% (find-angg "LATEX/2009-2-C2-prova-2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-prova-2.tex && latex    2009-2-C2-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C2-prova-2.tex && pdflatex 2009-2-C2-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-2-C2-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-2-C2-prova-2.ps 2009-2-C2-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-2-C2-prova-2.ps 2009-2-C2-prova-2.dvi && ps2pdf 2009-2-C2-prova-2.ps 2009-2-C2-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-2-C2-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-2-C2-prova-2.pdf") 'over)

% «.formulas-int-partes»	(to "formulas-int-partes")
% «.formulas-int-sen-cos»	(to "formulas-int-sen-cos")
% «.formulas-subst-trig»	(to "formulas-subst-trig")
% «.formulas-int-riemann»	(to "formulas-int-riemann")


\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-2-C2-prova-2.dnt

% (find-angg "LATEX/2009-1-C2-prova-1.tex")
% (find-angg "LATEX/2009-2-C2-prova-1.tex")
% (find-angg "LATEX/2009-2-C2-prova-notas.tex")

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}

\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\dydx{\frac{dy}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\arcsen{\operatorname{arcsen}}
\def\arcsec{\operatorname{arcsec}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}
\def\alturaC{Ð{alturaC}}
\def\alturaD{Ð{alturaD}}
\def\compr{Ð{compr}}
\def\EPG{¯{EPG}}

Cálculo 2 - Segunda Prova (P2)

PURO-UFF - 2009.2

9/dezembro/2009

Prof: Eduardo Ochs


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 3.0 pontos). Calcule por integração por
partes:

a) $\int 1·\ln x\,dx$,

b) $\int x\ln x\,dx$,

c) $\int (\ln x)^2\,dx$


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 2.0 pontos). Calcule por substituição
trigonométrica:

$\int e^x \sqrt{1-x^2} \,dx$

\bsk
\bsk


\noindent {\bf (3)} (Total: 4.0 pontos). Neste problema você vai
descobrir como calcular a ``energia potencial gravitacional'' (que
vamos abreviar como ``EPG'') de um arame curvo em $\R^2$. Suponha que
a densidade dos arames é sempre constante, e igual a 1 --- isto é,
eles têm uma ``unidade de massa'' por cada ``unidade de comprimento''.
Suponha também que a constante gravitacional é 1. Daí a EPG de um
corpo de massa $M$ com centro de massa no ponto $(x,y)$ é $M·y$, e a
EPG de um segmento de arame de comprimento $\compr$ e altura do centro
de massa $\alturaC$ é $\compr·\alturaC$.

\msk

a) % (0.2 pts)
Mostre que a EPG de um segmento de arame que liga os pontos $(1,1)$ a
$(4,5)$ é $5·3 = 15$ ``unidades de energia''.

\ssk

Agora considere dois arames diferentes, $A_C$ e $A_P$,
ambos sobre o intervalo $[a,b]$; o arame $A_C$ está sobre a curva
$y=f(x)$ (obs: $f$ é contínua e derivável), e o arame $A_P$ está sobre
uma aproximação poligonal, $y=g(x)$, para a curva $y=f(x)$. Mais
precisamente: $\{a=x_0, x_1, \ldots, x_n=b\}$ é uma partição do
intervalo $[a,b]$ em $n$ subintervalos, com $x_0 < x_1 < \ldots <
x_n$, e em cada subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$ o gráfico da $g$ é um
segmento de reta ligando o ponto $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ ao ponto
$(x_i, f(x_i))$.

\ssk

b) % (0.5 pts)
Represente graficamente o arame $A_C$ e o arame $A_P$.

\ssk

c) % (0.8 pts)
Expresse a EPG do arame $A_P$ como um somatório. {\sl Dica:} comece
com $Æ_i \compr_i·\alturaC_i$, depois torne este somatório mais
preciso.

\ssk

d) % (2.0 pts)
Se a partição $\{a=x_0, x_1, \ldots, x_n=b\}$ é bastante fina temos
%
$$\EPG(A_P) = Æ_i \; \compr_i·\alturaC_i \approx Æ_i \; \compr_i·\alturaD_i,$$ 
%
onde $\alturaD_i$ é a altura da {\sl extremidade direita} do segmento
de arame sobre $[x_{i-1}, x_i]$. Manipule a fórmula $Æ_i\;
\compr_i·\alturaD_i$ e mostre que ela é uma aproximação para uma
integral (qual?).


\newpage

\noindent {\bf (4)} (Total: 3.0 pontos). Se $y'' + ay' + by = 0$ é uma
equação diferencial que tem soluções básicas reais $e^{-2x} \cos 3x$ e
$e^{-2x} \sen 3x$, então:

a) (1.0 pts) Encontre as soluções básicas complexas desta equação
diferencial --- isto é, numeros complexos $\aa$ e $\bb$, diferentes,
tais que $e^{\aa x}$ e $\ee^{\bb x}$ sejam soluções da equação
diferencial.

b) (1.0 pts) Expresse as soluções $e^{\aa x}$ e $\ee^{\bb x}$ que você
encontrou como combinações lineares de $e^{-2x} \cos 3x$ e $e^{-2x}
\sen 3x$, e expresse $e^{-2x} \cos 3x$ e $e^{-2x} \sen 3x$ como
combinações lineares de $e^{\aa x}$ e $\ee^{\bb x}$.

c) (1.0 pts) Encontre as constantes $a$ e $b$.

\bsk

\bsk

\noindent {\bf (5)} (Total: 3.0 pontos). Encontre uma solução $y=f(x)$
da equação diferencial $y''' + y'' - 6y' = 0$ que obedeça $f(0)=0$,
$f'(0)=1$, $f''(0)=0$.





\newpage


\setlength{\parindent}{10pt}

\normalsize

\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\bhbox{}

Algumas fórmulas:

% quando $$ é uma variável,
% 
% $s = \sen $
% 
% $c = \cos $
% 
% $t = \tan  = \frac{\sen }{\cos } = \frac{s}{c}$
% 
% $z = \sec  = \frac{1}{\cos } = \frac{1}{c}$
% 
% \msk
% 
% Identidades:
% 
% $s^2 + c^2 = 1$
% 
% $s = \sqrt{1 - c^2}$
% 
% $c = \sqrt{1 - s^2}$
% 
% $t^2 + 1 = z^2$
% 
% $\sqrt{t^2 + 1} = z$
% 
% $t = \sqrt{z^2 - 1}$
% 
% \msk
% 
% Derivadas e diferenciais:
% 
% $\frac{dc}{d} = \frac{d\cos}{d} = -\sen  = -s$
% 
% $\frac{ds}{d} = \frac{d\sen}{d} = \cos  = c$
% 
% $\frac{dt}{d} = \frac{d}{d} \frac{s}{c}
%                = \frac{s'c - sc'}{c^2}
%                = \frac{c^2 + s^2}{c^2}
%                = \frac{1}{c^2}
%                = z^2
%                = 1 + t^2
% $
% 
% $\frac{dz}{d} = \frac{d}{d}c^{-1} = -c^{-2}c' = -c^{-2}(-s)
%                = \frac{1}{c} \frac{s}{c} = zt$
% 
% $dc = - s \, d = -\sqrt{1 - c^2}d$
% 
% $ds = c \, d = \sqrt{1 - s^2}d$
% 
% $dt = z^2 d = (1 + t^2) d$
% 
% $dz = zt\, d$
% 
% \msk




% «formulas-int-partes»  (to ".formulas-int-partes")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.dvi" 3)

Integração por partes:

$\int_{x=a}^{x=b} f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) \big|_{x=a}^{x=b} - \int_{x=a}^{x=b} f(x)g'(x)\,dx$

\msk

% Mudança de variável:
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} \frac{dg}{du} \frac{du}{dx} \,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} \frac{dg}{du} \, du$ 
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} g'(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} g'(u) \, du$
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} f(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} f(u) \, du$
% 
% \msk


% «formulas-int-sen-cos»  (to ".formulas-int-sen-cos")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.dvi" 3)

Integrais de $(\sen )^m (\cos )^n$ com um expoente ímpar ($s = \sen $, $c= \cos $):

$\int s^n c^{2k+1} d = \int s^n c^{2k} · c \,d =
  \subst{\sen  = s \\
         \cos^2  = 1 - s^2 \\
         \cos \,d = ds \\
          = \arcsen s}
  \int s^n (1-s^2)^k \, ds$

$\int c^n s^{2k+1} d = \int c^n s^{2k} · s \,d =
  \subst{\cos  = c \\
         \sen^2  = 1 - c^2 \\
         - \sen \,d = dc \\
          = \arccos s}
  - \int c^n (1-c^2)^k \, dc$

\msk



% «formulas-subst-trig»  (to ".formulas-subst-trig")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C2-prova-2.dvi" 3)

Substituição trigonométrica:

$\int F(s, \sqrt{1 - s^2})\,ds =
 \subst{s = \sen  \\
        \sqrt{1-s^2} = \cos  \\
        ds = \cos  \, d \\
         = \arcsen s}
 \int F(\sen , \cos ) \cos  \, d$

$\int F(t, \sqrt{1 + t^2})\,dt =
 \subst{t = \tan  \\
        \sqrt{1+t^2} = \sec  \\
        dt = \sec^2  \, d \\
         = \arctan t}
  \int F(\tan , \sec ) \sec^2  \, d$

$\int F(z, \sqrt{z^2 - 1})\,dz =
 \subst{z = \sec  \\
        \sqrt{z^2-1} = \tan  \\
        dz = \tan  \sec \, d \\
         = \arcsec z}
  \int F(\sec , \tan ) \tan  \sec  \, d$

\msk



% «formulas-int-riemann»  (to ".formulas-int-riemann")

Integral de Riemann:

$\begin{array}{rcl}
 \int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx & \approx & \sum_{i=1,\ldots,n} y_i \Delta x_{i} \\
                          & =       & \sum_{i=1,\ldots,n} f(x_i) (x_{i}-x_{i-1}) \\
 \int_{x_0}^{x_n} \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx
    & \approx & \sum_{i=1,\ldots,n} \sqrt{1+f'(x_i)^2} \Delta x_{i} \\
    & \approx & \sum_{i=1,\ldots,n} \sqrt{1+(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i})^2} \Delta x_{i} \\
    & =       & \sum_{i=1,\ldots,n} \sqrt{1+(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}})^2} (x_{i}-x_{i-1}) \\
 \end{array}
$



\bsk

Justifique cada uma das suas respostas.

Boa prova!




%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
