% (find-angg "LATEX/2009-2-C2-lista-1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-lista-1.tex && latex    2009-2-C2-lista-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-lista-1.tex && pdflatex 2009-2-C2-lista-1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-2-C2-lista-1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-2-C2-lista-1.ps 2009-2-C2-lista-1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-2-C2-lista-1.ps 2009-2-C2-lista-1.dvi && ps2pdf 2009-2-C2-lista-1.ps 2009-2-C2-lista-1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-2-C2-lista-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-lista-1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-2-C2-lista-1.pdf") 'over)

% (find-LATEX "2009apr29-MD.tex")
% (find-LATEX "2009jul02-C2-exercicios.tex")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-2-C2-lista-1.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

% (find-es "tex" "newcounter")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}

\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\dydx{\frac{dy}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}

Cálculo 2 - Lista de exercícios 1

Eduardo Ochs - PURO-UFF - 2009.2

{\bf Versão: 2009sep28, 9:10}

% {\bf Versão preliminar - 2009sep23, 11:00}

% (A versão definitiva vai ser posta na Xerox

% e em \url{http://angg.twu.net/2009.2-C2.html})

\bsk




\newex O Malta/Pesco/Lopes (``Cálculo a uma Variável, volume II -
Derivada e Integral'') define na p.216 o que é uma ``boa primitiva''
para uma função $f(x)$: é uma função $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$ e
tal que a definição de $F(x)$ não envolve o sinal ``$\int$''.

Neste exercício você vai tentar encontrar uma ``boa primitiva'' para
uma função $f(x)$, mas com uma outra noção de ``boa''. Lembre que em
alguns casos preferimos definir funções por casos e evitar o sinal
``$|·|$'', em outros casos preferimos definições numa linha só, e
permitimos usar o ``$|·|$''. Neste exercício você vai procurar
respostas definidas por casos, sem ``$|·|$'' e sem ``$\int$'' --- mas
você pode usar ``$|·|$'', ``$\int$'' e gráficos nos passos
intermediários.

Seja
%
$$ f(x) = \begin{cases}
           -x, & \text{para $x \le 2$} \\
           -1, & \text{para $x Ý (2,4)$} \\
           x-6, &\text{para $x \ge 4$,} \\
         \end{cases}
$$
%
e seja $F(b) = \int_0^b f(x) \, dx$.

(a) Calcule $F(0)$, $F(1)$, $F(2)$, $F(3)$, $F(4)$, $F(5)$, $F(6)$,
$F(7)$.

(b) Encontre uma definição por casos, sem ``$|·|$'' e ``$\int$'', para
$F(b)$.

(c) Calcule $F(b+1)$ para $b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

(d) Encontre uma definição por casos, sem ``$|·|$'' e ``$\int$'', para
$H(x) = F(x+1)$.

(e) Encontre uma ``boa derivada'' (definida por casos, sem ``$|·|$'' e
``$·'$'') para $H(x)$, {\sl de dois modos diferentes}: ``na marra'',
isto é, como se você não conhecesse $f(x)$, e usando os TFCs.

\bsk

\newex As duas contas abaixo estão certas? Sim, não, porquê?
%
$$Å(x-1)^2\,dx =
  \subst{u = x - 1 \\ x = u + 1 \\ dx = du} Åu^2\,du =
  \frac{u^3}{3} = \frac{(x-1)^3}{3} = \frac{x^3}{3} - x^2 + x - \frac{1}{3}
$$
%
$$Å(x-1)^2\,dx = Åx^2 - 2x + 1\,dx = \frac{x^3}{3} - x^2 +x$$

Explique o que está acontecendo, o que estes dois resultados querem
dizer, e localize nos livros de Cálculo a que você tiver acesso os
trechos que discutem idéias relacionadas a isto.

\bsk

\newex Calcule e interprete graficamente cada uma das expressões abaixo:
%
$$\begin{array}{rl}
  a) & \int_{x=-2}^{x=2} 1-x^2\,dx \\
  b) & \int_{x=-2}^{x=2} |1-x^2|\,dx \\
  c) & \left| \int_{x=-2}^{x=2} 1-x^2\,dx \right| \\
  d) & \int_{x=2}^{x=-2} 1-x^2\,dx \\
  \end{array}
$$ 

\newpage

\newex Calcule:
%
$$\begin{array}{rccl}
  a) & F(a,b) &=& \int_{x=a}^{x=b} x+2\,dx \\
  b) & G(a,b) &=& \int_{t=a}^{t=b} t+2\,dt \\
  c) & H(x)   &=& \int_{t=2x}^{t=3x} t+2\,dt \\
  d) & H'(x) \\
  \end{array}
$$ 

\bsk

\newex Seja $f: \R \to \R$ uma função contínua que vale 2 em
$(\infty,1]$, vale -2 em $[5,\infty)$ e é um segmento de reta em
    $[1,5]$. A partir do gráfico de $f(x)$ desenhe o gráfico de
    $f'(x)$, o gráfico de uma primitiva de $f(x)$ e o gráfico de uma
    integral definida (diga qual!) de $f(x)$.




\bsk
\bsk

{\bf Sugestões:}

Quando você estiver em dúvida sobre o melhor nível de detalhe de uma
resposta escreva-a com vários níveis de detalhes diferentes, releia
depois as suas várias soluções, discuta com os seus colegas.

Vários livros -- o Malta/Pesco/Lopes, na introdução, o Scheinerman de
Matemática Discreta em vários lugares, etc -- falam bastante sobre
``redação de provas'' (``provas'' no sentido de ``demonstrações'' e
``soluções de problemas''). O termo ``redacão'' é muito adequado...
lembre que quando você fazia aula de Redação uma redação não estava
``certa'' ou ``errada'' -- se ela não tivesse erros de concordância,
erros lógicos, etc, você podia pensar em redações {\sl melhores} e
{\sl piores}, e em como melhorar uma redação reescrevendo trechos
dela... A mesma coisa acontece com os cursos de Matemática na
universidade: chegar ao resultado certo é só metade do problema, a
outra metade é escrever o caminho até a solução do modo melhor e mais
claro possível, inclusive ``traduzindo'' entre representações
algébricas, em Português, e gráficas.

% Muitos exercícios fáceis: Guidorizzi, p.308-310

% Exercícios de áreas (absolutas, b<a, etc) - x^2-1

% Exercício de \int_g(x)^h(x)

%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
