{array}[t]{rcl}
%      (e^x \sen x)'' - 2(e^x \sen x)' + 2(e^x \sen x) &=& \\
%      (e^x \sen x + e^x \cos x)' - 2(e^x \sen x + e^x \cos x) + 2(e^x \sen x) &=& \\
%      ((e^x \sen x + e^x \cos x) + (e^x \cos x - e^x \sen x)) - 2(e^x \sen x + e^x \cos x) + 2(e^x \sen x) &=& 0\\
%      \end{array}
%     $
% }
% 
% \msk
% 
% 3a) (0.3 pts)
% 
% (1) $xy'+ y = \psi_y y' + \psi_x = 0$: $\psi_y = x$, $\psi_x = y$
% 
% (2) $x^2 y'+ xy = \psi_y y' + \psi_x = 0$: $\psi_y = x^2$, $\psi_x = xy$
% 
% 3b) (0.7 pts) No caso (1), $\psi_{yx} = \psi_{xy} = 1$; no caso (2),
% $\psi_{yx} = 2x \neq \psi_{xy} = x$.
% 
% 3c) (0.7 pts) $\psi(x,y) = xy$
% 
% 3d) (0.7 pts) $\psi(x,y) = xy = 1$: $y = \frac 1x = g(x)$.
% 
% $\psi(x,y) = xy = -1$: $y = -\frac 1x = h(x)$.
% 
% 3e) (0.7 pts) $y = \frac Cx$
% 
% 3f) (0.7 pts)
% 
% $x (x^{-1})' + (x^{-1}) = x (- x^{-2}) + (x^{-1}) = 0$
% 
% $x (- x^{-1})' + (- x^{-1}) = x (x^{-2}) + (- x^{-1}) = 0$
% 
% $x (C x^{-1})' + (C x^{-1}) = x (- C x^{-2}) + (C x^{-1}) = 0$
% 
% 3g) (0.7 pts) Gráfico de $xy=C$.
% 

%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
