% (find-angg "LATEX/2010-1-MD-prova-2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-MD-prova-2.tex && latex    2010-1-MD-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-MD-prova-2.tex && pdflatex 2010-1-MD-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-MD-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-MD-prova-2.ps 2010-1-MD-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-MD-prova-2.ps 2010-1-MD-prova-2.dvi && ps2pdf 2010-1-MD-prova-2.ps 2010-1-MD-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-MD-prova-2.dnt

%
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\parindent=0pt

\par Matemática Discreta - Segunda Prova (P2)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 16/junho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs

\msk
\msk
\msk

% Aluno: {\bf \ALUNO}
% Matrícula: {\bf \MATRICULA}
% Posição: {\bf \POSICAO}


% 1: 24.8
% 2: 73.2
% 3: 142.8
% 4: 155.3


\par {\bf (1)} (3.0 pontos). Suponha que $a$, $b$, $d$, $x$, $y$ são inteiros.
\par Prove que se $d|a$ e $d|b$ então $d|(ax+by)$.
\msk
\par {\bf (2)} (3.0 pontos). Prove ou refute:
\par $ýA,B \text{ conjuntos}.((AþB = AÌB) \bij (A=B))$.
\msk
\par {\bf (3)} (2.0 pontos). Prove ou refute:
\par $ýA,B \text{ conjuntos}.((A \bsl B) Ì (B \bsl A) = \emp)$.
\msk
\par {\bf (4)} (3.0 pontos). Prove ou refute: $ýnÝ\N. n<3^n$.
\bsk

Algumas definições:

$\begin{array}{rcl}
  d|a &\iff& ÎbÝ\Z.db=a \\
  AÌB &=& \sst{aÝA}{aÝB} \\
  AþB &=& \sst{x}{xÝA  xÝB} \\
  A \bsl B &=& \sst{aÝA}{a \notin B} \\
  A \subseteq B &\iff& ýaÝA.aÝB \\
  A = B &\iff& A \subseteq B ´ B \subseteq A \\
  P \bij Q &\iff& (P \to Q) ´ (Q \to P) \\
  \end{array}
$


\bsk
\bsk
% \bsk
% \bsk


\par A prova é para ser feita em duas horas, sem consulta.
\par Responda claramente e justifique cada passo.
\par Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e
\par que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.
\par Faça cada demonstração com o nível adequado de detalhe
\par e indique claramente as hipóteses, as regras utilizadas, etc.
% \par Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só
% \par uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um
% \par raciocínio claro e convincente, com todos os detalhes
% \par necessários, mostrando que você sabe traduzir corretamente
% \par entre as várias linguagens (português, diagramas,
% \par matematiquês, etc) e explicando o que você está fazendo
% \par quando for preciso.
\par Você pode fazer perguntas ao professor durante a prova,
\par mas não pode confiar nas respostas.
\par Cuidado: respostas parecidas demais com as de colegas
\par podem fazer com que sua prova seja anulada!
\par Dica: {\sl confira as suas respostas!}


\newpage

{\bf Mini-gabarito:}

\par {\bf (1)} (3.0 pontos). Suponha que $a$, $b$, $d$, $x$, $y$ são inteiros.
\par Prove que se $d|a$ e $d|b$ então $d|(ax+by)$.
\msk
\par (1) Suponha que $d|a$.
\par (2) Suponha que $d|b$.
\par (3) $ÎqÝ\Z.dq=a$
\par (4) $ÎrÝ\Z.dr=b$
\par (5) Seja $qÝ\Z$ tal que $dq=a$.
\par (6) Seja $rÝ\Z$ tal que $dr=b$.
\par (7) $dqx=ax$
\par (8) $dry=by$
\par (9) $dqx+dry=ax+by$
\par (10) $d(qx+ry)=ax+by$
\par (11) se $s=qx+ry$ então $sÝ\Z$ e $ds=ax+by$
\par (12) $ÎsÝ\Z.ds=ax+by$
\par (13) $d|(ax+by)$

\bsk

\par {\bf (2)} (3.0 pontos). Prove ou refute:
\par $ýA,B \text{ conjuntos}.((AþB = AÌB) \bij (A=B))$.
\msk
%:<<=\subseteq 
%:
%:   AþB=AÌB     AþB=AÌB
%:  ---------    ---------
%:  AþB<<=AÌB    AþB<<=AÌB
%:  ---------    ---------
%:   AþB<<=A     AþB<<=B
%:   -------     -------
%:    B<<=A      A<<=B
%:    ----------------
%:         B=A
%:
%:         ^ques2-1
%:
%:         A=B
%:  -----------------
%:  AþB=AþA=A=AÌA=AÌB
%:
%:  ^ques2-2
%:
$$\ded{ques2-1} \quad \ded{ques2-2}$$



\par {\bf (3)} (2.0 pontos). Prove ou refute:
\par $ýA,B \text{ conjuntos}.((A \bsl B) Ì (B \bsl A) = \emp)$.
% \msk
$$\begin{array}{rcl}
  (A \bsl B) Ì (B \bsl A) &=& \sst{x}{xÝ(A \bsl B) Ì (B \bsl A)} \\
                          &=& \sst{x}{xÝA \bsl B ´ xÝB \bsl A} \\
                          &=& \sst{x}{xÝA ´ x \notin B ´ xÝB ´ x \notin A} \\
                          &=& \sst{x}{¦F} \\
                          &=& \emp \\
  \end{array}
$$

\par {\bf (4)} (3.0 pontos). Prove ou refute: $ýnÝ\N. n<3^n$.
%\bsk
%:<=\le 
%:
%:                                  0<3^n
%:                                 -------
%:                                 0<2·3^n
%:                                ---------
%:                   [n<3^n]^1    3^n<3·3^n
%:                   ---------    ------------
%:                   n+1<3^n+1    3^n+1<=3·3^n
%:                   -------------------------
%:                       n+1<3^{n+1}
%:                   ------------------1
%:  0<1  1=3^0       n<3^n->n+1<3^{n+1}
%:  ----------    ------------------------
%:    0<3^0       ýnÝ\N.n<3^n->n+1<3^{n+1}
%:    ------------------------------------
%:       ýnÝ\N.n<3^n
%:
%:       ^ques4
%:
$$\ded{ques4}$$




%

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
