% (find-angg "LATEX/2009jul02-C2-exercicios.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009jul02-C2-exercicios.tex && latex    2009jul02-C2-exercicios.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009jul02-C2-exercicios.tex && pdflatex 2009jul02-C2-exercicios.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009jul02-C2-exercicios.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009jul02-C2-exercicios.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009jul02-C2-exercicios.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009jul02-C2-exercicios.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009jul02-C2-exercicios.ps 2009jul02-C2-exercicios.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009jul02-C2-exercicios.ps 2009jul02-C2-exercicios.dvi && ps2pdf 2009jul02-C2-exercicios.ps 2009jul02-C2-exercicios.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009jul02-C2-exercicios.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009jul02-C2-exercicios.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009jul02-C2-exercicios.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009jul02-C2-exercicios.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009jul02-C2-exercicios.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\dydx{\frac{dy}{dx}}
\def\ddth{\frac{d}{d\theta}}
\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\sec{\operatorname{sec}}
\def\ln{\operatorname{ln}}

Exercícios de EDO

(Preparação para a prova de Cálculo II)

Eduardo Ochs - PURO/UFF - 2009jul02

\bsk


% \large

{\bf EDOs separáveis e exatas:}

O diagrama principal que eu uso pra lembrar da relação entre EDOs
separáveis e EDOs exatas é esse aqui:
%
%D diagram ??
%D 2Dx     100    +30       +30        +65
%D 2D  100       \psi=v-u 
%D 2D
%D 2D  +15 ex1 <----------- sep1
%D 2D       ^                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       |                v
%D 2D  +25  |               sep2
%D 2D       |                ^
%D 2D       |                |
%D 2D       v                v
%D 2D  +25 ex3 <----------- sep3 ....> sep4
%D 2D
%D (( sep1 .tex= (v_yy'-u_x=0)
%D    sep2 .tex= (y'=\frac{u_x}{v_y})
%D    sep3 .tex= (v-u=C)
%D    sep4 .tex= y(x)=v^{-1}(C+u(x))
%D    ex1  .tex= (\psi_y"y'+\psi_x=0)
%D    ex3  .tex= (\psi=C)
%D    \psi=v-u .tex= (\psi(x,y)=v(y)-u(x)) place
%D    ex1  sep1 <-
%D    ex1  ex3  <->
%D    sep1 sep2 <-> sep2 sep3 <->
%D    ex3  sep3 <-  sep3 sep4  .>
%D ))
%D enddiagram
%D
$$\diag{??}$$

Vou colocá-lo na página de fórmulas da prova, e explicá-lo pra turma
um pouco antes da prova.

``Resolver'' uma EDO é encontrar uma função $\psi(x,y)$ cujas curvas
de nível sejam soluções da EDO (``$\psi = C$'' no diagrama) ou então
--- isto é melhor ainda, mas nem sempre pode ser feito --- encontrar
um modo de expressar as soluções como funções de $x$ e de uma
constante $C$, que ``escolhe'' uma das soluções. Por exemplo:
$y=\sqrt{x-C}$.

Um exercício básico de EDOs exatas e separáveis é este aqui: para cada
uma das famílias de curvas abaixo encontre as soluções $y=f(x)$
correspondentes e as EDOs correspondentes, tanto na forma usual para
EDOs exatas --- $\psi_y(x,y)y' + \psi_x(x,y) = 0$ --- quanto na forma
para separáveis --- $y'=\frac{u_x(x)}{v_y(y)}$ ---, e aí resolva estas
EDOs e veja se você voltou para as famílias de curvas originais; além
disto represente graficamente as soluções, e derive as funções
$y=f(x)$ que você obteve e verifique que elas obedecem as EDOs

0a) $x=y^2+C$ \quad ($\psi(x,y)=y^2-x$, $y=\sqrt{x-C}$,
                     $y'=\frac{1}{2y}$, $2yy'-1=0$)

0b) $y=x^2+C$

0c) $x^2+y^2=C$


\bsk

\newpage

{\bf EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes:}

1) Encontre a EDO da forma $y''+by'+cy = 0$ que tenha soluções básicas
$e^x$ e $e^{2x}$.

2) Para a EDO da $y''+y'-20y = 0$ encontre:

2a) as suas soluções básicas,

2b) uma solução $f(x)$ tal que $f(0) = 0$ e $f'(0)=1$,

2c) uma solução $g(x)$ tal que $g(0) = 1$ e $g'(0)=0$,

2d) uma solução $h(x)$ tal que $h(0) = 5$ e $h'(0)=2$.

3) Encontre as soluções básicas e duas soluções reais diferentes (que
não sejam múltiplos uma da outra!) para a EDO $y'' - 2y + 5y$, e
verifique que uma das soluções reais que você encontrou é realmente
solução da EDO.

\bsk

{\bf EDOs da forma $y'=a(x)y$:}

4) Para a EDO $y' = (3x^2-2x)y$:

4a) encontre a solução geral,

4b) verifique que a sua solução geral realmente é solução da EDO,

4c) encontre uma solução $f(x)$ tal que $f(1) = -4$.


\newpage

{\bf Gabarito desorganizado:}

0a) Na própria questão.

0b) $\psi(x,y) = y-x^2$, $y'=2x$.

0c) $2yy'+2x=0$, $y' = \frac xy$, $y = \pm \sqrt{C-x^2}$

1) $(D-1)(D-2)y = (D^2-3D+2)y = y''-3y'+2y = 0$

2) $y''+y'-20y = (D^2+D-20)y = (D+5)(D-4)y = 0$

2a) $e^{-5x}$, $e^{4x}$

\ssk

2b) $f(x) = a e^{-5x} + b e^{4x}$

    $f(0) = a + b = 0$

    $f'(0) = -5a + 4b = 1$

    $a = -\frac19$, $b=\frac19$

    $f(x) = -\frac19 e^{-5x} + \frac19 e^{4x}$

\ssk

2c) $g(x) = c e^{-5x} + d e^{4x}$

    $g(0) = c + d = 1$

    $g'(0) = -5c + 4d = 0$

    $c = \frac49$, $d = \frac59$

    $g(x) = \frac49 e^{-5x} + \frac59 e^{4x}$

2d) $h(x) = 5g(x) + 2f(x) = (5\frac49 -2\frac19) e^{-5x} + (2\frac59 +2\frac19) e^{4x}
          = 2 e^{-5x} + \frac43 e^{4x}$

\ssk

3) $y''-2y'+5y = (D^2-2D+5)y = (D-(1+2i))(D-(1-2i))y = 0$

$e^{(1+2i)x}$, $e^{(1-2i)x}$

$e^{(1+2i)x} = e^x e^{2ix} = e^x (\cos 2x + i \sen 2x)$

$e^{(1-2i)x} = e^x e^{-2ix} = e^x (\cos (-2x) + i \sen (-2x)) = e^x (\cos 2x - i \sen 2x)$

$e^x \cos 2x$, $e^x \sen 2x$

\ssk

4a) $y = k e^{x^3-x^2}$

4b) $y' = k e^{x^3-x^2} (3x^2 - 2x) = (3x^2 - 2x)y$

4c) $f(x) = -4 e^{x^3-x^2}$




%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
