% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.tex")
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P3.tex && latex    2010-1-C2-exercs-P3.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P3.tex && pdflatex 2010-1-C2-exercs-P3.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-exercs-P3.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.dvi"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf")
% (find-pspage   "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-exercs-P3.ps 2010-1-C2-exercs-P3.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-exercs-P3.ps 2010-1-C2-exercs-P3.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-exercs-P3.ps 2010-1-C2-exercs-P3.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-exercs-P3")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-exercs-P3.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def{\ensuremath{\bullet}}
\def\zz{\zeta}
\def\psm#1{\left(\sm{#1}\right)}
\def\CinftyR{\calC^\infty(\R)}
\def\RN{\R^\N}
\def\CN{\C^\N}


% (find-es "tex" "newcounter")
\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

Cálculo 2 - 2010jul04

Exercícios de preparação para a P3 -

{\bf versão preliminar}

\bsk


A composta de duas funções $f$ e $g$, $f¢g$, é definida da seguinte
forma: para todo valor de $x$, $(f¢g)(x) = f(g(x))$. Por exemplo, se
$f(y)=y^2$ e $g(x)=x+1$ então:
%
$$\begin{array}{ccccc}
  f(g(x)) &=& f(x+1) &=& (x+1)^2 \\
  f(g(x)) &=& g(x)^2 &=& (x+1)^2 \\
  \end{array}
$$

Repare que neste caso podemos pensar que temos gráficos $y=g(x)$,
$z=f(y)$, $z=(f¢g)(x)$ (tente imaginar estes três gráficos juntos em
$\R^3$!).

É muito comum usarmos a mesma variável nas duas funções que queremos
compor --- por exemplo, $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+1$ --- e aí os dois modos
de compor $f$ e $g$, $f¢g$ e $g¢f$, ``fazem sentido'', mas precisamos
de um pouco mais de atenção para não nos enrolarmos nas contas:
%
$$\begin{array}{ccccc}
  f(g(x)) &=& f(x+1) &=& (x+1)^2 \\
  f(g(x)) &=& g(x)^2 &=& (x+1)^2 \\
  g(f(x)) &=& g(x^2) &=& x^2+1 \\
  g(f(x)) &=& f(x)+1 &=& x^2+1 \\
  \end{array}
$$

Vamos fixar uma função $f$:
%
$$\begin{array}{rcrcl}
  f &:& \R &\to & \R \\
     &&  x &\mto& x^2 \\
  \end{array}
$$
%
(depois vamos generalizar as idéias deste exercício para uma $f$
qualquer). Podemos definir duas operações, $(f¢)$ e $(¢f)$, que
recebem funções de $\R$ em $\R$ e retornam outras funções de $\R$ em
$\R$:
%
$$\begin{array}{rcrcl}
  (f¢) &:& \CinftyR &\to & \CinftyR \\
        &&        g &\mto& (f¢)(g) = f¢g \\
  (¢f) &:& \CinftyR &\to & \CinftyR \\
        &&        g &\mto& (¢f)(g) = g¢f \\
  \end{array}
$$
%
então por exemplo, $(f¢)(\sen)(x) = (\sen x)^2$ e $(¢f)(\sen)(x) = \sen x^2$. 

\newex Seja $g(x) = x^3$. Calcule $(f¢)(g)$ e $(¢f)(g)$.

\newex Seja $g(x) = 4x^3$. Calcule $(f¢)(4g)$ e $(¢f)(4g)$.

\newex Sejam $a=4$, $b=5$, $g=\sen$, $h=\cos$. Calcule $(f¢)(ag+bh)$ e
$a((f¢)g)+b((f¢)h)$.

\newex Generalize: para $a,bÝ\R$ e $g,hÝ\CinftyR$, calcule
$(f¢)(ag+bh)$ e $a((f¢)g)+b((f¢)h)$. A operação $(f¢)$ é linear?
Porquê?

\newex Sejam $a=4$, $b=5$, $g=\sen$, $h=\cos$. Calcule $(¢f)(ag+bh)$ e
$a((¢f)g)+b((¢f)h)$.

\newex Generalize: para $a,bÝ\R$ e $g,hÝ\CinftyR$, calcule
$(¢f)(ag+bh)$ e $a((¢f)g)+b((¢f)h)$. A operação $(¢f)$ é linear?
Porquê?

\newpage

Agora $f:\R \to \R$ vai ser uma função qualquer.

\newex Para $a,bÝ\R$ e $g,hÝ\CinftyR$, calcule $(f¢)(ag+bh)$ e
$a((f¢)g)+b((f¢)h)$. A operação $(f¢)$ é linear? Porquê?

\newex Para $a,bÝ\R$ e $g,hÝ\CinftyR$, calcule $(¢f)(ag+bh)$ e
$a((¢f)g)+b((¢f)h)$. A operação $(¢f)$ é linear? Porquê?

\bsk

\newex Sabemos que $(D-2)(D-3)(e^{2x}) = 0$ e que $(D-3)(D-2)(e^{3x})
= 0$. Vimos em sala de aula que isto nos diz que as soluções de
$f''-5f'+6f=0$ são da forma $f=ae^{2x} + be^{3x}$, mas ninguém
consegue lembrar todos os detalhes desta demonstração da primeira vez
8-). Tente refazê-la e justificar claramente cada passo dela.

\newex Generalize: que funções $f$ são soluções de
$(D-\aa)(D-\bb)(D-\cc)f = 0$ quando $\aa$, $\bb$ e $\cc$ são
constantes reais diferentes?

\newex Calcule $(D-1)^2(xe^x)$.

\newex Mostre que as funções da forma $f=ae^x + bxe^x$ são soluções de
$f''-2f'+f=0$.

\bsk

\newex Verifique que $(D-1)(e^{2x}) = e^{2x}$.

\newex Verifique que $(D-1)(e^x) = 0$.

\newex Verifique que $(D-1)(e^{2x} + ae^x) = e^{2x}$.

\newex Mostre que se $(D-\aa)(D-\bb)g=h$ então
$(D-\aa)(D-\bb)(g+ae^{\aa x}+be^{\bb x})=h$.

\bsk

\newpage

Lembre que definimos em sala de aula uma operação
%
% $$U(f) = \begin{pmatrix} f(0) \\ f'(0) \\ f''(0) \\ \vdots \end{pmatrix}$$
$$U(f) = \psm{f(0) \\ f'(0) \\ f''(0) \\ \vdots}$$
%
e vimos que ela era linear. Os primeiros exercícios abaixo são só pra
você relembrar como ela funciona, os outros são novidade.

\newex Calcule $U(e^x)$, $U(e^{2x})$, $U(e^{ix})$, $U(e^{-ix})$,
$U(e^{ix}+e^{-ix})$, $U(e^{ix}-e^{-ix})$, $U(\cos x)$, $U(\sen x)$.

\newex Calcule $U(a+bx+cx^2+dx^3)$.

\bsk

O vetor $\psm{10 \\ 20 \\30}$ mora em $\R^3$, O vetor $\psm{10 \\ 20
  \\30 \\ 40}$ mora em $\R^4$, etc. O resultado de $U(e^x)$ é um vetor
de dimensão infinita, e ainda não temos um nome ``oficial'' para o
espaço vetorial dos vetores de dimensão infinita com componentes
reais... então vamos inventar um nome para este espaço agora: $\RN$
(em outros cursos de Matemática ele vai receber outros nomes). A
operação $U$ vai de $\CinftyR$ em $\RN$. Vamos definir uma operação
$W:\RN \to \CinftyR$ assim:

$$\begin{array}{rcl}W\psm{a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\\vdots}
    &=& a_0x^0 + a_1x^1 + \frac{a_2}{2}x^2 + \frac{a_3}{6}x^3 + \ldots \\
    &=& \sum_{j=0}^\infty \frac{a_j}{j!}x^j
  \end{array}
$$

\newex Verifique que se $f$ é um polinômio de grau 5 temos $W(U(f)) =
f$. {\sl Obs:} como é que você formaliza a idéia ``$f$ é um polinômio
de grau 5''? Tente algo como: ``$f$ é da forma {\sl [expressão]}, onde
{\sl blá}, ..., e {\sl blá} são números reais''.

\newex Verifique que se $vÝ\RN$ é um vetor infinito que é ``sempre 0 a
partir da 5ª posição'' (formalize isto!) temos $U(W(v)) = v$.

\bsk

O melhor modo de resolver um problema como, por exemplo, ``encontre
uma solução de $f''-5f'+6f=0$ tal que $f(0)=3$ e $f'(2)=4$'', é
descobrir que $f$ tem que ser da forma $ae^{2x} + be^{3x}$, definir
uma transformação linear
%
$$T(f) = \psm{f(0) \\ f'(2)}$$
%
e aí resolver:
%
$$T(ae^{2x} + be^{3x}) = \psm{3 \\ 4}$$

\newex Encontre uma solução de $f''+f'-2f=0$ tal que $f(0)=1$ e $f'(0)=0$.

\newex Encontre uma solução de $f''+f'-2f=0$ tal que $f(0)=0$ e $f'(0)=1$.

\newex Encontre uma solução de $f''+f'-2f=0$ tal que $f(0)=4$ e $f'(0)=5$.


\bsk
\bsk
\bsk





%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
