% (find-angg "LATEX/2009integration.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009integration.tex && latex    2009integration.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009integration.tex && pdflatex 2009integration.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009integration.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009integration.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009integration.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009integration.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009integration.ps 2009integration.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009integration.ps 2009integration.dvi && ps2pdf 2009integration.ps 2009integration.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009integration.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009integration.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009integration.pdf" (ee-twusfile "2009.1/C2/2009integration.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009integration.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\dst{\displaystyle}

\def\xi{x_i}
\def\xii{x_{i+1}}
\def\ui{u_i}
\def\uii{u_{i+1}}
\def\gi{g_i}
\def\gii{u_{i+1}}
\def\iu#1{\int_{u=\ui}^{u=\uii}#1\,du}
\def\ix#1{\int_{x=\xi}^{x=\xii}#1\,dx}
\def\iuab#1{\int_{u=u(a)}^{u=u(b)}#1\,du}
\def\ixab#1{\int_{x=a}^{x=b}#1\,dx}
\def\bu#1{#1 \big|_{u=\ui}^{u=\uii}}
\def\bx#1{#1 \big|_{x=\xi}^{x=\xii}}
\def\buab#1{#1 \big|_{u=u(a)}^{u=u(b)}}
\def\bxab#1{#1 \big|_{x=a}^{x=b}}
\def\buie#1{#1 \big|_{u=\ui}^{u=\ui+\ee}}
\def\sumi{\sum_{i=0,\ldots,n-1}}

\def\frdd#1#2{\frac{d#1}{d#2}}
\def\frDD#1#2{\frac{\delta#1}{\delta#2}}

\def\ddu{\frac{d}{du}}
\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\dgdx{\frac{dg}{dx}}
\def\dgdu{\frac{dg}{du}}
\def\dudx{\frac{du}{dx}}
\def\Dg{\Delta g}
\def\Dx{\Delta x}
\def\Du{\Delta u}
\def\DgDu{\frac{\Dg}{\Du}}
\def\DgDx{\frac{\Dg}{\Dx}}
\def\DuDx{\frac{\Du}{\Dx}}

% $\ixab{g'(u(x))u'(x)}
%   = \ixab{(\ddx\,g(u(x))}
%   = \bxab{g(u(x))}
%   = \buab{g(u)}
%   = \iuab{g'(u)}
%   $

% $\ix{g'(u(x))u'(x)}
%   = \ix{(\ddx\,g(u(x))}
%   = \bx{g(u(x))}
%   = \bu{g(u)}
%   = \iu{g'(u)}
%   $

% $\ix{\dgdu\dudx}
%   = \ix{\dgdx}
%   = \bx{g}
%   = \bu{g}
%   = \iu{\dgdu}
%   $

% $\DgDu \Du = \DgDu \DuDx \Dx = \DgDx \Dx$

Notas sobre mudança de variável de integração

Eduardo Ochs - 2009may21

Versão: 2009may25

PURO-UFF


\bsk

Uma das idéias mais estranhas de Cálculo II é o método de mudança de
variável (a.k.a. ``substituição''). Eu levei anos pra conseguir
entender intuitivamente porque ele funcionava --- antes o método me
parecia só um truque formal com uns detalhes que às vezes eu lembrava
direito, às vezes não... Estas notas são sobre um modo de ver o método
que torna ele mais natural... {\sl isto é uma versão preliminar ---
  ainda pretendo reescrever partes disto e acrescentar coisas.}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "courant")
% (find-courantmcshane1page (+ 12 207) "The method of substitution")


\bsk






O retângulo à esquerda do diagrama da próxima página mostra uma prova
``moderna'' da fórmula de substituição de variáveis, que é:
%
$$ \ixab{g'(u(x))u'(x)} = \iuab{g'(u)} $$

Note que o intervalo de integração muda, e que há um pequeno abuso de
linguagem em $\iuab{g'(u)}$ --- quando o `$u$' aparece sozinho ele é a
variável de integração, mas em `$u(a)$' e `$u(b)$' ele é uma função.
Podemos pensar que a função $u$ ``recebe um valor de $x$ e retorna um
valor de $u$'' e que a $g$ ``recebe um valor de $u$''. Em Física este
tipo de idéia é comum --- por exemplo, num certo problema o $x$ pode
representar uma distância, um valor de $u$ (ou do $u$ como variável,
ou de $u(x)$) pode representar uma temperatura, e o valor de $g(u)$
pode representar energia; aí os valores de $x$, $u$ e de $g$ são de
``tipos diferentes'', e não podem ser misturados... e não é raro os
valores ``variarem juntos'' --- quando a posição muda a temperatura
muda, e uma é função da outra, etc.

\bsk

Suponha que partimos o intervalo de integração original, $[a,b]$, em
$n$ intervalinhos, $[x_0,x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1},x_n]$, e
que cada $x_i$ está bastante próximo do $x_{i+1}$. O novo intervalo de
integração vai ser $[u(a),u(b)]$, e a partição correspondente vai ser
$[u(x_0),u(x_1)], [u(x_1),u(x_2)], \ldots, [u(x_{n-1}),u(x_n)]$. Se
definirmos $u_i := u(x_i)$ podemos escrever esta partição como
$[u_0,u_1], [u_1,u_2], \ldots, [u_{n-1},u_n]$. Note que $x_0=a, x_n=b,
u_0=u(a), u_n=u(b)$.

(Obs: pelas convenções da notação de intervalos, quando escrevemos
$[a,b] = [x_0,x_1] \cup [x_1,x_2] \cup \ldots \cup [x_{n-1},x_n]$ fica
implícito que $a\le b$ e que $\forall i.\, x_i\le x_{i+i}$ --- mas
tudo que vamos ver aqui continua válido quando $a$ e $b$ e os `$x_i$'s
não estão ``em ordem''.)

Repare que:
%
$$\ixab{f(x)} = \sum_{i=0,\ldots,n-1} \ix{f(x)}$$
%
e idem para integração no intervalo $[u(a),u(b)]$ na variável $u$.

O retângulo à esquerda no diagrama abaixo fala de integração no
intervalo todo, e o da direita fala de integração em um dos $n$
intervalinhos --- para algum $i$ em $\sof{0, 1, \ldots, n-1}$. {\sl
  Esta passagem --- de uma fórmula no intervalão para uma fórmula em
  um dos intervalinhos individuais --- vai ser importante daqui a
  pouco, porque vamos precisar usar aproximações que só são válidas em
  intervalos de integração pequenos.}

\bsk

O diagrama:

%D diagram diag1
%D 2Dx     100    +60     +60    +65
%D 2D  100 all2   all3   part2   part3
%D 2D
%D 2D  +20 all1          part1
%D 2D
%D 2D  +20 all5   all4   part5   part4
%D 2D
%D (( all1 .tex= \ixab{g'(u(x))u'(x)}
%D    all2 .tex= \ixab{(\ddx\,g(u(x)))}
%D    all3 .tex= \bxab{g(u(x))}
%D    all4 .tex= \buab{g(u)}
%D    all5 .tex= \iuab{g'(u)}
%D    all1 all2 =  all2 all3 =  all3 all4 =  all4 all5 =
%D ))
%D (( part1 .tex= \ix{g'(u(x))u'(x)}
%D    part2 .tex= \ix{(\ddx\,g(u(x))}
%D    part3 .tex= \bx{g(u(x))}
%D    part4 .tex= \bu{g(u)}
%D    part5 .tex= \iu{g'(u)}
%D    part1 part2 =  part2 part3 =  part3 part4 =  part4 part5 =
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{diag1}$$

Agora vamos passar para a notação antiga, na qual não só as derivadas
são escritas como ``$\dudx$'' como muitos argumentos de funções são
deixados implícitos e omitidos --- por exemplo, $\dudx$ é na verdade
$\dudx(x)$, e $\dgdu$ é $\dgdu(u(x))$ nos contextos nos quais a
variável é `$x$' e $\dgdu(u)$ nos contextos nos quais a variável é
`$u$'.
%
%D diagram diag2
%D 2Dx     100    +65     +60    +45
%D 2D  100 new2   new3   old2   old3
%D 2D
%D 2D  +20 new1          old1
%D 2D
%D 2D  +20 new5   new4   old5   old4
%D 2D
%D (( new1 .tex= \ix{g'(u(x))u'(x)}
%D    new2 .tex= \ix{(\ddx\,g(u(x)))}
%D    new3 .tex= \bx{g(u(x))}
%D    new4 .tex= \bu{g(u)}
%D    new5 .tex= \iu{g'(u)}
%D    new1 new2 =  new2 new3 =  new3 new4 =  new4 new5 =
%D ))
%D (( old1 .tex= \ix{\dgdu\dudx}
%D    old2 .tex= \ix{\dgdx}     
%D    old3 .tex= \bx{g}         
%D    old4 .tex= \bu{g}         
%D    old5 .tex= \iu{\dgdu}     
%D    old1 old2 =  old2 old3 =  old3 old4 =  old4 old5 =
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{diag2}$$

Se o valor de $f(x)$ varia muito pouco em torno de $x_i$ então
$\ix{f(x)} \approx f(x_i)$ --- a área medida pela integral é
aproximadamente a área de um retângulo de altura $f(x_i)$ e largura
$\xii-\xi$. Se definimos $\Dx := \xii-\xi$ e $\Du := \uii-\ui$ e
aplicamos as aproximações às três integrais, temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ix{\dgdu\dudx} &\approx& \dgdu\dudx\Dx \\
  \ix{\dgdx}      &\approx& \dgdx\Dx      \\
  \iu{\dgdu}      &\approx& \dgdu\Du      \\
  \end{array}
$$

Se a $g$ é derivável em torno de $u_i = u(x_i)$, temos $g(u_i+\ee)
\approx g(u_i)+g'(u_i)\ee$ para $\ee$ suficientemente pequeno; ou
seja, $\buie{g(u)} \approx g'(u_i)\ee$. Se reescrevemos $u_i+\ee$ como
$\uii$ --- isto é, se fazemos $\ee = \Du = \ui-\uii$ --- a aproximação
vira isto aqui: $\bu{g(u)} \approx g'(u_i)\Du$; e se reescrevemos
$g'(u_i)$ como $\dgdu(u_i)$, temos $\bu{g(u)} \approx \dgdu(u_i)\Du =
\dgdu\Du$. Vamos reescrever isto grande,
%
$$\begin{array}{rcl}
  \bu{g(u)}      &\approx& \dgdu\Du      \\
  \end{array}
$$
%
porque agora vamos querer fazer algo parecido com $\bx{g(u(x))}$
também, e isto vai envolvee um detalhe a mais: a regra da cadeia. Lá
vai:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \bx{g(u(x))}   &\approx&  (\ddx g(u(x_i))) \Dx \\
                       &=&  (g'(u(x_i))u'(x_i)) \Dx \\
                       &=&  (\dgdu(u(x_i))\dudx(x_i)) \Dx \\
                       &=&  \dgdu \dudx \Dx \\
  \end{array}
$$

Agora vamos fazer mais aproximações: definindo $\Dg := \gii-\gi =
g(\uii) - g(\ui)$ do mesmo modo que definimos $\Dx$ e $\Du$, temos:
%
$$\begin{array}{rcccccl}
  \dudx &=& \dudx(x_i) &\approx& \frac{\uii-\ui}{\xii-\xi} &=& \DuDx \\
  \dgdu &=& \dgdu(u_i) &\approx& \frac{\gii-\gi}{\uii-\ui} &=& \DgDu \\
  \dgdx &=& \dgdx(x_i) &\approx& \frac{\gii-\gi}{\xii-\xi} &=& \DgDx \\
  \end{array}
$$

E agora repare: com isto vemos que cada linha do retângulo à esquerda
abaixo vale aproximadamente a expressão correspondente na coluna da
direita, e para as linhas de cima e de baixo, que têm tanto uma
integral quanto uma diferença, vimos dois argumentos diferentes para
justificar as aproximações...
%
%D diagram diag3
%D 2Dx     100    +45     +35
%D 2D  100 old2   old3    gux
%D 2D
%D 2D  +20 old1           gx
%D 2D
%D 2D  +20 old5   old4    gu
%D 2D
%D (( old1 .tex= \ix{\dgdu\dudx}
%D    old2 .tex= \ix{\dgdx}     
%D    old3 .tex= \bx{g}         
%D    old4 .tex= \bu{g}         
%D    old5 .tex= \iu{\dgdu}     
%D    old1 old2 =  old2 old3 =  old3 old4 =  old4 old5 =
%D ))
%D (( gux .tex= \DgDx\Dx
%D    gx  .tex= \DgDu\DuDx\Dx
%D    gu  .tex= \DgDu\Du
%D    gux gx = gx gu =
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{diag3}$$

Todas as oito expressões no diagrama acima dependem do $i$ --- as do
retângulo explicitamente, as da coluna da direita implicitamente ($\Du
= \uii-\ui$, etc). Nós tínhamos começado com um intervalão, e aí
dividimos ele em intervalinhos e passamos a olhar só para um
intervalinho; agora vamos voltar ao intervalão:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \iuab{g'(u)} &=& \sumi \iu{g(u)} \\
         &\approx& \sumi \DgDu\Du  \\
               &=& \sumi \Dg  \\
               &=& g_n - g_0  \\
               &=& g(u(x_n)) - g(u(x_0))  \\
               &=& g(u(b)) - g(u(a))  \\
  \end{array}
$$



\bsk
\bsk

(Incompleto - revisar)






%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
