% (find-angg "LATEX/2017-2-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-C2-P2.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-C2-P2"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2017-2-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2017-2-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-C2-P2.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
%\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end







{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2017.2
\par P2 - 11/dez/2017 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar








% (find-angg "LATEX/2015-2-GA-P2.tex")

1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''+4f-12f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.

c) \B(0.2 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=1$, $f'(0)=0$.

d) \B(0.3 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=0$, $f'(0)=1$.

e) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=4$, $f'(0)=5$.

\bsk
\bsk

2) \T(Total: 3.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''+6f'+13f=0$.

a) \B(1.0 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.

b) \B(1.0 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre as soluções {\sl reais} de $(**)$.

d) \B(0.5 pts) Teste as soluções que você encontrou no item anterior.

\bsk
\bsk

3) \T(Total: 2.5 pts) Seja $(***)$ a seguinte EDO: $\ddx y = x^2 e^{-3y}$.

a) \B(1.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$.

b) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(***)$ que passa pelo ponto $(a,b)$.

\bsk
\bsk

4) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(****)$ a seguinte EDO: $(-2x+6) dx + (2y+8) dy = 0$.

a) \B(0.5 pts) Verifique que $(****)$ é exata.

b) \B(1.0 pts) Encontre a solução geral de $(****)$.

c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(****)$ que passa pelo ponto $(a,b)$.




\newpage

{\bf Gabarito:} (não revisado)

\bsk

%  _ 
% / |
% | |
% | |
% |_|
%    
% (find-es "ipython" "2017.2-C2-P2" "Questao 1")

1a) $(D-2)(D+6)f = 0$

1b) $f_1 = e^{-6x}$, $f_2 = e^{2x}$

1c) $\frac14 f_1 + \frac34 f_2$

1d) $-\frac18 f_1 + \frac18 f_2$

1e) $\frac38 f_1 + \frac{29}{8} f_2$




\bsk


%  ____  
% |___ \ 
%   __) |
%  / __/ 
% |_____|
%        
% (find-es "ipython" "2017.2-C2-P2" "Questao 2")

2a) $(D-(-3+2i))(D-(-3-2i))f=0$

2b) $f_1 = e^{(-3+2i)x}$,
    $f_2 = e^{(-3-2i)x}$.

2c) $f_3 = \cos(2x)·e^{-3x}$,
    $f_4 = \sen(2x)·e^{-3x}$.

2d) $f_3' = -3f_3 -2f_4$, $f_4' = 2f_3 -3f_4$,

$f_3'' = -3f_3' -2f_4' = -3(-3f_3 -2f_4) -2(2f_3 -3f_4) = 5f_3 + 12f_4$,

$f_4'' = 2f_3' -3f_4' = 2(-3f_3 -2f_4) -3(2f_3 -3f_4) = -12f_3 + 5f_4$,

$f_3'' + 6f_3' + 13f_3 = (5f_3 + 12f_4) + 6(-3f_3 -2f_4) + 13f_3 = 0$,

$f_4'' + 6f_4' + 13f_4 = (-12f_3 + 5f_4) + 6(2f_3 -3f_4) + 13f_4 = 0$.

\bsk


%  _____ 
% |___ / 
%   |_ \ 
%  ___) |
% |____/ 
%        
% (find-es "ipython" "2017.2-C2-P2" "Questao 3")

3a) $\frac{dy}{dx} = x^2 e^{-3y} ⇒ e^{3y}\,dy = x^2\,dx$

$⇒ \frac13 e^{3y} = ∫e^{3y}\,dy = ∫x^2\,dx = \frac13 x^3 + C ⇒ e^{3y}
= x^3 + C ⇒ 3y = \ln(x^3 + C)$

$⇒ y = \frac13 \ln(x^3 + C)$


3b) $b = \frac13 \ln(a^3 + C) ⇒ \ln(a^3 + C) = 3b ⇒ a^3 + C = e^{3b} ⇒
C = e^{3b} - a^3$

$⇒ f(x) = \frac13 \ln(x^3 + (e^{3b} - a^3))$

\bsk

%  _  _   
% | || |  
% | || |_ 
% |__   _|
%    |_|  
%         

4a) $G = -2x+6 = \bsm{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & -2 & 0}$, $H =
2y+8 = \bsm{0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 0}$, $G_y=0=H_x$; $Gdx +
Hdy=0$ é exata, e existe $F$ tal que $F_x = G$ e $F_y = H$.

4b) $F = \bsm{1 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -1}$; $F(x,y) = C_1 ⇒
y^2 + 8y + 6x - x^2 = C_1 ⇒ y^2 + 8y = C_1 - 6x + x^2 ⇒ y^2 + 8y + 16
= C_1 - 6x + x^2 + 16 ⇒ (y+4)^2 = x^2 - 6x + 16 + C_1 ⇒ y+4 =
±\sqrt{x^2 - 6x + C}$, onde $C = 16 + C_1$; $y = -4±\sqrt{x^2 - 6x +
  C}$.

4c) $b = -4±\sqrt{a^2 - 6a + C} ⇒ b + 4 = ±\sqrt{a^2 - 6a + C} ⇒ (b +
4)^2 = a^2 - 6a + C ⇒ C = (b + 4)^2 + 6a - a^2$; $y = -4±\sqrt{x^2 -
  6x + ((b + 4)^2 + 6a - a^2)}$.





\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:

