% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS2a.tex && latex    2010-1-C2-prova-VS2a.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS2a.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-VS2a.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-VS2a.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvipdf         2010-1-C2-prova-VS2a.dvi 2010-1-C2-prova-VS2a.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-VS2a.ps 2010-1-C2-prova-VS2a.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-VS2a.ps 2010-1-C2-prova-VS2a.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-VS2a.ps 2010-1-C2-prova-VS2a.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-prova-VS2a")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-prova-VS2a.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Prova Suplementar Extra (VS2a)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 28/julho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}
\def\pontos#1{}

\def\mycases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}
\def\quand#1#2{#1 & \text{quando $#2$} \\}
\def\inthh#1#2#3{\int_{=#1}^{=#2}#3\,d}
\def\intss#1#2#3{\int_{s=#1}^{s=#2}#3\,ds}
\def\intxx#1#2#3{\int_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\intab#1{\intxx ab{#1}}
\def\intssss#1{\intss {\sen _0}{\sen _1}{#1}}
\def\inthhhh#1{\inthh {_0}{_1}{#1}}

\def\INThh#1#2#3{\left[#3\right]_{=#1}^{=#2}}
\def\INTss#1#2#3{\left[#3\right]_{s=#1}^{s=#2}}
\def\INTxx#1#2#3{\left[#3\right]_{x=#1}^{x=#2}}

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}


\noindent {\bf (1)} \Pontos{5.0} Seja $f$ a função definida por:
%
$$f(x) = \mycases{\quand{0}   {x \le 0}
                  \quand{2-2x}{x Ý(0,1]}
                  \quand{4-2x}{x Ý(1,2]}
                  \quand{0}   {x >2}
                 }
$$

Encontre uma primitiva $F$ para a função $f$, faça o gráfico de $f$ e
$F$ e mostre --- de um modo que convença a sua tia --- que para todos
os valores para $a,bÝ\R$ temos $\intab{f(x)} = F(b)-F(a)$.

\bsk

\noindent {\bf (2)} \Pontos{5.0} Seja $F:\R×\R \to \R$ uma função
qualquer de duas variáveis, contínua. Mostre, de um modo que convença
a sua tia, que para quaisquer $_0,_1 Ý [-/2,/2]$, temos:
%
$$\intssss{F(s, \sqrt{1-s^2})} = \inthhhh{F(\sen , \cos )\cos } $$

Lembre que a sua tia não acredita na fórmula de substituição de
variáveis.

\msk

{\sl Dica:} provavelmente você vai achar muito difícil provar direto o
caso geral... então você pode começar com uma $F$ específica --- por
exemplo $F(s,c) = s^4c^6$ --- e depois tentar generalizar.



% (find-LATEX "2009-2-C2-prova-2.tex" "formulas-subst-trig")

\newpage

{\bf Mini-gabarito (incompleto por enquanto):}

\def\myvcenter#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}

1)
%
$\myvcenter{\includegraphics[scale=0.4]{2010-1-C2-prova-VS2a-q1.eps}}$

2) Usando só o TFC 2, podemos ver que:
%
$$\begin{array}{rcl}
    \intss{h(_0)}{h(_1)}{g'(s)}
      &=& \INTss{h(_0)}{h(_1)}{g(s)} \\
      &=& \INThh  {_0}   {_1} {g(h())} \\
      &=& \inthh  {_0}   {_1} {g'(h())h'()} \\
  \end{array}
$$
%
Fazendo $g'(s) = F(s, \sqrt{1-s^2})$ e $h() = \sen $, temos:
%
$$  \intss {\sen(_0)} {\sen(_1)}{F(s, \sqrt{1-s^2})}
    = \inthh {_0} {_1} {F(\sen , \sqrt{1-\sen^2 })\, \cos } \\
$$
%
mas $\cos  = \sqrt{1-\sen^2 }$ se e só se $\cos  \ge 0$... a
restrição de que tanto $_0$ quanto $_1$ pertencem ao intervalo
$[-/2,/2]$ garante que $\cos  \ge 0$, e que portanto a fórmula que
queríamos demonstrar é válida.




%

\end{document}






;;   ___                  _   /\/|         _ 
;;  / _ \ _   _  ___  ___| |_|/\/_  ___   / |
;; | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \  | |
;; | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | | |
;;  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_|
;;                                           
 (eepitch-maximacvs)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-maximacvs)
f2(x) := 2 - 2*x;
f3(x) := 4 - 2*x;
glue(x, f1x, f2x, f3x, f4x) := if x < 0 then f1x elseif x < 1 then f2x elseif x < 2 then f3x else f4x;
f(x)  := glue(x, 0, f2(x), f3(x), 0);
F2(x) := 1 - (x - 1)^2;
F3(x) := 2 - (x - 2)^2;
F(x)  := glue(x, 0, F2(x), F3(x), 2);

load(draw);
draw2d(explicit(f(x), x, -1, 4));
draw2d(explicit(F(x), x, -1, 4));

Curves : [explicit(f(x), x, -1, 3), color=red, explicit(F(x), x, -1, 3)];
Opts   : [xaxis=true, yaxis=true, yrange=[-1, 3]];
EpsOpts : [terminal=eps, file_name="/tmp/o"];
EpsOpts : [terminal=eps, file_name="2010-1-C2-prova-VS2a-q1"];
apply(draw2d, append(Opts, Curves));
apply(draw2d, append(Opts, Curves, EpsOpts));
;; (find-pspage "/tmp/o.eps")
;; (find-pspage "2010-1-C2-prova-VS2a-q1.eps")






% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
