% (find-angg "LATEX/2014-1-GA-P1.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2014-1-GA-P1.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2014-1-GA-P1.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2014-1-GA-P1.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-P1.dvi"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-P1.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf")
% (find-angg ".zshrc" "Twus-and-Twup")
% (eev "Scp ~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf $TWUS/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf")
% (eev "Scp ~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf $TWUP/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf")
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf" "$Twup/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf" 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf"    "/tmp/pen/2014-1-GA-P1.pdf" 'over)
% (find-pen-links)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2014-1-GA-P1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2014-1-GA-P1.pdf
% (find-fline "/tmp/pen/")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
\usepackage{tikz}
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
%\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}


% (find-LATEXgrep "grep -nH -e Pontos *.tex")
% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-2.tex")
\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}




%  ____                           _    
% |  _ \ _ __ _____   ____ _     / \   
% | |_) | '__/ _ \ \ / / _` |   / _ \  
% |  __/| | | (_) \ V / (_| |  / ___ \ 
% |_|   |_|  \___/ \_/ \__,_| /_/   \_\
%                                      

\long\def\ProvaA{

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Geometria Analítica - Primeira Prova (P1)
\par PURO-UFF - 2014.1
\par 30/abril/2014 - Turma A
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf 1)} \Pontos{3.0} Sejam $\uu$, $\vv$ vetores
não-nulos em $\R^2$, e $a, b \in \R$. Para cada uma das
afirmações abaixo diga se ela é verdadeira ou falsa, e
justifique.

\ssk

a) \pontos{1.0} ( ) se $\uu \perp \vv$ então $\Pr_\uu \, \Pr_\vv \,
(a\uu + b\vv) = a\uu$.

\msk

b) \pontos{2.0} ( ) se $\uu·\vv \neq 0$ então $\Pr_\uu \,
\Pr_\vv \, (a\uu + b\vv) = a\uu$.

\bsk

\noindent {\bf 2)} \Pontos{1.5} Para cada um dos dois casos abaixo
represente graficamente

$r = \setofst{A+t\vv}{t \in \R}$,

$\ww = \Pr_\vv\, \Vec{AB}$,

$C = A + \ww$,

e calcule $\Vec{AC}·\Vec{CB}$.

\ssk

a) \pontos{0.5} \DoisA % $A=(-2,1)$, $v=\VEC{4,0}$, $B=(1,3)$

\ssk

b) \pontos{1.0} \DoisB % $A=(-3,0)$, $v=\VEC{3,-1}$, $B=(0,2)$

\bsk

\noindent {\bf 3)} \Pontos{5.5} Sejam

  $r=\setofst{(x,y) \in \R^2}{y=\TresEq}$ e % -\frac 1 2 x + 3

  $s=\setofst{A+t\vv}{t \in \R}$.

  % $s=\setofst{(1,-1)+t\VEC{2,6}}{t \in \R}$.

\ssk

a) \pontos{0.5} Encontre a interseção de $r$ e $s$ quando
\TresA. % $A=(1,-1)$ e $\vv=\VEC{2,6}$.

\ssk

b) \pontos{2.5} Generalize o que você fez no item anterior -
encontre uma fórmula para a interseção de $r$ e $s$ quando
$A=(A_1, A_2)$ e $\vv=\VEC{v_1, v_2}$.

\ssk

c) \pontos{1.5} Teste a sua fórmula do item (b) no caso \TresC.
% $A=(1, 0)$ e $\vv=\VEC{1, 2}$.

\ssk

d) \pontos{1.0} Teste a sua fórmula do item (b) em dois outros
casos particulares à sua escolha. Sugestão: escolha casos bem
fáceis.

\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

\begin{quotation}
{\footnotesize
% \setlength{\parindent}{0em}
Lembre que GA é um curso de {\sl escrita matemática}!

As questões acima testam mais coisas que foram discutidas em sala
do que parece... por isso você é responsável por interpretar
cada questão corretamente e escolher o modo mais adequado de
respondê-la. Lembre da idéia de que qualquer leitor deve ser
capaz de seguir facilmente cada um dos seus passos, e escrever bem nos
ajuda a conferir que a gente não cometeu erros...

Marque claramente o que é e o que não é rascunho.

{\sl Boa prova! $=)$}
}
\end{quotation}

}




%  ____                        ____  
% |  _ \ _ __ _____   ____ _  | __ ) 
% | |_) | '__/ _ \ \ / / _` | |  _ \ 
% |  __/| | | (_) \ V / (_| | | |_) |
% |_|   |_|  \___/ \_/ \__,_| |____/ 
%                                    

\long\def\ProvaB{

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Geometria Analítica - Primeira Prova (P1)
\par PURO-UFF - 2014.1
\par 30/abril/2014 - Turma B
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

\noindent {\bf 1)} \Pontos{3.0} Sejam $\uu$, $\vv$ vetores
não-nulos em $\R^2$, e $a, b \in \R$. Para cada uma das
afirmações abaixo diga se ela é verdadeira ou falsa, e
justifique.

\ssk

a) \pontos{1.0} ( ) se $\uu \perp \vv$ então $\Pr_\uu \, \Pr_\vv \,
(a\uu + b\vv) = a\uu$.

\msk

b) \pontos{2.0} ( ) se $\uu·\vv \neq 0$ então $\Pr_\uu \,
\Pr_\vv \, (a\uu + b\vv) = a\uu$.

\bsk

\noindent {\bf 2)} \Pontos{2.0} Para cada um dos dois casos abaixo
represente graficamente

$r = \setofst{A+t\vv}{t \in \R}$,

$\ww = \Pr_\vv\, \Vec{AB}$,

$C = A + \ww$,

e calcule $\Vec{AC}·\Vec{CB}$.

\ssk

a) \pontos{0.5} \DoisA % $A=(-2,1)$, $v=\VEC{4,0}$, $B=(1,3)$

\ssk

b) \pontos{1.5} \DoisB % $A=(-3,0)$, $v=\VEC{3,-1}$, $B=(0,2)$

\bsk

\noindent {\bf 3)} \Pontos{6.5} Sejam

  $r=\setofst{(x,y) \in \R^2}{y=\TresEq}$ e % -\frac 1 2 x + 3

  $s=\setofst{A+t\vv}{t \in \R}$.

  % $s=\setofst{(1,-1)+t\VEC{2,6}}{t \in \R}$.

\ssk

a) \pontos{0.5} Encontre a interseção de $r$ e $s$ quando
\TresA. % $A=(1,-1)$ e $\vv=\VEC{2,6}$.

\ssk

b) \pontos{3.0} Generalize o que você fez no item anterior -
encontre uma fórmula para a interseção de $r$ e $s$ quando
$A=(A_1, A_2)$ e $\vv=\VEC{v_1, v_2}$.

\ssk

c) \pontos{2.0} Teste a sua fórmula do item (b) no caso \TresC.
% $A=(1, 0)$ e $\vv=\VEC{1, 2}$.

\ssk

d) \pontos{1.0} Teste a sua fórmula do item (b) em dois outros
casos particulares à sua escolha. Sugestão: escolha casos bem
fáceis.

\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

\begin{quotation}
{\footnotesize
% \setlength{\parindent}{0em}
Lembre que GA é um curso de {\sl escrita matemática}!

As questões acima testam mais coisas que foram discutidas em sala
do que parece... por isso você é responsável por interpretar
cada questão corretamente e escolher o modo mais adequado de
respondê-la. Lembre da idéia de que qualquer leitor deve ser
capaz de seguir facilmente cada um dos seus passos, e escrever bem nos
ajuda a conferir que a gente não cometeu erros...

Marque claramente o que é e o que não é rascunho.

{\sl Boa prova! $=)$}
}
\end{quotation}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\ProvaAA{
  \def\DoisA {$A=(-2,1)$, $\vv=\VEC{4,0}$,  $B=(1,3)$}
  \def\DoisB {$A=(-3,0)$, $\vv=\VEC{3,-1}$, $B=(0,2)$}
  \def\TresEq{-\frac 1 2 x + 3}
  \def\TresA {$A=(1,-1)$ e $\vv=\VEC{2,6}$}
  \def\TresC {$A=(1, 0)$ e $\vv=\VEC{3,1}$}
  \ProvaA
}

\def\ProvaAB{
  \def\DoisA {$A=(-2,1)$, $\vv=\VEC{4,0}$,  $B=(1,3)$}
  \def\DoisB {$A=(-3,0)$, $\vv=\VEC{3,-1}$, $B=(0,2)$}
  \def\TresEq{-\frac 1 2 x + 3}
  \def\TresA {$A=(1,-1)$ e $\vv=\VEC{2,6}$}
  \def\TresC {$A=(0, 2)$ e $\vv=\VEC{3,1}$}
  \ProvaA
}

\ProvaAA\newpage
\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%\ProvaAA\newpage
%\ProvaAB\newpage
%
%\ProvaB\newpage
\ProvaB

\newpage


%   ____       _                _ _        
%  / ___| __ _| |__   __ _ _ __(_) |_ ___  
% | |  _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \ 
% | |_| | (_| | |_) | (_| | |  | | || (_) |
%  \____|\__,_|_.__/ \__,_|_|  |_|\__\___/ 
%                                          

\def\half{\frac12}
\def\Frac#1#2{{\displaystyle\frac{#1}{#2}}}
\def\PFrac#1#2{\left({\displaystyle\frac{#1}{#2}}\right)}
\def\PFracv#1#2{\left({\displaystyle\frac{#1}{#2}}\vv\right)}

\noindent 1a) Falso.
\par $\Pru\, \Prv (a\uu + b\vv) =$
\par $= \Pru \PFracv {\vv·(a\uu + b\vv)}{\vv·\vv}$
\par $= \Pru \PFracv {\vv·a\uu + \vv·b\vv}{\vv·\vv}$
\par $= \Pru \PFracv {\vv·b\vv}{\vv·\vv}$ \qquad (porque $\vv·a\uu = a(\vv·\uu) = 0$)
\par $= \Pru (b \vv)$
\par $= \Frac {\uu·b \vv}{\vv·\vv} \uu$
\par $= \Frac {0}{\vv·\vv} \uu$  \qquad (porque $\uu·b\vv = b(\uu·\vv) = 0$)
\par $= 0$
\par Então, por exemplo, quando $a=2$, $b=3$, $\uu=\VEC{4,0}$, $\vv=\VEC{0,5}$,
\par temos $\uu \bot \vv$ e
\par $\Pru\, \Prv (a\uu + b\vv) = \vec 0 \neq a\uu = \VEC{8,0}$.

\msk

\noindent 1b) Falso.
\par Sejam $a=1$, $b=0$, $\uu=\VEC{1,1}$, $\vv=\VEC{2,0}$.
\par Então $\Pru\, \Prv (a\uu + b\vv) =$
\par $= \Pr_\VEC{1,1} \, \Pr_\VEC{2,0} \VEC{1,1}$
\par $= \Pr_\VEC{1,1} \, \VEC{1,0}$
\par $= \VEC{\half,\half}$
\par $\neq a\uu = 1 \VEC{1,1} = \VEC{1,1}$.

\msk

\noindent 2a) $A=(-2,1)$, $v=\VEC{4,0}$, $B=(1,3)$
\par $r = \setofst{(-2,1)+t\VEC{4,0}}{t \in \R}$,
\par $\ww = \Pr_\vv\, \Vec{AB} = \Pr_\VEC{4,0} \VEC{3,2} = \VEC{3,0}$,
\par $C = A + \ww = (1,1)$,
\par $\Vec{AC}·\Vec{CB} = \VEC{3,0}·\VEC{0,2} = 0$

\msk

\noindent 2b) $A=(-3,0)$, $v=\VEC{3,-1}$, $B=(0,2)$
\par $r = \setofst{(-3,0)+t\VEC{3,-1}}{t \in \R}$,
\par $\ww = \Pr_\vv\, \Vec{AB} = \Pr_\VEC{3,-1} \VEC{3,-1} = \frac{9-2}{9+1} \VEC{3,-1} = \VEC{2.1, -0.7}$,
\par $C = A + \ww = (-3,0) + \VEC{2.1, 1.4} = (-0.9, -0.7)$,
\par $\Vec{AC}·\Vec{CB} = \VEC{2.1,-0.9}·\VEC{0.9,2.7} = \VEC{3·0.7,-0.9}·\VEC{0.9,3·0.9} = 0$

(Tem um erro aqui)

\newpage


\noindent 3a) Se $(x,y)Ý r = \setofst{(x,y)Ý\R^2}{y=-\half x + 3}$
\par e $(x,y)Ý s = \setofst{(1,-1)+t\VEC{2,6}}{tÝ\R}$
\par então:
\par $y = -\half x+3$,
\par $(x,y) = (1+2t, -1+6t)$,
\par $(-1+6t) = -\half (1+2t) + 3$,
\par $(6+\half·2)t = 1 - \half · 1 + 3$,
\par $t = \Frac{1 - \half · 1 + 3}{6+\half·2} = \half$
\par $x = 1+2t = 2$
\par $y = -1+6t = 2$

\msk

\noindent 3b) Se $(x,y)Ý r = \setofst{(x,y)Ý\R^2}{y=-\half x + 3}$
\par e $(x,y)Ý s = \setofst{(A_1,A_2)+t\VEC{v_1,v_2}}{tÝ\R}$
\par então:
\par $y = -\half x+3$,
\par $(x,y) = (A_1+tv_1, A_2+tv_2)$,
\par $(A_1+tv_1) = -\half (A_2+tv_2) + 3$,
\par $(v_2+\half v_1)t = - \half A_1 - A_2 + 3$,
\par $t = \Frac{- \half A_1 - A_2 + 3}{v_2 +\half v_1}$

\msk

\noindent 3c) Se $A=(0,2)$ e $\vv=\VEC{3,1}$
\par então $t = \frac{- \half 0 - 2 + 3}{3 + \half 1} = \Frac{1}{7/2} = \frac 2 7$
\par $x = 0 + \frac 2 7 3 = \frac 6 7$
\par $y = 2 + \frac 2 7 1 = \frac {16} 7$
\par Verificação:
\par $(\frac 6 7, \frac {16} 7) \in r \; \Bij \; \frac {16} 7 = - \half \frac 6 7 + 3$ \; (ok)

\msk

\noindent 3d) Se $A=(0,1)$ e $\vv=\VEC{3,0}$
\par então $t = \Frac{-\half 0 - 1 + 3}{0 + \half 3} = \Frac{2}{3/2} = \frac 4 3$
\par $x = 0 + \frac 4 3 3 = 4$
\par $y = 1 + \frac 4 3 0 = 1$;
\ssk
\par Se $A=(2,0)$ e $\vv=\VEC{0,4}$
\par então $t = \Frac{-\half 2 - 0 + 3}{4 + \half 0} = \Frac{2}{4} = \half$
\par $x = 0 + \frac 4 3 3 = 4$
\par $y = 1 + \frac 4 3 0 = 1$;




\end{document}




%  _   _ _         
% | |_(_) | __ ____
% | __| | |/ /|_  /
% | |_| |   <  / / 
%  \__|_|_|\_\/___|
%                  

\newpage

% (find-es "tikz")
% (find-angg ".emacs.papers" "pgf")
% (find-pgfmanualpage   3 "Contents")
% (find-pgfmanualtext   3 "Contents")
% (find-pgfmanualpage 43 "3.6    Node Size")
% (find-pgfmanualtext 43 "3.6    Node Size")
% (find-pgfmanualpage 27 "2.7    Grid Path Construction")
% (find-pgfmanualtext 27 "2.7    Grid Path Construction")
% (find-pgfmanualpage 27 "help lines")
% (find-pgfmanualtext 27 "help lines")
% (find-pgfmanualpage 35 "2.20     Repeating Things: For-Loops")
% (find-pgfmanualtext 35 "2.20     Repeating Things: For-Loops")
% (find-pgfmanualpage 37 "anchor=north")
% (find-pgfmanualtext 37 "anchor=north")
% (find-pgfmanualpage 52 "4       Tutorial: Euclid's Amber Version of the Elements")
% (find-pgfmanualtext 52 "4       Tutorial: Euclid's Amber Version of the Elements")
% (find-pgfmanualpage 53 "coordinate (A) at (0,0)")
% (find-pgfmanualtext 53 "coordinate (A) at (0,0)")

\begin{tikzpicture}
  \draw[help lines] (-6,-6) grid (6,6);
  \draw[-,very thick] (-6,0) -- (6,0);
  \draw[-,very thick] (0,-6) -- (0,6);
  \node at (0,3) {$A$};
\end{tikzpicture}.

% \draw (-1.5,0) -- (1.5,0);
% \draw (0,-1.5) -- (0,1.5);

\begin{tikzpicture}%[scale=0.5]
%Desenhar o grid.
%\draw[help lines] (-6,-6) grid (6,8);
%---------------------------------------
%--------desenhar os eixos--------------
%       eixo horizontal
\draw[->] (-6,0) -- (6,0);
\node at (6,-0.3) {$x$};
%
%       eixo vertical
\draw[->] (0,-6) -- (0,8);
\node at (-0.3,8) {$y$};
%----------------------------------------
%--------Marcações nos eixos 
%         eixo horizontal
\draw[-] (1,-0.2) -- (1,0.2);
\draw[-] (2,-0.2) -- (2,0.2);
\draw[-] (3,-0.2) -- (3,0.2);
\draw[-] (4,-0.2) -- (4,0.2);
\draw[-] (5,-0.2) -- (5,0.2);
\draw[-] (6,-0.2) -- (6,0.2);
%        eixo vertical
\draw[-] (-0.2,1) -- (0.2,1);
\draw[-] (-0.2,2) -- (0.2,2);
\draw[-] (-0.2,3) -- (0.2,3);
\draw[-] (-0.2,4) -- (0.2,4);
\draw[-] (-0.2,5) -- (0.2,5);
\draw[-] (-0.2,6) -- (0.2,6);
%----------Desenhar as retas
\draw[-,very thick] (0,3) -- (6,0);
%\filldraw (0,0.5) circle (0.1cm);
\end{tikzpicture}


\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[very thin,color=gray] (0,0) grid (6,5);
\draw[->] (0,0) -- (7,0) node[right] {$P$};
\draw[->] (0,0) -- (0,6) node[above,left] {$V$};
\draw[color=blue][domain=1.6:6][mark=x,mark indices={2,8,20},smooth
]
plot (\x,{8/\x})
node[right] {$\theta_{0}$};
\node at (2.6,4.7) {$(P_{A_{0}},V_{A_{0}})$};
\node at (3.5,3.1) {$(P^{\prime}_{A_{0}},V^{\prime}_{A_{0}})$};
\node at (5.3,2) {$(P^{\prime\prime}_{A_{0}},V^{\prime\prime}_{A_{0}})$};
\end{tikzpicture}\label{isoterma}
\end{center}
\caption{Isoterma do sistema A em equilíbrio térmico com o sistema padrão C que se encontra na temperatura $\theta_{0}$.}\label{isoterma}
\end{figure}



\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:
