% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "pdflatex -record 2010-1-C2-prova-1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXSH "pdflatex 2010-1-C2-prova-1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2010-1-C2-prova-1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2010-1-C2-prova-1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2010-1-C2-prova-1.pdf"))
%          (code-eec-LATEX "2010-1-C2-prova-1")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf
%               file:///tmp/2010-1-C2-prova-1.pdf
%           file:///tmp/pen/2010-1-C2-prova-1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-lualatex-links "2010-1-C2-prova-1")

% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2010-1-C2-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2010-1-C2-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-1.tex && latex    2010-1-C2-prova-1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-1.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.dvi"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.dvi")
% (find-pspage   "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-pspage   "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-1.ps 2010-1-C2-prova-1.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-1.ps 2010-1-C2-prova-1.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-1.ps 2010-1-C2-prova-1.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf" "/tmp/pen/2010-1-C2-prova-1.pdf" 'over)
% (find-sh0 "mkdir /tmp/pen/")
% (find-sh0 "sudo mount -o uid=$UID -t vfat /dev/sdb1 /tmp/pen/")
% (find-sh0 "sudo umount /tmp/pen")
% (find-fline    "/tmp/pen/")
% (find-xpdfpage "/tmp/pen/2010-1-C2-prova-1.pdf")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

%\input 2010-1-C2-prova-1.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}


{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Primeira Prova (P1)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 05/maio/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk



\noindent {\bf (1)} (Total: 3.5 pontos). Sejam $E$ a elipse de centro
$(0,0)$, raio horizontal 5 e raio vertical 4, $F=(3,0)$ um dos seus
focos, $P_ = (x_,y_) = (5 \cos , 4 \sen )$ um ponto de $E$ ---
que depende de $$ ---, e sejam $y=e(x)$ a equação da metade superior
de $E$ e $y=f_(x)$ a equação da reta que passa pelos pontos $F$ e
$P_$. Além disso para cada $Ý(0,\pi)$ a região $A_$ vai ser o
conjunto dos pontos que estão: (i) dentro de $E$, e (ii) acima da reta
$y=0$, e (iii) à direita da reta $y=f_(x)$.

\msk

a) (0.2 pontos) Encontre uma fórmula explícita para $e(x)$. Dica:
$E=\sst{(x,y)Ý\R^2}{(\frac x5)^2 + (\frac y4)^2 = 1}$.

b) (0.3 pontos) Represente graficamente $E$, $F$, $P_{\pi/2}$,
$y=f_{\pi/2}(x)$, $A_{\pi/2}$.

c) (0.3 pontos) Seja $\aa=\arctan \frac34 \approx 0.6435011$. Para
$=\aa$ temos $\cos \aa = \frac45$, $\sen \aa = \frac 35$, e $P_\aa$
tem coordenadas simples. Represente graficamente $E$, $F$, $P_\aa$,
$y=f_\aa(x)$, $A_\aa$.

d) (0.3 pontos) Encontre uma fórmula explícita para $f_(x)$. {\sl
Dica:} teste-a para $=\pi/2$.

e) (0.9 pontos) Expresse as áreas de $A_{\pi/2}$, $A_\aa$, $A_$
($A_$ é o caso geral; lembre que $Ý(0,\pi)$) como somas de
integrais. {\sl Aqui a resposta deve ser uma fórmula simples que seja
fácil de verificar geometricamente; só nos itens (d) e (f) você vai
ter que fazer cálculos e resolver integrais.}

f) (1.5 pontos) Calcule a área de $A_$.


% (find-es "maxima" "2010.1-C2-P1")


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (2)} (Total: 2.5 pontos). Encontre uma primitiva para
%
$$f(x) =
  \begin{cases}
  1             & \text{quando $x < 1$} \\
  3(x-2)^2 - 1  & \text{quando $1 \le x \le 3$} \\
  -1            & \text{quando $3 < x$} \\
  \end{cases}
$$
%
e represente graficamente $f(x)$ e a sua primitiva.


\bsk
\bsk

\noindent {\bf (3)} (Total: 2.0 pontos). Calcule
%
$\int \frac{x^2+6}{x^2-5x+6} \,dx$.

\bsk
\bsk

\noindent {\bf (5)} (Total: 2.0 pontos). Calcule:
%
$$\int_{x=-1}^{x=0} \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}} \,dx$$







\bsk
\bsk

\newpage

Algumas fórmulas:

Integração por partes:

$\int_{x=a}^{x=b} f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) \big|_{x=a}^{x=b} - \int_{x=a}^{x=b} f(x)g'(x)\,dx$

\msk

% Mudança de variável:
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} \frac{dg}{du} \frac{du}{dx} \,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} \frac{dg}{du} \, du$ 
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} g'(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} g'(u) \, du$
% 
% $\int_{x=a}^{y=b} f(u(x))u'(x)\,dx = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} f(u) \, du$
% 
% \msk

Integrais de $(\sen )^m (\cos )^n$ com um expoente ímpar ($s = \sen $, $c= \cos $):

$\int s^n c^{2k+1} d = \int s^n c^{2k} · c \,d =
  \subst{\sen  = s \\
         \cos^2  = 1 - s^2 \\
         \cos \,d = ds \\
          = \arcsen s}
  \int s^n (1-s^2)^k \, ds$

$\int c^n s^{2k+1} d = \int c^n s^{2k} · s \,d =
  \subst{\cos  = c \\
         \sen^2  = 1 - c^2 \\
         - \sen \,d = dc \\
          = \arccos s}
  - \int c^n (1-c^2)^k \, dc$

\msk

Substituição trigonométrica:

$\int F(s, \sqrt{1 - s^2})\,ds =
 \subst{s = \sen  \\
        \sqrt{1-s^2} = \cos  \\
        ds = \cos  \, d \\
         = \arcsen s}
 \int F(\sen , \cos ) \cos  \, d$

$\int F(t, \sqrt{1 + t^2})\,dt =
 \subst{t = \tan  \\
        \sqrt{1+t^2} = \sec  \\
        dt = \sec^2  \, d \\
         = \arctan t}
  \int F(\tan , \sec ) \sec^2  \, d$

$\int F(z, \sqrt{z^2 - 1})\,dz =
 \subst{z = \sec  \\
        \sqrt{z^2-1} = \tan  \\
        dz = \tan  \sec \, d \\
         = \arcsec z}
  \int F(\sec , \tan ) \tan  \sec  \, d$

\ssk

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\arcsen x}{2} + \frac{x\,\sqrt{1-x^2}}{2}$

\msk

Método de Heaviside:

Se $f(x) = \frac{\aa}{x-a} + \frac{\bb}{x-b} + \frac{\cc}{x-c} = \frac{p(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$,

então $\lim_{x \to a} f(x)(x-a) = \aa = \frac{p(a)}{(a-b)(a-c)}$.



\bsk
\bsk


A prova é para ser feita em duas horas,

sem consulta e sem calculadora.

Responda claramente e justifique cada passo.

Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e

que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.

Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só

uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um

raciocínio claro e convincente, com todos os detalhes

necessários, mostrando que você sabe traduzir corretamente

entre as várias linguagens (português, diagramas,

matematiquês, etc) e explicando o que você está fazendo

quando for preciso.

Você pode fazer perguntas ao professor durante a prova,

mas não pode confiar nas respostas.

Cuidado: respostas parecidas demais com as de colegas

podem fazer com que sua prova seja anulada!

Dica: {\sl confira as suas respostas!}

\ssk

{\bf Boa prova!}




\newpage

Mini-gabarito:

(versão: 2010may11. Incompleto)

\msk

\def\hpi{{\pi/2}}
\def\th{\theta}
\def\Area{\text{Área}}
\def\intx#1#2#3{\int_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\INTX#1#2#3{\left.#3\right|_{x=#1}^{x=#2}}

1a) $(\frac x5)^2 + (\frac y4)^2 = 1$ $\iff$

    $(\frac y4)^2 = 1 - (\frac x5)^2$ $\iff$

    $\frac y4 = \pm \sqrt{1 - (\frac x5)^2}$ $\iff$

    $y = \pm 4\sqrt{1 - (\frac x5)^2}$.

Def: $e(x) = 4\sqrt{1 - (\frac x5)^2}$.

\msk

1b) (Figura). $P_\hpi = (x_\hpi,y_\hpi) = (5 \cos \hpi, 4 \sen \hpi) = (0,4)$;

a reta $y=f_\hpi(x)$ passa por $(0,4)$ e $(3,0)$.

\msk

1c) (Figura). $P_\aa  = (x_\aa ,y_\aa ) = (5 \cos \aa, 4 \sen \aa) = (4,\frac{12}{5})$;

a reta $y=f_\aa(x)$ passa por $(4, \frac{12}{5})$ e $(3,0)$.

\msk

1d) $(x,y)$ está na reta de $P_\th$ a $F$

$\iff$ $(x,y)$ está na reta de $(x_\th,y_\th)$ a $(3,0)$

$\iff$ $(x-3,y)$ está na reta de $(x_\th-3,y_\th)$ a $(0,0)$

$\iff$ $y/(x-3) = y_\th/(x_\th-3)$

$\iff$ $y = \frac{y_\th}{x_\th-3} (x-3)$.

Como esse termo $\frac{y_\th}{x_\th-3}$ vai aparecer em muitos lugares

vamos definir: $t_\th = \frac{y_\th}{x_\th-3}$.

Def: $f_\th(x) = t_\th(x-3) = \frac{y_\th}{x_\th-3} (x-3)$.

\msk

1e) $\begin{array}[t]{rcl}
 \Area(A_\aa)  &=& \intx{3}{4}{f_\aa(x)} + \intx{4}{5}{e(x)} \\
               &=& \intx{3}{x_\aa}{f_\aa(x)} - \intx{x_\aa}{5}{e(x)} \\
 \Area(A_\hpi) &=& \intx{0}{5}{e(x)} - \intx{0}{3}{f_\hpi(x)} \\
               &=& \intx{3}{0}{f_\hpi(x)} + \intx{0}{5}{e(x)} \\
               &=& \intx{3}{x_\hpi}{f_\hpi(x)} + \intx{x_\hpi}{5}{e(x)} \\
 \Area(A_\th)  &=& \intx{3}{x_\th} {f_\th (x)} + \intx{x_\th }{5}{e(x)} \\
 \end{array}
$


\newpage

1f) $\begin{array}[t]{rcl}
  \int f_\th(x)\,dx &=& \int t_\th(x-3)\,dx \\
                    &=& t_\th(\frac{x^2}{2} - 3x) \\
                    &=& (\frac{y_\th}{x_\th-3})(\frac{x^2}{2} - 3x) \\
                    &=& (\frac{4 \sen \th}{5 \cos \th-3})(\frac{x^2}{2} - 3x) \\
                    &=& F_\th(x) \\
  \int e(x)\,dx     &=& \int 4\sqrt{1-(\frac x5)^2}\,dx \\
                    &=& \subst{ x/5=u \\ x=5u \\ dx=5du }
                        4 \int \sqrt{1-u^2}\,5\,du \\
                    &=& 20 \left( \frac{\arcsen u}{2} + \frac{u\sqrt{1-u^2}}{2} \right) \\
                    &=& 20 \left( \frac{\arcsen \frac x5}{2} + \frac{\frac x5 \sqrt{1-(\frac x5)^2}}{2} \right) \\
                    &=& 10 \arcsen \frac x5 + 2 x \sqrt{1-(\frac x5)^2} \\
                    &=& E(x) \\
 \Area(A_\th)  &=& \intx{3}{x_\th} {f_\th (x)} + \intx{x_\th }{5}{e(x)} \\
               &=& \INTX{3}{x_\th} {F_\th (x)} + \INTX{x_\th }{5}{E(x)} \\
               &=& \INTX{3}{x_\th} {(t_\th(\frac{x^2}{2} - 3x))} +
                   \INTX{x_\th }{5}{(10 \arcsen \frac x5 + 2 x \sqrt{1-(\frac x5)^2})} \\
\end{array}$

\bsk

2) $\begin{array}[t]{l}
  F_1(x) = \int 1\,dx = x \\
  F_2(x) = \int 3(x-2)^2 - 1\,dx = (x-2)^3-(x-2) \\
  F_3(x) = \int -1\,dx = -x \\
  F_1(t)|_{t=0}^{t=x} = x\\
  F_1(t)|_{t=0}^{t=1} + F_2(t)|_{t=1}^{t=x} = (x-2)^3-(x-2)+1 \\
  F_1(t)|_{t=0}^{t=1} + F_2(t)|_{t=1}^{t=3} + F_3(t)|_{t=3}^{t=x} = 4-x \\
  \end{array}$
$$F(x) = \int f(x)\,dx =
  \begin{cases}
  x             & \text{quando $x < 1$} \\
  3(x-2)^2 - (x-2) + 1  & \text{quando $1 \le x \le 3$} \\
  4-x            & \text{quando $3 < x$} \\
  \end{cases}
$$

\msk

3) $\begin{array}[t]{rcl}
   \int \frac{x^2+6}{x^2-5x+6}\,dx
     &=& \int \frac{(x^2-5x+6)+5x}{x^2-5x+6}\,dx \\
     &=& \int 1+\frac{5x}{x^2-5x+6}\,dx \\
     &=& \int 1+\frac{5x}{(x-3)(x-2)}\,dx \\
     &=& \int 1+\frac{15}{x-3}-\frac{10}{x-2}\,dx \\
     &=& x + 15 \ln |x-3| - 10 \ln |x-2| \,dx \\
   \end{array}$

\bsk

\def\crx{\sqrt[3]{x}}
\def\ucrx{1+\sqrt[3]{x}}

4) $\begin{array}[t]{rcl}
   \int \frac{1}{\sqrt{\ucrx}}\,dx
     &=& \subst{ \crx=u \\ x=u^3 \\ dx=3u^2\,du }
         \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} 3u^2 \,du \\
     &=& \subst{ 1+u=v \\ u=v-1 \\ du=dv }
         \int \frac{3(v-1)^2}{\sqrt{v}} \,dv \\
     &=& 3 \int (v^{3/2} - 2v^{1/2} + v^{-1/2})\,dv \\
     &=& 3 (\frac25 v^{5/2} - \frac23 v^{3/2} + 2 v^{1/2}) \\
     &=& \frac65 (\ucrx)^{5/2} - 2 (\ucrx)^{3/2} + 6 (\ucrx)^{1/2} \\
   \end{array}$







%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
