% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-2.tex")
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-2.tex && latex    2010-1-C2-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-2.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.dvi"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf")
% (find-pspage   "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-2.ps 2010-1-C2-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-2.ps 2010-1-C2-prova-2.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-2.ps 2010-1-C2-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-prova-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[brazil]{babel} % (find-es "tex" "texlive-lang")
\usepackage{edrx08}        % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"   -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex    % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-prova-2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}
\def\Dx{\DD x}
\def\Dy{\DD y}
\def\zz{\zeta}
\def\ovr{\overrightarrow}
\def\xy_#1{(x_{#1},y_{#1})}
\def\partsm{{\sm{\text{$P$ part. $[a,b]$}\\|P| \to 0}}}
\def\gab#1{}
\long\def\gab#1#2#3{#1 (#2): #3}
\long\def\gab#1#2#3{{\color{green}#1 (#2): }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{{\color{green}#1: }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{}

\def\Pontos#1{(Total: #1 pontos).}
\def\pontos#1{(#1 pontos)}

\def\Pontos#1{}
\def\pontos#1{}
\long\def\gab#1#2#3{}

\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}




{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Segunda Prova (P2)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 23/junho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf Introdução.} Lembre que a dedução da fórmula para o
comprimento de arco que fizemos em sala de aula era: se $f:[a,b] \to
\R$ é uma curva poligonal com vértices $(x_0,y_0),\ldots,(x_n,y_n)$ e
$P=(n,\;(x_0,\ldots,x_n),\;(\zz_1,\ldots,\zz_n))$ é uma partição do
intervalo $[a,b] = [x_0, x_n]$ com $\zz_i Ý (x_{i-1},x_i)$ para todo
$i$ (e portanto $f'(\zz_i) = \frac{\Dx_i}{\Dy_i}$ para todo $i$),
então:
%
$$\begin{array}{rcl}
  L(b) - L(a) &=& \sum_{i=1}^n \sqrt{\Dx_i^2 + \Dy_i^2} \\
              &=& \sum_{i=1}^n \sqrt{1 + (\frac{\Dy_i}{\Dx_i})^2} \, \Dx_i \\
              &=& \sum_{i=1}^n \sqrt{1 + f'(\zz_i)^2} \, (x_i-x_{i-1}) \\
              &=& \int_{x=a}^{x=b} \sqrt{1 + f'(x)^2} \,dx \\
  \end{array}
$$
%
daí, se $y=f(x)$ é uma curva derivável em $[a,b]$ (com derivada
contínua, etc), então o comprimento de arco de $y=f(x)$ no intervalo
$[a,b]$ é:
%
$$\begin{array}{rcl}
  L(b) - L(a) &=& \lim\limits_\partsm \sum_{i=1}^n \sqrt{1 + f'(\zz_i)^2} \, (x_i-x_{i-1}) \\
              &=& \int_{x=a}^{x=b} \sqrt{1 + f'(x)^2} \,dx \\
  \end{array}
$$
%
e portanto para calcular o comprimento de arco de $y=f(x)$ nós
precisamos integrar uma {\sl outra} função: $l(x) = \sqrt{1 +
  f'(x)^2}$ --- e temos $L(x) = \int l(x)\,dx$.

\msk

O tempo necessário para percorrer um segmento de reta com velocidade
constante é proporcional ao comprimento do segmento e inversamente
proporcional à velocidade. Por exemplo, o tempo necessário para
percorrer o segmento entre os pontos $(0,4)$ e $(3,0)$ com velocidade
2 é $\frac{5}{2}$ (lembre que dizemos ``tempo $\frac 5 2$'' ao invés
de ``$\frac52$ unidades de tempo'', ``distância 5'' ao invés de ``5
unidades de distância'', etc). Note que neste exemplo o vetor
velocidade é constante, $\vec v = \ovr{(v_x,v_y)} = \frac25
\ovr{(3,-4)}$. Uma fórmula que sempre vale é:
%
$$\vec v = \ovr{(v_x,v_y)} = v_x \ovr{(1, f'(x))}$$
%
Você pode supor que $v_x \ge 0$.

\msk

O seu objetivo neste problema vai ser encontrar o tempo total, $T$,
que um carrinho de montanha-russa leva para percorrer uma trajetória
dada por uma curva $y=f(x)$ entre os pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.
Mais precisamente: você vai encontrar uma função $T(x) = \int
t(x)\,dx$ tal que o tempo que o carrinho leva para ir dos pontos
$(a,f(a))$ a $(b,f(b))$ é $T(b)-T(a)$.



\newpage

\noindent {\bf (1)} \Pontos{1.2} Digamos que a curva $y=f(x)$
\'e o segmento que liga os pontos $(0,-1)$ e $(4,-4)$.

a) \pontos{0.2} Se $|\vec v|$ é constante, $|\vec v|=2$, quanto tempo
o carrinho leva para percorrer o segmento?

b) \pontos{0.2} E se $v_x$ é constante, $v_x=3$?

c) \pontos{0.4} Generalize: agora o segmento vai do ponto $(x_0,y_0)$
ao ponto $(x_1,y_1)$ (com $x_0<x_1$) e $|\vec v| = \aa$. Quanto tempo
o carrinho leva para percorrer o segmento?

d) \pontos{0.4} E se $v_x = \bb$?

\bsk








\noindent {\bf (2)} \Pontos{4.8} Um argumento físico de
conservação de energia (que não vale a pena detalhar aqui) nos diz que
em cada ponto $(x,f(x))$ da curva temos $|\vec v| = \sqrt{-f(x)}$.

Digamos que o nosso carrinho obedece as leis da física, e que queremos
calcular quanto tempo ele leva para percorrer um segmento
não-horizontal. Isto pode ser difícil, já que a velocidade dele vai
depender da coordenada $y$, e portanto também da coordenada $x$...
então vamos começar com aproximações: se a curva $y=f(x)$ é o segmento
que liga os pontos $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$, vamos calcular a
velocidade em $\zz_1Ý[x_0,x_1]$, isto é, no ponto $(\zz_1,f(\zz_1))$, e vamos
supor que a velocidade do carrinho vai ser constante nesse segmento, e
igual à calculada no ponto $(\zz_1,f(\zz_1))$.

a) \pontos{0.4} Se $\xy_0=(0,-1)$ e $\xy_1=(4,-4)$ calcule o tempo de
percorrimento quando $\zz_1=x_0$, e...

b) \pontos{0.4} ...quando $\zz_1=x_1$.

c) \pontos{0.6} Generalize: qual é o tempo de percorrimento de um
segmento de $\xy_{i-1}$ a $\xy_i$ qualquer, quando $\zz_i=x_{i-1}$?

d) \pontos{0.6} E quando $\zz_i=x_i$?

e) \pontos{0.6} E quando $\zz_i$ é um valor qualquer no intervalo $[x_{i-1}, x_i]$?

f) \pontos{0.7} Agora expresse (uma aproximação para) o tempo total que o carrinho
leva para ir de $(a,f(a))$ a $(b,f(b))$ --- i.e., $T(b)-T(a)$ --- como
um somatório.

g) \pontos{0.7} O somatório que você obteve no item anterior é uma aproximação para
uma integral; qual?

% (Lembre que $a=x_0$ e $b=x_n$).

h) \pontos{0.8} Agora escreva a sua conclusão na forma final, como
%
$$T(b)-T(a) = \lim\limits_\partsm \sum \ldots = \int_{x=a}^{x=b} t(x)\,dx,$$
%
onde você deve substituir $t(x)$ por uma expressão que só depende de
$f(x)$ e $f'(x)$.






\newpage
% \bsk
% \bsk





\noindent {\bf (3)} \Pontos{2.0} Se a curva $y=f(x)$ é um
segmento horizontal então você deve saber calcular o tempo que o
carrinho leva para percorrê-lo sem usar a fórmula que você obteve no
item 2h. Nesta questão você vai usar isto para checar se a sua fórmula
do item 2h é coerente.

a) \pontos{0.2} Calcule o tempo necessário para percorrer o segmento que liga os
pontos $(0,-1)$ e $(2,-1)$.

b) \pontos{0.2} Idem, para o segmento que liga os pontos $(2,-9)$ e $(12,-9)$.

c) \pontos{0.8} Idem, para um segmento $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_0)$ (note que $y_1=y_0$).

d) \pontos{0.8} Agora use a fórmula do item 2h para resolver os
problemas dos itens a, b, c, acima de outro modo, e compare os
resultados.



\bsk
\bsk

\noindent {\bf (4)} \Pontos{3.0} Agora você vai usar a fórmula
que você obteve no item 2h para calcular {\sl exatamente} (sem
aproximações!) o tempo que o carrinho leva para percorrer certas
trajetórias.

a) \pontos{0.5} $f(x)=-x$, no intervalo $[1,4]$.

b) \pontos{0.5} $f(x)=-4x$, no intervalo $[\frac14,1]$.

c) \pontos{1.0} $f(x)=\aa x$, no intervalo $[a,b]$ (obs: $\aa<0$, $0<a<b$).

d) \pontos{1.0} $f(x)=\aa x$, no intervalo $[-\frac1\aa,-\frac4\aa]$ (obs: $\aa<0$).



\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

{\parindent=0pt
\par A prova é para ser feita em duas horas,
\par sem consulta e sem calculadora.
\par Responda claramente e justifique cada passo.
\par Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e
\par que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.
\par Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só
\par uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um
\par raciocínio claro e convincente, com todos os detalhes
\par necessários, mostrando que você sabe traduzir corretamente
\par entre as várias linguagens (português, diagramas,
\par matematiquês, etc) e explicando o que você está fazendo
\par quando for preciso.
\par Você pode fazer perguntas ao professor durante a prova,
\par mas não pode confiar nas respostas.
\par Cuidado: respostas parecidas demais com as de colegas
\par podem fazer com que sua prova seja anulada!
\par Dica: {\sl confira as suas respostas!}
\ssk
\par {\bf Boa prova!}
}






\newpage

%   ____       _                _ _        
%  / ___| __ _| |__   __ _ _ __(_) |_ ___  
% | |  _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \ 
% | |_| | (_| | |_) | (_| | |  | | || (_) |
%  \____|\__,_|_.__/ \__,_|_|  |_|\__\___/ 
%                                          

\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1 (#2): }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1: }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par}
\long\def\gab#1#2#3{\par #1 (#2): #3}

\setlength{\parindent}{0em}

Mini-gabarito (versão preliminar, 2010jul07):

Questão 1 (total: 1.2 pontos):
\gab{1a}{0.2}{5/2}
\gab{1b}{0.2}{4/3}
\gab{1c}{0.4}{$\sqrt{\Dx_1^2+\Dy_1^2}/\aa$}
\gab{1d}{0.4}{$(x_1-x_0)/\bb$}

\bsk

\def\intx#1#2#3{\int_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\barx#1#2#3{\,\left.#3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\fracss#1#2{\frac{\sqrt{#1}}{\sqrt{#2}}}
\def\fracaa{\fracss{1+\aa^2}{-\aa}}
\def\fracaax{\fracss{1+\aa^2}{-\aa x}}



Questão 2 (total: 4.8 pontos):
\gab{2a}{0.4}{5}
\gab{2b}{0.4}{5/2}
\gab{2c}{0.6}{$\sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}/\sqrt{-f(x_{i-1})}$}
\gab{2d}{0.6}{$\sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}/\sqrt{-f(x_i)}$}
\gab{2e}{0.6}{$\sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}/\sqrt{-f(\zz_i)}$}
\gab{2f}{0.7}{$T(b)-T(a) = T(x_n)-T(x_0) \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}/\sqrt{-f(\zz_i)}$}
\gab{2g}{0.7}{
$$\begin{array}{rcl}
  \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}}{\sqrt{-f(\zz_i)}}
        &=& \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{1+(\frac{\Dy_i}{\Dx_i})^2} \Dx_i}{\sqrt{-f(\zz_i)}} \\
  &\approx& \sum_{i=1}^n \fracss{1+f'(\zz_i)^2}{-f(\zz_i)} \Dx_i \\
  &\approx& \int_{x=a}^{x=b} \fracss{1+f'(x)^2}{-f(x)} \, dx \\
  \end{array}
$$
}
\gab{2h}{0.8}{$\DD T = \lim\limits_\partsm \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{\Dx_i^2+\Dy_i^2}}{\sqrt{-f(\zz_i)}}
                     = \intx{a}{b}{\fracss{1+f'(x)^2}{-f(x)}}
              $}

\bsk

Questão 3 (total: 2.0 pontos):
\gab{3a}{0.2}{2}
\gab{3b}{0.2}{10/3}
\gab{3c}{0.8}{$\frac{x_1-x_0}{\sqrt{-y_0}}$}
\gab{3d}{0.8}{
\par a) $\DD T = \intx{0}{2}{\fracss{1+0^2}{-(-1)}} = 2$
\par b) $\DD T = \intx{2}{12}{\fracss{1+0^2}{-(-9)}} = \frac{10}{3}$
\par c) $\DD T = \intx{x_0}{x_1}{\fracss{1+0^2}{-y_0}} = \frac{x_1-x_0}{\sqrt{-y_0}}$
}

\bsk

Questão 4 (total: 3.0 pontos):

\gab{4a}{0.5}{$\DD T =            \intx{1}{4}{\fracss{1+(-1)^2}{-(-x)}}
                     = \sqrt{2}   \intx{1}{4}{x^{-1/2}}
                     = \sqrt{2}·2 \barx{1}{4}{x^{1/2}}
                     = 2 \sqrt{2}
              $}
\gab{4b}{0.5}{$\DD T =                     \intx{1/4}{1}{\fracss{1+4^2}{4x}}
                     = \frac{\sqrt{17}}{2} \intx{1/4}{1}{x^{-1/2}}
                     = \sqrt{17}           \barx{1/4}{1}{x^{1/2}}
                     = \frac{\sqrt{17}}{2}
              $}
\gab{4c}{1.0}{$\DD T =            \intx{a}{b}{\fracaax}
                     = \fracaa    \intx{a}{b}{x^{-1/2}}
                     = \fracaa\;2 \barx{a}{b}{x^{1/2}}
              $}
\gab{4d}{1.0}{$\DD T =            \intx{-1/\aa}{-4/\aa}{\fracaax}
                   % = \fracaa    \intx{-1/\aa}{-4/\aa}{x^{-1/2}}
                     = \fracaa\;2 \barx{-1/\aa}{-4/\aa}{x^{1/2}}
                     = 2 \frac{\sqrt{1+\aa^2}}{-\aa}
              $}
\par $\left(
      \barx{-1/\aa}{-4/\aa}{x^{1/2}} = \sqrt{-4/\aa} - \sqrt{-1/\aa}
                                      = \sqrt{-1/\aa} (\sqrt4 - \sqrt 1)
                                      = \sqrt{-1/\aa}
      \right)
     $



\end{document}









% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
