% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-VS.tex")
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-VR.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS.tex && latex    2010-1-C2-prova-VS.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-VS.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-VS.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvipdf          2010-1-C2-prova-VS.dvi 2010-1-C2-prova-VS.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-VS.ps 2010-1-C2-prova-VS.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-VS.ps 2010-1-C2-prova-VS.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-VS.ps 2010-1-C2-prova-VS.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-prova-VS")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-prova-VS.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-3.tex")
\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}
\def\intx#1#2#3{\int_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Prova Suplementar (VS)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 14/julho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk

\noindent {\bf (1)} \Pontos{3.0} Calcule $\int x^{3/2} \cos \sqrt{x}
\, dx$ e confira sua resposta.

\bsk

\noindent {\bf (2)} \Pontos{4.0} Sejam:

$$\begin{array}{rcl}
  % f(x) &=& \sen \frac2 x, \\
  % g(x) &=& \cos \frac2 x, \\
  f(x) &=& \sen  x, \\
  g(x) &=& \cos 2 x, \\
  h(x) &=& \begin{cases}
             f(x) & \text{quando $x \le 1$,}  \\
             g(x) & \text{quando $x Ý (1,2)$,} \\
             2f(x) & \text{quando $x \ge 2$.}
           \end{cases}
  \end{array}
$$

a) \pontos{0.5} Faça o gráfico de $h(x)$.

b) \pontos{2.0} Encontre uma primitiva $H(x) = \int h(x)\, dx$.

c) \pontos{1.5} Faça o gráfico de $H(x)$.

\bsk

\noindent {\bf (3)} \Pontos{3.0} Calcule $$\int \frac{1}{x \sqrt{25x^2
    + 16}} \, dx$$ e confira sua resposta.





\bsk
\bsk

{\parindent=0pt
\par As regras são as mesmas de sempre:
\ssk
\par A prova é para ser feita em duas horas,
\par sem consulta e sem calculadora.
\par Responda claramente e justifique cuidadosamente cada passo.
\par Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e
\par que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.
\par Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só
\par uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um
\par raciocínio claro e convincente, com todos os detalhes
\par necessários, mostrando que você sabe traduzir corretamente
\par entre as várias linguagens (português, matematiquês,
\par diagramas, o que for) e explicando o que você está fazendo
\par quando for preciso.
\par Você pode fazer perguntas ao professor durante a prova,
\par mas não pode confiar nas respostas.
\par Cuidado: respostas parecidas demais com as de colegas
\par podem fazer com que sua prova seja anulada!
\par Dica: {\sl confira as suas respostas!}
\ssk
\par {\bf Boa prova!}
}


\newpage


{\bf Mini-gabarito:}

\def\intx#1{\int#1\,dx}
\def\inth#1{\int#1\,d}
\def\intt#1{\int#1\,dt}
\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}
\def\sx{\sqrt{x}}
\def\dsx{\frac{1}{2\sx}}
\def\ssx{\sen\sx}
\def\csx{\cos\sx}

1) Fazendo $=\sqrt{x}$, $f() = ^4$, $g''''() = g() = \cos $, $c = \cos $, $s = \sen $,
%
$$\begin{array}{rcl}
  \intx{x^{3/2}\cos\sqrt{x}} &=& \subst{\sqrt{x}= \\ dx=2\,d} \inth{(^3 \cos)} \\
  \inth{fg''''} &=& fg''' - f'g'' + f''g' - f'''g + \inth{f''''g} \\
  \inth{fc''''} &=& fc''' - f'c'' + f''c' - f'''c + \inth{f''''c} \\
  \inth{fc}     &=& fs    + f'c   - f''s  - f'''c + \inth{f''''c} \\
  \inth{^{4}c} &=& ^4s  + 4^3c - 12^2s - 24c + \inth{24c} \\
                &=& (^4 - 12^2 + 24)s + (4^3 - 24)c \\
                &=& (^4 - 12^2 + 24)s + (4^2 - 24)c \\
                &=& (x^2 - 12x + 24)\sen\sqrt{x} + (4x - 24)\sqrt{x}\cos\sqrt{x} \\
  \intx{x^{3/2}\cos\sqrt{x}} &=& 2(x^2 - 12x + 24)\sen\sqrt{x} + 2(4x - 24)\sqrt{x}\cos\sqrt{x} \\
                                 \\
                              && \hbox to -60pt{}\frac{d}{dx}(2(x^2 - 12x + 24)\sen\sqrt{x} + 2(4x - 24)\sqrt{x}\cos\sqrt{x}) \\
                             &=& 2(2x - 12)\sen\sqrt{x} + 8 \sqrt{x}\cos\sqrt{x} \\
                              && + 2(x^2 - 12x + 24)(\cos\sqrt{x})\dsx \\
                              && + 2(4x - 24) (\dsx \cos\sqrt{x} + \sx(\ssx)\dsx)  \\
  \end{array}
$$

\msk

\def\myvcenter#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}

2a/2c)
%
$\myvcenter{\includegraphics[scale=0.6]{2010-1-C2-prova-VS-q2.eps}}$

2b)
%
$\intx{h(x)} =
  \begin{cases}
   \frac{2}{\pi} -\frac{2}{\pi} \cos(\frac{\pi}{2}x) & \text{quando $x \le 1$,}  \\
                  \frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}x) & \text{quando $x Ý (1,2)$,} \\
  -\frac{4}{\pi} -\frac{4}{\pi} \cos(\frac{\pi}{2}x) & \text{quando $x \ge 2$.}
  \end{cases}
$

\msk

3) Se $t = \frac54 x$ então $\sqrt{25x^2 + 16} = 4
\sqrt{\frac{25}{16}x^2 + 1} = 4 \sqrt{t^2 + 1}$, e:

$$\begin{array}{rcl}
  \intx{\frac{1}{x \sqrt{25x^2 + 16}}} &=& \subst{x = \frac45 t \\ dx = \frac45 dt}
                   \intt{\frac{1}{\frac45 t · 4 \sqrt{t^2 + 1}} \, \frac45} \\
               &=& \frac{1}{4} \intt{\frac{1}{t \sqrt{t^2 + 1}}} \\
               &=& \subst{t = \tan  \\
                   \sqrt{1+t^2} = \sec  \\
                   dt = \sec^2  \, d}
                   \frac{1}{4} \intt{\frac{1}{t \sqrt{t^2 + 1}}} \\
               &=& \ldots \\
  \end{array}
$$

% (find-LATEX "2009-2-C2-prova-2.tex" "formulas-subst-trig")



\end{document}



;;   ___                  _   /\/|         _ 
;;  / _ \ _   _  ___  ___| |_|/\/_  ___   / |
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;; | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | | |
;;  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_|
;;                                           
 (eepitch-maxima)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maxima)
f : x^(3/2) * cos(sqrt(x));
integrate(f, x);
tex(integrate(f, x));



;;   ___                  _   /\/|         ____  
;;  / _ \ _   _  ___  ___| |_|/\/_  ___   |___ \ 
;; | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \    __) |
;; | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) |  / __/ 
;;  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_____|
;;                                               
 (eepitch-maximacvs)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maximacvs)
f(x) := sin(%pi/2 * x);
g(x) := cos(%pi/2 * x);
h(x) := if x < 1 then f(x) else if x < 2 then g(x) else 2*f(x);

p    :  2/%pi;
F(x) := -2/%pi * cos(%pi/2 * x);
G(x) :=  2/%pi * sin(%pi/2 * x);
F(0);
2*F(2);
H(x) := if x < 1 then 2/%pi + F(x) else if x < 2 then G(x) else -4/%pi + 2*F(x);

load(draw);
draw2d(explicit(h(x), x, -2, 6));
draw2d(explicit(H(x), x, -2, 6));
draw2d(explicit(h(x), x, -2, 6), color=red, explicit(H(x), x, -2, 6));
Curves : [explicit(h(x), x, -2, 6), color=red, explicit(H(x), x, -2, 6)];
Opts   : [xaxis=true, yaxis=true];
EpsOpts : [terminal=eps, file_name="/tmp/o"];
EpsOpts : [terminal=eps, file_name="2010-1-C2-prova-VS-q2"];
apply(draw2d, append(Opts, Curves));
apply(draw2d, append(Opts, Curves, EpsOpts));

;; (find-es "maxima" "draw-apply")
;; (find-pspage "/tmp/o.eps")
;; (find-pspage "2010-1-C2-prova-VS-q2.eps")



;;   ___                  _   /\/|         _____ 
;;  / _ \ _   _  ___  ___| |_|/\/_  ___   |___ / 
;; | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \    |_ \ 
;; | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) |  ___) |
;;  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |____/ 
;;                                               
 (eepitch-maxima)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maxima)
f : 1 / (x * sqrt(25*x^2 + 16));
integrate(f, x);







%


% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% modes:            (latex-mode fundamental-mode)
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
