% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P2.tex && latex    2010-1-C2-exercs-P2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P2.tex && pdflatex 2010-1-C2-exercs-P2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-exercs-P2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

%\input 2010-1-C2-exercs-P2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def{\ensuremath{\bullet}}
\def\zz{\zeta}

% (find-es "tex" "newcounter")
\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

Cálculo 2 - 2010jun09

Exercícios de preparação para a P2 e para um trabalho -

{\bf versão preliminar}

\bsk


Definição: uma {\sl partição} é um objeto matemático composto de três
partes:

 um valor de $nÝ\N$,

 uma seqüência $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ com $x_0 \le x_1 \le \ldots
  \le x_n$,

 uma seqüência $(\zz_1, \ldots, \zz_n)$ com $\zz_1Ý[x_0,x_1], \ldots,
  \zz_nÝ[x_{n-1},x_n]$.

Uma {\sl partição do intervalo $[a,b]$} é uma partição na qual $x_0=a$
e $x_n=b$.

\msk

Repare que temos várias escolhas ``óbvias'' de partições para um
intervalo $[a,b]$ ``em $n$ subintervalos''. Por exemplo, podemos
dividir o intervalo original em $n$ subintervalos iguais, e aí:

 fazer $\zz_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ para todo $i$, {\sl ou}

 fazer $\zz_i=x_{i-1}$ para todo $i$, {\sl ou}

 fazer $\zz_i=x_i$ para todo $i$.

Mas a noção de partição é bem mais geral que isto, e a folha de
exercícios sobre Integral de Riemann (aquela manuscrita, com data de
16/nov/2009 no cabeçalho) tinha alguns exemplos nos quais os
subintervalos tinham comprimentos diferentes.

Quando conhecemos uma função $f:\R \to \R$ e uma partição $P$ a
expressão $\sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})$ ``pode ser calculada''
--- sabemos que ela representa um número, e mesmo que não consigamos
calcular o seu valor ``na mão'', fazendo contas exatas simbolicamente,
devemos ser capazes podemos calculá-la\footnote{na verdade sabemos
calcular uma {\sl aproximação} para ela.} com uma calculadora ou
computador.

Repare que se fixamos $f$ e $P$ a expressão $\sum_{i=1}^n f(\zz_i)
(x_i-x_{i-1})$ ``faz sentido'', isto é, ``pode ser calculada'' --- mas
a expressão $f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})$ só ``faz sentido'' {\sl dentro}
do sinal de somatório, porque ela faz referência ao valor de $i$.

\msk

Mini-exercícios:

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em 1001 subintervalos
para o intervalo $[3,4]$.

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em $2k$ subintervalos
para o intervalo $[c, d]$.

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em $n$ subintervalos
para o intervalo $[a, b]$.

\msk

Note que quando dizemos ``$P$ é uma partição em 1001 subintervalos
para o intervalo $[3,4]$'' nós estamos fixando o $n$ da partição $P$
($n=1001$) e também $a = x_0 = 3$ e $b = x_{n} = x_{1001} = 4$. Quando
dizemos ``...em $2k$ subintervalos para o intervalo $[c,d]$'' nós
estamos declarando que $k$, $c$ e $d$ são números com valores
conhecidos --- mas que nós vamos nos referir aos seus valores pelos
nomes `$k$', `$c$' e `$d$'. Quando dizemos ``...em $n$ subintervalos
para o intervalo $[a,b]$'' algo um pouco mais sutil acontece: {\sl
passamos a considerar que $n$, $a$ e $b$ são números conhecidos.}

\newpage


\noindent (Abreviações: ``VSR'' = ``volume de sólido de revolução'',

\noindent ``ASR'' =``área de superfície de revolução''.)

\bsk

O trabalho que eu passei sobre deduzir as fórmulas para VSRs e ASRs
tem vários objetivos:

 fazer vocês calcularem certas coisas (p.ex., área de um pedaço de
cone) em casos particulares,

 fazer vocês tentarem generalizar um método de calcular algo,
trocando quantidades numéricas por variáveis,

 fazer vocês testarem as fórmulas com variáveis que vocês obtiveram,

 fazer vocês encontrarem modos de apresentar uma dedução de uma
fórmula,

 fazer vocês começarem a aprender a trabalhar com uma ``função
qualquer'', um ``intervalo qualquer'' e uma ``partição qualquer'',

\msk

Exercícios (vários destes foram feitos em sala, mas lembrem da
recomendação de que vocês os refizessem em casa!... Vários deles podem
virar partes do trabalho sobre VSRs e ASRs, e todos são úteis como
preparação para a P2):

\msk

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Existe uma
``aproximação óbvia'' para $f$ por uma função-escada $g:[a,b] \to \R$.
Represente graficamente $f$ e $g$.

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Defina formalmente
(com uma definição por casos) a ``aproximação óbvia para $f$ por uma
função-escada''.

\newex Generalize o que você fez no exercício anterior: suponha que
$f:\R \to \R$ é uma função qualquer e que $P$ é uma partição qualquer
(de um intervalo $[a,b]$ qualquer), e dê uma definição formal, por
casos (use `$\ldots$' onde precisar) da ``aproximação óbvia para $f$
por uma função escada''.

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Existe uma
``aproximação óbvia'' para $f$ por uma função poligonal $g:[a,b] \to
\R$, cujos ``vértices'' são os pontos $(x_0,f(x_0)), \ldots,
(x_n,f(x_n))$.

\newex Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $(2,1)$ e
$(6,4)$.

\newex Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $(x_0,y_0)$ e
$(x_1,y_1)$. Teste a sua equação com os pontos do exercício anterior.

\newex Dê uma definição formal, por casos, da função poligonal
$g:[2,7] \to \R$ cujos vértices são os pontos $(x_0,y_0)=(2,1)$,
$(x_1,y_1)=(6,4)$, $(x_2,y_2)=(7,4)$. Mostre como usar a sua definição
para calcular $g(3)$, $g(6)$ e $g(6.5)$; mostre o que acontece quando
tentamos calcular $g(10)$ usando a sua definição.

\newex Agora suponha que $f:\R \to \R$ é uma função qualquer e $P$ é
uma partição qualquer. Generalize a definição formal do item anterior.


\newpage

(Lembre que em todos os exemplos que vimos em sala as rotações eram
feitas em torno do eixo horizontal, $y=0$ --- vamos continuar usando
esta rotação).

\msk

\newex Nós vimos em sala que o SR gerado pelo segmento horizontal que
liga os pontos $(2,3)$ e $(4,3)$ é um cilindro. Explique como calcular
o volume deste cilindro, e calcule-o explicitamente. Sugestões de
terminologia: $A_B$ é a área da base, $r_B$ é o raio da base, $h$ é a
altura. {\sl Lembre de sempre usar desenhos e explicações em português
pra deixar claro o que você está fazendo.}

\newex Mostre como calcular o volume do SR gerado pelo segmento
horizontal de altura $y_1$ e base $[x_0,x_1]$.

\newex Mostre como calcular o volume do SR gerado por cada segmento
horizontal de uma função-escada.

\newex Seja $f:\R \to \R$ uma função qualquer, $P$ uma partição para o
intervalo $[a,b]$. Defina uma função $g:[a,b] \to \R$ que é uma
aproximação de $f$ por uma função escada (explique como!), e encontre
um somatório que expressa o volume do SR gerado por $G$.

\msk

\newex Mostre como planificar o pedaço de cone obtido pela rotação do
segmento que liga os pontos $(2,1)$ a $(6,4)$. Represente graficamente
a ``versão planificada'' desse cone. Sugestões de terminologia: $r_I$,
$r_E$, $c_I$, $c_E$, $$, $h$, etc.

\newex Calcule a área do pedaço de cone (planificado) do exercício
anterior.

\newex Mostre como planificar o pedaço de cone obtido pela rotação do
segmento que liga os pontos $(x_0,y_0)$ a $(x_1,y_1)$. Mostre como as
quantidades $r_I$, $r_E$, $c_I$, $c_E$, $$, $h$, $A_I$, $A_E$ (onde
$A_I$ e $A_E$ são as áreas do ``pacman interno'' e do ``pacman
externo'') se relacionam. Encontre uma fórmula para $A_E-A_I$ --- a
área da versão planificada do pedaço de cone --- a partir de
$(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$.

\newex Se $g:[a,b] \to \R$ é uma função poligonal com vértices
$(x_0,y_0), \ldots, (x_n,y_n)$ então existe pelo menos um modo
``óbvio'' de construir uma partição $P$ ``associada à $g$''. Descreva
esta partição, primeiro para o caso no qual os vértices são
$(x_0,y_0)=(2,1)$, $(x_1,y_1)=(6,4)$, $(x_2,y_2)=(7,4)$, depois para o
caso geral. Obs: não esqueça os `$\zz_i$'s!

\newex Se $g:[a,b] \to \R$ é uma função poligonal a rotação do gráfico
de $g$ em torno do eixo horizontal é uma figura composta por vários
pedaços de cones. Explique como obter a ASR de cada um destes pedaços
de cones e encontre um somatório que calcula a área total. {\sl Se
você não estiver seguro da fórmula que você obteve, teste-a no caso em
que os vértices são $(2,1)$, $(6,4)$, $(7,4)$.}



\newpage

Agora vamos ver como passar de somatórios para integrais.

A fórmula exata\footnote{na verdade ela é a {\sl definição formal} do
valor da integral.} que relaciona somatórios e integrais é a seguinte:
se $f:[a,b] \to \R$ é integrável, então:
%
$$\int_{x=a}^{x=b} f(x) \, dx =
  \lim_{P \text{ part } [a,b] \atop |P| \to 0}
  \sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})
$$
%
onde ``$P \text{ part } [a,b]$'' é uma abreviatura para $P$ é uma
partição do intervalo $[a,b]$.

% (find-texbookpage (+ 11 145) "stacked")
% (find-kopkadaly4page (+ 12 138) "Mathematical formulas")
% (find-kopkadaly4page (+ 12 189) "Mathematical formulas")

Repare que {\sl dentro do limite} a partição $P$ (e daí o $n$, os
`$x_i$'s e os `$\zz_i$'s) estão definidos.

Nós vamos usar uma versão meio acochambrada desta fórmula:
%
$$\int_{x=a}^{x=b} f(x) \, dx \approx
  % \lim_{P \text{ part } [a,b] \atop |P| \to 0}
  \sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})
$$
%

Se tivermos dentro do somatório uma função $f(\zz_i)$ ``com a forma
certa'' vamos poder {\sl converter o somatório numa integral}.

(Exemplos e detalhes depois.)







%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
