% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS2b.tex && latex    2010-1-C2-prova-VS2b.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-VS2b.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-VS2b.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-VS2b.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-VS2b.ps 2010-1-C2-prova-VS2b.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-VS2b.ps 2010-1-C2-prova-VS2b.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-VS2b.ps 2010-1-C2-prova-VS2b.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-prova-VS2b")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-prova-VS2b.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Prova Suplementar Extra (VS2b)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 29/julho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}

\def\mycases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}
\def\quand#1#2{#1 & \text{quando $#2$} \\}
\def\inthh#1#2#3{\int_{=#1}^{=#2}#3\,d}
\def\intss#1#2#3{\int_{s=#1}^{s=#2}#3\,ds}
\def\inttt#1#2#3{\int_{t=#1}^{t=#2}#3\,dt}
\def\intxx#1#2#3{\int_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\intab#1  {\intxx ab{#1}}
\def\intssss#1{\intss {\sen _0}{\sen _1}{#1}}
\def\inttttt#1{\inttt {\tan _0}{\tan _1}{#1}}
\def\inthhhh#1{\inthh {_0}{_1}{#1}}

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}


\noindent {\bf (1)} \Pontos{3.0} Seja $f$ a função definida por:
%
$$f(x) = \mycases{\quand{0}            {x \le 0}
                  \quand{  \sen x}    {x Ý(0,1]}
                  \quand{-2\sen (x-1)}{x Ý(1,2]}
                  \quand{ 3\sen (x-2)}{x Ý(2,3]}
                  \quand{-4\sen (x-3)}{x Ý(3,4]}
                  \quand{1}            {x Ý(4,]}
                 }
$$

Encontre uma primitiva $F$ para a função $f$, faça o gráfico de $f$ e
$F$ e mostre --- de um modo que convença a sua tia --- que para todos
os valores para $a,bÝ\R$ temos $\intab{f(x)} = F(b)-F(a)$.

\bsk

\noindent {\bf (2)} \Pontos{4.0} Seja $F:\R×\R \to \R$ uma função
qualquer de duas variáveis, contínua. Mostre, de um modo que convença
a sua tia, que para quaisquer $_0,_1 Ý [-/2,/2]$, temos:
%
$$\inttttt{F(t, \sqrt{1+t^2})} = \inthhhh{F(\tan , \sec )\sec^2 } $$

Lembre que a sua tia não acredita na fórmula de substituição de
variáveis e que a única fórmula trigonométrica na qual ela acredita é
$\sen^2  + \cos^2  = 1$ (além das definições de secante e tangente,
claro).

% (find-LATEX "2009-2-C2-prova-2.tex" "formulas-subst-trig")

{\sl Dica:} provavelmente você vai achar muito difícil provar direto o
caso geral... então você pode começar com uma $F$ específica --- por
exemplo $F(t,z) = t^3z^2$ --- e depois tentar generalizar.


\bsk

\noindent {\bf (3)} \Pontos{3.0} Seja $f(x) = x^{-2}$.

a) \pontos{0.4} Encontre uma primitiva para $f(x)$ e ``prove'' que
$\intxx{-1}{1}{f(x)} = -2$.

b) \pontos{1.0} Faça o gráfico de $f(x)$ e prove, de um modo que
convença a sua tia, que $\intxx{-1}{1}{f(x)} > 0$.

c) \pontos{1.0} Seja $g(a) = \intxx{-1}{-a}{f(x)} +
\intxx{a}{1}{f(x)}$. Calcule, de um modo que convença a sua tia, o
valor de $g(a)$ para qualquer $a>0$.

d) \pontos{0.6} Calcule $\lim_{a \to 0^+} g(a)$.





















%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
