% (find-angg "LATEX/2009-2-C2-prova-1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-prova-1.tex && latex    2009-2-C2-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-prova-1.tex && pdflatex 2009-2-C2-prova-1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-2-C2-prova-1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-2-C2-prova-1.ps 2009-2-C2-prova-1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-2-C2-prova-1.ps 2009-2-C2-prova-1.dvi && ps2pdf 2009-2-C2-prova-1.ps 2009-2-C2-prova-1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-2-C2-prova-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-prova-1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-2-C2-prova-1.pdf") 'over)

% (find-LATEX "2009-2-C2-prova-1-notas.tex")
% (find-LATEX "2009-2-C2-lista-1.tex")
% (find-LATEX "2009-1-C1-prova-1.tex")


\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-2-C2-prova-1.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}

\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\dydx{\frac{dy}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}

Cálculo 2 - Primeira Prova (P1)

PURO-UFF - 2009.2

30/setembro/2009

Prof: Eduardo Ochs


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 2.0 pontos). A região em cinza na figura
abaixo é delimitada pelas retas $y=\pi$, $y=2\pi$ e $x=0$ e pela curva
$y=\frac{x}{2}+\sen x$. Calcule a área desta região.
%
% (find-LATEXfile "edrx.sty" "\\usepackage{graphicx}")
% (find-pspage  "2009-1-C2-prova-1-areas.eps")
% (find-pspage  "2009-2-C2-prova-1.eps")
$$\includegraphics[scale=1.0]{2009-2-C2-prova-1.eps}$$

\bsk




\noindent {\bf (2)} (Total: 3.0 pontos). Seja
%
$$ f(x) = \begin{cases}
           -x,  & \text{para $x \le 2$} \\
           4-x, & \text{para $x > 2$}. \\
         \end{cases}
$$

Trace os gráficos de:

a) (0.6 pts) $f'(x)$,

b) (0.7 pts) $F(x) = \int_{t=0}^{t=x} f(t)\,dt$,

\ssk

c) (0.7 pts) $G(x) = \int_{t=2}^{t=x} f(t)\,dt$.

\msk

d) (1.0 pts) Seja $h(x) = 2-x$. Compare o gráfico de $f'(x)$ do item
(a) com o gráfico de $h'(x)$. Se sabemos o gráfico da derivada de uma
função, o que sabemos sobre esta função? Explique.

\bsk





\noindent {\bf (3)} (Total: 3.0 pontos). Seja $f(x)$ uma função tal
que $\int_{x=2}^{x=5} f(x)\,dx = 4$.

Calcule:

a) $\int_{x=2}^{x=5} 3 - 5f(x) \, dx$

\ssk

b) $\int_{x=0}^{x=5} 4f(x) \, dx - 4\int_{x=0}^{x=2} f(x) \, dx$

\ssk

c) $\int_{t=0}^{t=1} 10t + f(2+3t)\,dt$



\newpage

\noindent {\bf (4)} (Total: 2.0 pontos). Calcule:

a) $\displaystyle \int_{t=1}^{t=2} \frac{t^2 - \sqrt[3]{t}}{\sqrt[3]{t}} \;dt$

b) $\displaystyle \int \sen^3 (4x-2) \, \cos^4 (4x-2) \; dx$




\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

{\setlength{\parindent}{0pt}


Alguns teoremas e fórmulas:

Def: se $F(x)$ é tal que $F'(x) = f(x)$ então $F$ é uma {\sl primitiva} para $f$.

TFC 1: $\ddx \int_{t=a}^{t=x} f(t)\,dt = f(x)$

TFC 2: se $F$ é uma primitiva para $f$ então $\int_{x=a}^{x=b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

$\int_{t=\sqrt\pi}^{t=\sqrt{2\pi}} (\sen t^2)\, 2t \, dt =
  \subst{x = t^2 \\ t = \sqrt x \\ dx = 2t \, dt} \int_{x=\pi}^{x=2\pi} \sen x \, dx
$

\msk

(0) $\ddx (af(x)) = af'(x)$

(1) $\ddx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

(2) $\ddx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $\ddx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

(4) $\ddx \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

\msk

(5) $\ddx 1 = 0$

(6) $\ddx x^a = a x^{a-1}$

(7) $\ddx (\sen x) = \cos x$

(8) $\ddx (\cos x) = - \sen x$

% (9) $\ddx e^x = e^x$
%
% (10) $\ddx (\ln x) = \frac1x$


\bsk
\bsk


A prova é para ser feita em duas horas, sem consulta.

Responda claramente e justifique cada passo.

Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e

que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.

Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só

uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um

raciocínio claro e convincente.

Outra dica: {\sl confira as suas respostas!}

\ssk

{\bf Boa prova!}

}


\newpage

Mini-gabarito:


\noindent {\bf (1)} (2.0 pts) $3 \pi^2$.

\msk

\noindent {\bf (2a)} (0.6 pts) Gráfico: $f'(x) \equiv -1$ em $\R \bsl \{2\}$.

\noindent {\bf (2b)} (0.7 pts) $F(x)$ é o símbolo do McDonald's com teto no $y=0$.

\noindent {\bf (2c)} (0.7 pts) $G(x)$ é o símbolo do McDonald's com bico em $y=0$.

\noindent {\bf (2d)} (1.0 pts) Os gráficos de $f'$ e $g$ coincidem em
$\R \bsl \{2\}$; pelo TFC 2 duas funções que têm a mesma derivada no
mesmo intervalo diferem por uma constante.

\msk

\noindent {\bf (3a)} (1.0 pts) $-11$

\noindent {\bf (3b)} (1.0 pts) $16$

\noindent {\bf (3c)} (1.0 pts) $5 + \frac{4}{3}$

\msk

\noindent {\bf (4a)} (1.0 pts) $\frac{3}{8} 2^{8/3} - \frac{11}{3}$

\noindent {\bf (4b)} (1.0 pts) $\frac{1}{4}(\frac{\cos^7 4x-2}{7} - \frac{\cos^5 4x-2}{5})$


\bsk

\noindent 4a) $\int_{t=1}^{t=2} t^{5/3} - 1\,dt = (\frac{t^{8/3}}{8/3} - t)|_{t=1}^{t=2} = \frac38 2^{8/3} - 2 - \frac38 + 1 = \frac38 2^{8/3} - \frac{11}{8}$

\noindent 4b) $\int \sen^3 (4x-2) \, \cos^4 (4x-2) \; dx$

    $= \subst{u=4x-2 \\ x=(u+2)/4 \\ dx=du/4} \int \sen^3 u \, \cos^4 u \; \frac{du}{4}$

    $= \frac{1}{4} \int (1 - \cos^2 u) \, \cos^4 u \; \sen u\;du$

    $= \subst{c=\cos u \\ \sen u\,du = -dc} \int \frac{1}{4} (1-c^2) c^4 (-dc)$

    $= \frac{1}{4} \int c^6 - c^4 \; dc$

    $= \frac{1}{4} (\frac{c^7}{7} - \frac{c^5}{5})$

    $= \frac{1}{4} (\frac{\cos^7 4x-2}{7} - \frac{\cos^5 4x-2}{5})$







%

\end{document}

 (eepitch-maxima)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maxima)
load(draw);
x1 : 2*%pi;
x2 : 4*%pi;
f(x)    := sin(x)+x/2;
lowf(x) := max(f(x), f(x1));
hif(x)  := f(x2);
draw2d(terminal = screen,
       /* */
       axis_top = false,
       axis_right = false,
       xrange = [0, x2+1],
       yrange = [0, f(x2)+1],
       fill_color  = grey,
       filled_func = lowf(x),
       explicit(hif(x), x, 0, x2),
       filled_func = false,
       explicit(lowf(x), x, 0, x2),
       explicit(hif(x),  x, 0, x2)
       );
draw2d(terminal = eps,
       file_name = "2009-2-C2-prova-1",
       eps_width  = 13 * 0.6,
       eps_height = 7  * 0.6,
       /*
        * (find-pspage "2009-2-C2-prova-1.eps")
       */
       axis_top = false,
       axis_right = false,
       xrange = [0, 13],
       yrange = [0, 7],
       fill_color  = grey,
       filled_func = lowf(x),
       explicit(hif(x), x, 0, x2),
       filled_func = false,
       explicit(lowf(x), x, 0, x2),
       explicit(hif(x),  x, 0, x2)
       );

;; (find-maximacvsnode "")
# (find-maximacvsnode "Functions and Variables for draw" "filled_func")






% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
