% (find-angg "LATEX/2014-1-GA-metodos.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2014-1-GA-metodos.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2014-1-GA-metodos.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2014-1-GA-metodos.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.ps")
% (find-pspage  "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvipdf         2014-1-GA-metodos.dvi 2014-1-GA-metodos.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (eev "Scp ~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf $TWUS/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf")
% (eev "Scp ~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf $TWUP/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf")
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2014-1-GA-metodos")
% http://angg.twu.net/LATEX/2014-1-GA-metodos.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

% (find-angg "LATEX/2014-1-GA-P1.tex")

\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}


%  __  __      _            _           
% |  \/  | ___| |_ ___   __| | ___  ___ 
% | |\/| |/ _ \ __/ _ \ / _` |/ _ \/ __|
% | |  | |  __/ || (_) | (_| | (_) \__ \
% |_|  |_|\___|\__\___/ \__,_|\___/|___/
%                                       

{\setlength{\parindent}{0em}
\par Notas sobre a idéia de ``método''
\par Geometria Analítica - PURO-UFF - 2014.1
\par 7/maio/2014 (versão: veja o rodapé)
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk

\nip 1) Sejam
\par $a,b,cÝ\R$,
\par $C = \setofst{xÝ\R}{ax^2 + bx + c = 0}$,
\par $\Delta = b^2 - 4ac$,
\par e digamos que $\Delta \ge 0$.
\par Sejam
\par $x_- = \frac {-b-\sqrt{\Delta}} {2a}$,
\par $x_+ = \frac {-b+\sqrt{\Delta}} {2a}$,
\par $C' = \setof{x_-,x_+}$.
\par Então (teorema!):
\par $C = C'$.

\msk

\nip 2) Sejam
\par $a,bÝR$,
\par $A,BÝ\R^2$, $\vv$ um vetor não-nulo em $\R^2$,
\par $r = \setofst{A+t\vv}{t \in \R}$,
\par $\ww = \Pr_\vv\, \Vec{AB}$,
\par $C = A + \ww$.
\par Então $CÝr$ e:
\par $\Vec{BC} \perp \vv$, e
\par $C$ é o ponto de $r$ mais próximo de $B$.

\msk

\nip 3) Sejam
\par $a,bÝR$,
\par $AÝ\R^2$, $\vv$ um vetor não-nulo em $\R^2$,
\par $r = \setofst{(x,y)Ý\R^2}{y=ax+b}$,
\par $s = \setofst{A+t\vv}{tÝR}$,
\par $A = (A_1,A_2)$, $\vv = \VEC{v_1,v_2}$,
\par $t_0 = \frac{-A_1+aA_2+b}{v_1-av_2}$,
\par $B = A + t_0\vv$.
\par Então:
\par $r Ì s = \{B\}$.

\newpage

\nip 4) Sejam
\par $x_0, y_0, R Ý \R$,
\par $C = \setofst{(x,y)Ý\R^2}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = R^2}$,
\par $C' = \{(x_0,y_0+R), (x_0-R,y_0), (x_0+R,y_0), (x_0,y_0-R)\}$.
\par Então:
\par $C' \subset C$.

\msk

\nip 5) Sejam
\par $x_0, y_0, R Ý \R$,
\par $C = \setofst{(x,y)Ý\R^2}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = R^2}$,
\par $IÝC$,
\par $\vv$ um vetor não-nulo em $\R^2$,
\par $r = \setofst{I+t\vv}{tÝ\R}$,
\par $M$ o ponto de $r$ mais próximo de $(x_0,y_0)$,
\par $I' = M + \Vec{IM}$.
\par Então:
\par $C \cap r = \setof{I,I'}$.

\msk

\nip 6) Sejam
\par $A, B, C Ý \R^2$, com $A \neq B$ e $B \neq C$.
\par Então:
\par $\cos (A \hat B C) = \frac {\Vec{BA}·\Vec{BC}} {||\Vec{BA}||\,||\Vec{BC}||}$,
\par $\Pr_{\Vec{BA}} \Vec{BC} = ||\Vec{BC}|| (\cos A \hat B C) \frac{\Vec{BA}}{||\Vec{BA}||}$.

\msk

\nip 7) Sejam
\par $A, B, C Ý \R^2$, com $A \neq B$ e $B \neq C$.
\par Sejam
\par $\ww = ||\Vec{BC}|| \Vec{BA} + ||\Vec{BA}|| \Vec{BC}$,
\par $D = B+\ww$.
\par Então
\par $\cos (A \hat B D) = \cos (D \hat B C)$.

\bsk



{\setlength{\parindent}{0em}

O (1) é um método (Bhaskara) para resolver equações de 2º grau.

O (2) é um método para encontrar o ponto de uma reta
(parametrizada) mais próximo de um ponto dado.

O (3) é um método para encontrar a interseção de uma reta
dada por uma equação cartesiana e uma reta parametrizada.

O (2) e o (3) caíram na P1.

O (4) é o modo de encontrar os quatro pontos ``mais óbvios'' de
um círculo.

O (5) é um modo de encontrar o outro ponto de interseção de
um círculo $C$ e uma reta $r$ se já conhecemos um ponto de
$CÌr$.

O (6) é um modo de calcular o cosseno de um ângulo.

O (7) e um modo de dividir um ângulo em dois.

}

\newpage

Cônicas

2014may14

\bsk

\def\th{\theta}

Sejam:

\par $P = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ y=x² }$,
\par $H = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ xy=1 }$,
\par $E = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ x²+y²=1 }$,
\ssk
\par $P' = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ V(x,y)=U(x,y)² }$,
\par $H' = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ U(x,y)V(x,y)=1 }$,
\par $E' = \setofst{ (x,y)Ý\R^2 }{ U(x,y)²+V(x,y)²=1 }$,
\ssk
\par $P'' = \setofst{ A + t\uu + t²\vv }{ tÝ\R }$,
\par $H'' = \setofst{ A + t\uu + \frac 1t \vv }{ tÝ\R, t \neq 0 }$,
\par $E'' = \setofst{ A + (\cos \th)\uu + (\sen \th)\vv }{ tÝ\R }$.

\bsk

Compare $P'$ e $P''$, depois $H'$ e $H''$ (deixe $E'$ e $E''$ pra
depois) nos seguintes casos:

$$
\def\h{\frac 1 2}
\def\foo #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 %
    {(#1,#2) & \VEC{#3,#4} & \VEC{#5,#6} & #7 & #8 \\}
\begin{array}{|ccc|cc|}
      A  &  \uu &  \vv &  U(x,y)   &   V(x,y) \\
\foo 0 0   1 0    0 1     x            y
\foo 0 0   2 0    0 1     x/2          y
\foo 0 0   1 1    -1 1    {\h x+\h y}  {-\h x+\h y}
\end{array}
$$




\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End:

