% (find-angg "LATEX/2017-2-C2-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-C2-material.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2017-2-C2-material; makeindex 2017-2-C2-material"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-C2-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-C2-material"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2017-2-C2-material.pdf
%               file:///tmp/2017-2-C2-material.pdf
%           file:///tmp/pen/2017-2-C2-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-C2-material.pdf

% (code-etex "c2m172" "2017-2-C2-material")

% «.thislinetag»			(to "thislinetag")
% «.mysection»				(to "mysection")
%
% «.escadas-e-casos»			(to "escadas-e-casos")
% «.somas-de-retangulos»		(to "somas-de-retangulos")
% «.sups-e-infs»			(to "sups-e-infs")
% «.particoes»				(to "particoes")
% «.particoes-cada-vez-mais-finas»	(to "particoes-cada-vez-mais-finas")
% «.funcoes-integraveis-e-nao-int»	(to "funcoes-integraveis-e-nao-int")
% «.metodos-L-R-etc»			(to "metodos-L-R-etc")
% «.TFC1»				(to "TFC1")
% «.TFC2»				(to "TFC2")
% «.integracao-por-substituicao»	(to "integracao-por-substituicao")
% «.apagando-os-limites-de-integracao»	(to "apagando-os-limites-de-integracao")
%
% «.programa-do-curso»		(to "programa-do-curso")
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% «.somatorios-como-areas»	(to "somatorios-como-areas")
% «.completando-funcoes»	(to "completando-funcoes")
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% «.largura-de-particao»	(to "largura-de-particao")
% «.chutar-e-testar»		(to "chutar-e-testar")
% «.parts»			(to "parts")
% «.subst-linear»		(to "subst-linear")
% «.linearizacoes»		(to "linearizacoes")

\documentclass[oneside]{article}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}                % (find-es "tex" "array")
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end

% \end{document}



% «thislinetag» (to ".thislinetag")
%L -- (find-es "luatex" "thislinetag")
%L -- (find-LATEX "dednat6/texfile.lua" "TexFile")
%L thisline = function () return tf.lines[tex.inputlineno] end
%L thislinetag = function ()
%L     local line = tf.lines[tex.inputlineno]
%L     local tag = line:match("%% +[\128-\255]+([!-~]*)[\128-\255]+")
%L     if not tag then error("No tag in line "..tex.inputlineno) end
%L     return tag
%L   end
%L
%L thatline = function (delta) return tf.lines[tex.inputlineno + delta] end
%L thatlinetag = function (delta)
%L     local line = thatline(delta)
%L     local tag = line:match("%% +[\128-\255]+([!-~]*)[\128-\255]+")
%L     if not tag then error("No tag in line "..tex.inputlineno) end
%L     return tag
%L   end
%L
\def\thatlinetag#1{\expr{thatlinetag(#1)}}
\def\mylabel{\label{\thislinetag}}
\def⊙{\thislinetag}
\def⊙{\par\thatlinetag{-2}}
\pu


% «mysection» (to ".mysection")
% (find-es "tex" "newcounter")
\def\mysection #1#2{\section{#2}\label{#1}}


Índice de seções:

{\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{1.5em}{2.3em}}
\@starttoc{toc}
}



%  _____                   _                                            
% | ____|___  ___ __ _  __| | __ _ ___    ___    ___ __ _ ___  ___  ___ 
% |  _| / __|/ __/ _` |/ _` |/ _` / __|  / _ \  / __/ _` / __|/ _ \/ __|
% | |___\__ \ (_| (_| | (_| | (_| \__ \ |  __/ | (_| (_| \__ \ (_) \__ \
% |_____|___/\___\__,_|\__,_|\__,_|___/  \___|  \___\__,_|___/\___/|___/
%                                                                       
% «escadas-e-casos» (to ".escadas-e-casos")
% (c2m172p 1 "escadas-e-casos")
% (c2m172    "escadas-e-casos")
\mysection {escadas-e-casos} {Funções-escada e funções definidas por casos}

% (c2q181  1 "20180312" "Área sob uma curva; funções escada e definidas por casos")
% (c2q181  3 "20180314" "Áreas como somas de retângulos")

% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e" "\\pictpiecewise")
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "Piecewise-tests")
% (find-LATEXgrep "grep -nH -e pictpiecewise *.tex")
% (find-angg ".emacs" "c2q181")


% (defun v () (interactive) (c2q181 1 "20180312" "Área sob uma curva; funções escada e definidas por casos"))

\unitlength=10pt

Funções usadas na aula de 12/mar/2018:
%
$$
 f(x) =
 \vcenter{\hbox{%
 \beginpicture(0,0)(5,4)
   \pictgrid%
   %\pictpiecewise{(0,1)o--(1,1)o (1,2)c (1,3)o--(2,3)c--(3,2)--(4,2)c}%
   \pictpiecewise{(0,2)--(1,2)o (1,3)c--(2,3)c (2,1)o--(3,1)o (3,4)c--(5,4)}%
   \pictaxes%
 \end{picture}%
 }}
 \qquad
 g(x) = \begin{cases}
           1 & \text{quando $x≤2$} \\
           2 & \text{quando $2<x<3$} \\
           4 & \text{quando $x=3$} \\
           0 & \text{quando $3<x$} \\
         \end{cases}
$$
%
$$F(b) = ∫_{x=0}^{x=b} f(x)\,dx
$$



%  ____                                  _                      _       
% / ___|  ___  _ __ ___   __ _ ___    __| | ___   _ __ ___  ___| |_ ___ 
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` / __|  / _` |/ _ \ | '__/ _ \/ __| __/ __|
%  ___) | (_) | | | | | | (_| \__ \ | (_| |  __/ | | |  __/ (__| |_\__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|___/  \__,_|\___| |_|  \___|\___|\__|___/
%                                                                       
% «somas-de-retangulos» (to ".somas-de-retangulos")
\mysection {somas-de-retangulos} {Áreas como somas de retângulos}
%
% (defun v () (interactive) (c2q181 3 "20180314" "Áreas como somas de retângulos"))

Exercícios:

a) Represente graficamente $Σ_{i=1}^N (b_i-a_i)·c_i$ para esta tabela:
$\sm{i & a_i & b_i & c_i \\\hline 1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3
  & 3 & 4 & 3 \\}$

b) Seja $P=\{0, 0.5, 1, 2, 3.5, 5\}$. Isto é uma partição de que
intervalo? Quem são $N, a, b, a_1, b_1, a_2, b_2$, etc? Monte a tabela
(sem a coluna dos `$c_i$'s).

c) Represente graficamente $Σ_{i=1}^N (b_i-a_i)·f(a_i)$ no caso em que
$P=\{0, 1, 3, 4\}$ e $f(x)=4-(x-2)^2$.

d) Represente graficamente $Σ_{i=1}^N (b_i-a_i)·f(a_i)$ no caso em que
$P=\{0, 0.5, 1, 1.5, \ldots, 4\}$ e $f(x)=4-(x-2)^2$.

\msk

{\sl Truque importante:} no item (d) acima como a gente só quer {\sl
  representar graficamente} $Σ_{i=1}^N (b_i-a_i)·f(a_i)$ a gente não
precisa {\sl calcular} $f(0)$, $f(0.5)$, $f(1)$, $\ldots$, $f(4)$ ---
a gente pode encontrar esses valores pelo gráfico.


%  __  __      _            _             _         ____           _       
% |  \/  | ___| |_ ___   __| | ___  ___  | |       |  _ \      ___| |_ ___ 
% | |\/| |/ _ \ __/ _ \ / _` |/ _ \/ __| | |       | |_) |    / _ \ __/ __|
% | |  | |  __/ || (_) | (_| | (_) \__ \ | |___ _  |  _ < _  |  __/ || (__ 
% |_|  |_|\___|\__\___/ \__,_|\___/|___/ |_____( ) |_| \_( )  \___|\__\___|
%                                              |/        |/                
% «metodos-L-R-etc» (to ".metodos-L-R-etc")
\mysection {metodos-L-R-etc} {Os métodos L, R, max, min, etc} 
% (c2q181  5 "20180319" "Métodos L, R, max, min, p.m., trapézio, inf, sup")

Exercício. Seja $f(x) = 4 - (x-2)^2$. Represente graficamente
$Σ_{i=1}^N \, c_i \, (b_i-a_i)$ para cada uma das partições acima e
para cada um dos modos abaixo de calcular $c_i$; o truque é
interpretar cada termo $c_i \, (b_i-a_i)$ do somatório como um
retângulo cuja base é o intervalo $(a_i,b_i)$ e cuja altura é $c_i$.
Além disso calcule o resultado de cada somatório para as partições
$P_1$, $\ldots$, $P_4$ --- as contas para a partição $P_5$ são mais
chatas e não valem a pena.

\ssk

\begin{tabular}{lll}
a) & $c_i = f(a_i)$                             & (``L'') \\
b) & $c_i = f(b_i)$                             & (``R'') \\
c) & $c_i = \max(f(a_i), f(b_i))$               & (``max'') \\
d) & $c_i = \min(f(a_i), f(b_i))$               & (``min'') \\
e) & $c_i = f\left(\frac{a_i+b_i}{2}\right)$    & (``ponto médio'') \\
f) & $c_i = \frac{f(a_i)+f(b_i)}{2}$            & (``trapézio'') \\
g) & $c_i = \sup_{x∈[a_i,b_i]} f(x)$           & (``sup'') \\
h) & $c_i = \inf_{x∈[a_i,b_i]} f(x)$           & (``inf'') \\
\end{tabular}

\ssk

Obs: cada um dos itens (a)--(h) acima corresponde a um método de
integração numérica; o nome do método está entre aspas à direita.



%  ____                           _        __     
% / ___| _   _ _ __  ___    ___  (_)_ __  / _|___ 
% \___ \| | | | '_ \/ __|  / _ \ | | '_ \| |_/ __|
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |  __/ | | | | |  _\__ \
% |____/ \__,_| .__/|___/  \___| |_|_| |_|_| |___/
%             |_|                                 
%
% «sups-e-infs» (to ".sups-e-infs")
\mysection {sups-e-infs} {Sups, infs e imagens de intervalos}




%  ____            _   _                     
% |  _ \ __ _ _ __| |_(_) ___ ___   ___  ___ 
% | |_) / _` | '__| __| |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% |  __/ (_| | |  | |_| | (_| (_) |  __/\__ \
% |_|   \__,_|_|   \__|_|\___\___/ \___||___/
%                                            
% «particoes» (to ".particoes")
\mysection {particoes} {Partições de um intervalo}
% (c2q181  7 "20180321" "Refinamentos de partições; integral por cima e por baixo")

Uma {\sl partição} do intervalo $[a,b]$ é um conjunto $P⊂[a,b]$ finito
e tal que $a,b∈P$. Uma partição $P$ de $[a,b]$ com $N+1$ pontos divide
o intervalo $[a,b]$ em $N$ subintervalos consecutivos --- por exemplo,
$P=\{2, 2.5, 3, 5, 7\}$ é uma partição do intervalo $[a,b]=[2,7]$ e
$P$ divide o intervalo $[2,7]$ em: $I_1=[2,2.5]$, $I_2=[2.5,3]$,
$I_3=[3,5]$, $I_4=[5,7]$. Nós vamos chamar as extremidades destes
intervalos de $a_i$ e $b_i$...

\bsk





Seja $P$ um subconjunto finito e não-vazio de $\R$.
A gente pode listar os elementos de $P$ em ordem:
$P=\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$, com $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.
Esse conjunto $P$ vai ser uma ``partição'' do intervalo $[a,b] =
[a_1,a_n]$ em $n-1$ subintervalos,
$I_1 = [a_1, a_2]$, $I_2 = [a_2, a_3]$, $\ldots$, $I_{n-1} = [a_{n-1}, a_n]$,
em que cada subintervalo tem exatamente um ponto em comum com o seguinte.

Tudo vai ficar mais fácil se a gente usar estas convenções: $P$ tem
$N+1$ pontos, $P=\{a_1, a_2, \ldots, a_{N+1}\}$, com $a_1 < a_2 <
\ldots < a_{N+1}$; $b_i=a_{i+1}$; $I_i=[a_i,b_i]$; $a=a_1$ e $b=b_N$;
com isto o conjunto $P$ vai ser uma partição do intervalo
$[a,b]=[a_1,b_N]=[a_1,a_{N+1}]$ em $N$ subintervalos, $I_1$, $\ldots$,
$I_N$.

Dica: faça uma tabela! Por exemplo, se $P=\{3,4,6,8,9,10\}$ então $P$
é uma partição do intervalo $[a,b]=[3,10]$ em $N=5$ subintervalos:

$\begin{array}{cccc}
 i & a_i & b_i & I_i \\\hline
 1 &  3  &  4  & [3,4] \\
 2 &  4  &  6  & [4,6] \\
 3 &  6  &  8  & [6,8] \\
 4 &  8  &  9  & [8,9] \\
 5 &  9  & 10  & [9,10] \\
 \end{array}
$

Exercício: sejam $P_1, \ldots, P_5$ as seguintes partições do
intervalo $[0,4]$ (nós vamos usá-las no exercício seguinte). Faça a
tabela correspondente a ela.

$P_1 = \{0,1,2,3,4\}$,

$P_2 = \{0,1,3,4\}$,

$P_3 = \{0, 4\}$,

$P_4 = \{0, 2, 4\}$,

$P_5 = \{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4\}$,



%  ____            _   _                           __    __        _    __ 
% |  _ \ __ _ _ __| |_(_) ___ ___   ___  ___       \ \  | _|__ _  | |__|_ |
% | |_) / _` | '__| __| |/ __/ _ \ / _ \/ __|  _____\ \ | |/ _` | | '_ \| |
% |  __/ (_| | |  | |_| | (_| (_) |  __/\__ \ |_____/ / | | (_| |_| |_) | |
% |_|   \__,_|_|   \__|_|\___\___/ \___||___/      /_/  | |\__,_( )_.__/| |
%                                                       |__|    |/     |__|
%
% «particoes-cada-vez-mais-finas» (to ".particoes-cada-vez-mais-finas")
\mysection {particoes-cada-vez-mais-finas} {Partições cada vez mais finas}
% (c2q181  7 "20180321" "Refinamentos de partições; integral por cima e por baixo")


%  _____                       _       _                                 _     
% |  ___|   _ _ __   ___ ___  (_)_ __ | |_ ___  __ _ _ __ __ ___   _____(_)___ 
% | |_ | | | | '_ \ / __/ __| | | '_ \| __/ _ \/ _` | '__/ _` \ \ / / _ \ / __|
% |  _|| |_| | | | | (__\__ \ | | | | | ||  __/ (_| | | | (_| |\ V /  __/ \__ \
% |_|   \__,_|_| |_|\___|___/ |_|_| |_|\__\___|\__, |_|  \__,_| \_/ \___|_|___/
%                                              |___/                           
%
% «funcoes-integraveis-e-nao-int» (to ".funcoes-integraveis-e-nao-int")
\mysection {funcoes-integraveis-e-nao-int} {Funções integráveis e não integráveis}
% (c2q181  9 "20180326" "Funções integráveis e não integráveis")


%  _____ _____ ____ _ 
% |_   _|  ___/ ___/ |
%   | | | |_ | |   | |
%   | | |  _|| |___| |
%   |_| |_|   \____|_|
%                     
% «TFC1» (to ".TFC1")
\mysection {TFC1} {TFC1}
% (c2q181 12 "20180328" "TFC1")



%  _____ _____ ____ ____  
% |_   _|  ___/ ___|___ \ 
%   | | | |_ | |     __) |
%   | | |  _|| |___ / __/ 
%   |_| |_|   \____|_____|
%                         
% «TFC2» (to ".TFC2")
\mysection {TFC2} {TFC2}
% (find-angg ".emacs" "c2q172")
% (find-angg ".emacs" "c2q172" "TFC1 e TFC2")

\def\TFC#1{
  \left(
  \begin{array}{rcl}
  #1
  \end{array}
  \right)
}

$$\begin{array}{rcl}
  (TFC2a) &=& \TFC{ \Intx{a}{b} {F'(x)} &=& F(b)-F(a) } \\ \\
  (TFC2b) &=& \TFC{ \Intx{a}{b} {F'(x)} &=& \Difx{a}{b} {F(x)} } \\
  \end{array}
$$



%  ____        _         _   _ _         _                 
% / ___| _   _| |__  ___| |_(_) |_ _   _(_) ___ __ _  ___  
% \___ \| | | | '_ \/ __| __| | __| | | | |/ __/ _` |/ _ \ 
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_| | |_| |_| | | (_| (_| | (_) |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__|_|\__|\__,_|_|\___\__,_|\___/ 
%                                                          
% «integracao-por-substituicao» (to ".integracao-por-substituicao")
% (c2mp 3 "integracao-por-substituicao")
% (find-angg ".emacs" "c2q181")
% (find-angg ".emacs" "c2q172")
\mysection {integracao-por-substituicao} {Integração por substituição}

\def\D#1{\displaystyle\left( #1 \right)}
\def\D#1{\displaystyle       #1        }

\def\Sone{
  \left(
  \begin{array}{rcl}
  \D{ \Difx{a}{b}{\mathstrut f(g(x))} }
    & =
    & \D{ \Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)} }
    \\
  \rotatebox{90}{$=$}
    \phantom{mmm}
    \\
  \D{ \Difu{g(a)}{g(b)}{\mathstrut f(u)} }
    & =
    & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)} } \\
  \end{array}
  \right)
}

\def\Stwo{
  \left(
  \begin{array}{rcl}
  \D{ \Difx{a}{b}{\mathstrut F(g(x))} }
    & =
    & \D{ \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} }
    \\
  \rotatebox{90}{$=$}
    \phantom{mmm}
    \\
  \D{ \Difu{g(a)}{g(b)}{\mathstrut F(u)} }
    & =
    & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)} } \\
  \end{array}
  \right)
}

\def\Sthree{
  \left(
  \begin{array}{rcl}
  \D{ \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} }
   & =
   & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)} } \\
  \end{array}
  \right)
}

$$\begin{array}{rcl}
  (S1) &=& \Sone   \\ \\
  (S2) &=& \Stwo   \\ \\
  (S3) &=& \Sthree \\
  \end{array}
$$


%     _                                      _         _ _               
%    / \   _ __   __ _  __ _  __ _ _ __   __| | ___   | (_)_ __ ___  ___ 
%   / _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _` | '_ \ / _` |/ _ \  | | | '_ ` _ \/ __|
%  / ___ \| |_) | (_| | (_| | (_| | | | | (_| | (_) | | | | | | | | \__ \
% /_/   \_\ .__/ \__,_|\__, |\__,_|_| |_|\__,_|\___/  |_|_|_| |_| |_|___/
%         |_|          |___/                                             
%
% «apagando-os-limites-de-integracao» (to ".apagando-os-limites-de-integracao")
\mysection {apagando-os-limites-de-integracao} {Apagando os limites de integração}




% ----------------------------------------------------------------------

\newpage


%  ____                                            
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% | |_) | '__/ _ \ / _` | '__/ _` | '_ ` _ \ / _` |
% |  __/| | | (_) | (_| | | | (_| | | | | | | (_| |
% |_|   |_|  \___/ \__, |_|  \__,_|_| |_| |_|\__,_|
%                  |___/                           
%
% «programa-do-curso» (to ".programa-do-curso")
% (find-es "puro" "ementa-e-programa-C2")
% (c2q172  1 "20170821" "Introdução, subst, regra da cadeia, EDOs, áreas")
% (find-angg       "LATEX/2016-2-C2-integral.tex")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-C2-integral.pdf")

{\bf Programa do curso}

Vamos fazer essencialmente o que está em

\url{http://angg.twu.net/e/puro.e.html#ementa-e-programa-C2}

mas também vamos ver o básico de algumas ferramentas extras que vão
simplificar algumas partes do curso: linearização e diferenciais,
série de Taylor, números complexos, $e^{iθ}=\cosθ+i\senθ$, e um
pouquinho de notação $λ$ pra gente poder resolver algumas ambiguidades
de notação na parte sobre o operador $D$ (a derivada vista como
operador linear).




\newpage


%  ____            _   _                     
% |  _ \ __ _ _ __| |_(_) ___ ___   ___  ___ 
% | |_) / _` | '__| __| |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% |  __/ (_| | |  | |_| | (_| (_) |  __/\__ \
% |_|   \__,_|_|   \__|_|\___\___/ \___||___/
%                                            
% «particoes» (to ".particoes")
% (c2m172p 2 "particoes")

{\bf Partições}

\label{particoes}

\ssk

Uma {\sl partição} do intervalo $[a,b]$ é um conjunto $P⊂[a,b]$ finito
e tal que $a,b∈P$.

Seja $P$ um subconjunto finito e não-vazio de $\R$.
A gente pode listar os elementos de $P$ em ordem:
$P=\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$, com $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.
Esse conjunto $P$ vai ser uma ``partição'' do intervalo $[a,b] =
[a_1,a_n]$ em $n-1$ subintervalos,
$I_1 = [a_1, a_2]$, $I_2 = [a_2, a_3]$, $\ldots$, $I_{n-1} = [a_{n-1}, a_n]$,
em que cada subintervalo tem exatamente um ponto em comum com o seguinte.

Tudo vai ficar mais fácil se a gente usar estas convenções: $P$ tem
$N+1$ pontos, $P=\{a_1, a_2, \ldots, a_{N+1}\}$, com $a_1 < a_2 <
\ldots < a_{N+1}$; $b_i=a_{i+1}$; $I_i=[a_i,b_i]$; $a=a_1$ e $b=b_N$;
com isto o conjunto $P$ vai ser uma partição do intervalo
$[a,b]=[a_1,b_N]=[a_1,a_{N+1}]$ em $N$ subintervalos, $I_1$, $\ldots$,
$I_N$.

Dica: faça uma tabela! Por exemplo, se $P=\{3,4,6,8,9,10\}$ então $P$
é uma partição do intervalo $[a,b]=[3,10]$ em $N=5$ subintervalos:

$\begin{array}{cccc}
 i & a_i & b_i & I_i \\\hline
 1 &  3  &  4  & [3,4] \\
 2 &  4  &  6  & [4,6] \\
 3 &  6  &  8  & [6,8] \\
 4 &  8  &  9  & [8,9] \\
 5 &  9  & 10  & [9,10] \\
 \end{array}
$

Exercício: sejam $P_1, \ldots, P_5$ as seguintes partições do
intervalo $[0,4]$ (nós vamos usá-las no exercício seguinte). Faça a
tabela correspondente a ela.

$P_1 = \{0,1,2,3,4\}$,

$P_2 = \{0,1,3,4\}$,

$P_3 = \{0, 4\}$,

$P_4 = \{0, 2, 4\}$,

$P_5 = \{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4\}$,



\bsk

%  ____                        _             _           
% / ___|  ___  _ __ ___   __ _| |_ ___  _ __(_) ___  ___ 
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` | __/ _ \| '__| |/ _ \/ __|
%  ___) | (_) | | | | | | (_| | || (_) | |  | | (_) \__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|\__\___/|_|  |_|\___/|___/
%                                                        
% «somatorios-como-areas» (to ".somatorios-como-areas")
{\bf Somatórios como áreas}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration#Methods_for_one-dimensional_integrals
% https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature

% (c2qe171)
% (c2q171  1 "20170320" "Introdução")
% (c2q171  7 "20170322" "Aproximações por retângulos, partições")
% (c2q171  9 "20170327" "Aproximações de f por cima e por baixo, integral, integrável")

\msk

Exercício. Seja $f(x) = 4 - (x-2)^2$. Represente graficamente
$Σ_{i=1}^N \, c_i \, (b_i-a_i)$ para cada uma das partições acima e
para cada um dos modos abaixo de calcular $c_i$; o truque é
interpretar cada termo $c_i \, (b_i-a_i)$ do somatório como um
retângulo cuja base é o intervalo $(a_i,b_i)$ e cuja altura é $c_i$.
Além disso calcule o resultado de cada somatório para as partições
$P_1$, $\ldots$, $P_4$ --- as contas para a partição $P_5$ são mais
chatas e não valem a pena.

\ssk

\begin{tabular}{lll}
a) & $c_i = f(a_i)$                             & (``L'') \\
b) & $c_i = f(b_i)$                             & (``R'') \\
c) & $c_i = \max(f(a_i), f(b_i))$               & (``max'') \\
d) & $c_i = \min(f(a_i), f(b_i))$               & (``min'') \\
e) & $c_i = f\left(\frac{a_i+b_i}{2}\right)$    & (``ponto médio'') \\
f) & $c_i = \frac{f(a_i)+f(b_i)}{2}$            & (``trapézio'') \\
g) & $c_i = \sup_{x∈[a_i,b_i]} f(x)$           & (``sup'') \\
h) & $c_i = \inf_{x∈[a_i,b_i]} f(x)$           & (``inf'') \\
\end{tabular}

\ssk

Obs: cada um dos itens (a)--(h) acima corresponde a um método de
integração numérica; o nome do método está entre aspas à direita.

\msk



\newpage


%   ____                      _      _                  _       
%  / ___|___  _ __ ___  _ __ | | ___| |_ __ _ _ __   __| | ___  
% | |   / _ \| '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ __/ _` | '_ \ / _` |/ _ \ 
% | |__| (_) | | | | | | |_) | |  __/ || (_| | | | | (_| | (_) |
%  \____\___/|_| |_| |_| .__/|_|\___|\__\__,_|_| |_|\__,_|\___/ 
%                      |_|                                      
%
% «completando-funcoes» (to ".completando-funcoes")
% (c2m172p 3 "completando-funcoes")

{\bf Algumas operações sobre conjuntos:}

União: $\{1,2,3,4\}∪\{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$

Interseção: $\{1,2,3,4\}∩\{3,4,5,6\} = \{3,4\}$

``Exceto'': $\{1,2,3,4\}∖\{3,4,5,6\} = \{1,2\}$



\bsk

{\bf Completando funções}

Digamos que $P$ seja uma partição do intervalo $[a,b]$ e $g$ seja uma
função de $[a,b]∖P$ em $\R$. Temos quatro jeitos naturais de
``completar os buracos'' da função $g$ e transformá-la numa função de
$[a,b]$ em $\R$. O primeiro é:

$g_L(x) = \begin{cases}
           g(x)             & \text{se $x∈[a,b]∖P$} \\
           \lim_{t→a^+}g(t) & \text{se $x=a$} \\
           \lim_{t→b^-}g(t) & \text{se $x=b$} \\
           \lim_{t→x^+}g(t) & \text{se $x∈P∖\{a,b\}$} \\
         \end{cases}
$

Os outros três só diferem desse no último caso. Quando $x∈P∖\{a,b\}$, temos:

$g_R(x) = \lim_{t→x^-}g(t)$

$g_{up}(x) = \max(\lim_{t→x^-}g(t), \lim_{t→x^+}g(t))$

$g_{dn}(x) = \min(\lim_{t→x^-}g(t), \lim_{t→x^+}g(t))$



\bsk

\def\bothlines#1{\overline{\underline{#1}}}
\def\lupi#1#2{\overline {#1}_{#2}}
\def\ldni#1#2{\underline{#1}_{#2}}
\def\ludi#1#2{\bothlines{#1}_{#2}}
\def\lup #1#2{\overline {#1}_{#2,up}}
\def\ldn #1#2{\underline{#1}_{#2,dn}}
\def\lud #1#2{\bothlines{#1}_{#2,up}}


% «somas-sups-e-infs» (to ".somas-sups-e-infs")
{\bf Somas superiores e inferiores}

$\overline{∫}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\sup_{x∈[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

$\underline{∫}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\inf_{x∈[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

Dá pra interpretar esses somatórios como funções-escada com domínio
$[a,b]∖P$:

$\lupi fP (x) = \sup_{x∈[a_i, b_i]} f(x)$ se $x∈(a_i,b_i)$,

$\ldni fP (x) = \inf_{x∈[a_i, b_i]} f(x)$ se $x∈(a_i,b_i)$.

E podemos completá-las:

$\lup fP = (\lupi fP)_{up}$,

$\ldn fP = (\ldni fP)_{dn}$.

{\bf Exercício.} Represente graficamente

$\lupi f{P_1}$, $\ldni f{P_1}$, $\lup f{P_1}$, $\ldn f{P_1}$,

$\lupi f{P_2}$, $\ldni f{P_2}$, $\lup f{P_2}$, $\ldn f{P_2}$,

etc, para a função $f$ e as partições $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ da
página \pageref{particoes}.


\bsk

Note que podemos ``abrir'' as definições de $g_L$, $g_R$, $g_{up}$, $g_{dn}$...

Por exemplo, se $P=\{0,1,2,3,4\}$ então $a=0$, $b=4$, $N=4$,

$g_{up}(x) = \begin{cases}
             g(x)             & \text{se $x∈[0,4]∖\{0,1,2,3,4\}$} \\
             \lim_{t→0^+}g(t) & \text{se $x=0$} \\
             \lim_{t→4^-}g(t) & \text{se $x=4$} \\
             \max(\lim_{t→x^-}g(t), \lim_{t→x^+}g(t)) & \text{se $x∈\{0,1,2,3,4\}∖\{0,4\}$} \\
             \end{cases}
$

e:

$g_{up}(1) = \max(\lim_{t→1^-}g(t), \lim_{t→1^+}g(t))$

$g_{up}(2) = \max(\lim_{t→2^-}g(t), \lim_{t→2^+}g(t))$

$g_{up}(3) = \max(\lim_{t→3^-}g(t), \lim_{t→3^+}g(t))$





\newpage

{\bf A diferença entre a soma superior e a inferior}

$\bothlines{∫}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\sup_{x∈[a_i, b_i]} f(x) - \inf_{x∈[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

Dá pra interpretar esse somatório como uma função-escada com domínio
$[a,b]∖P$, que corresponde a pegar todos os retângulos entre $\ldni
fP$ e $\lupi fP$ e deslocá-los na vertical até eles ficarem apoiados
no eixo horizontal:

$\bothlines{f}_P(x) = (\sup_{x∈[a_i, b_i]} f(x)) - (\inf_{x∈[a_i, b_i]} f(x))$ se $x∈(a_i,b_i)$,

E podemos completá-la:

$\bothlines{f}_{P,up} = (\bothlines{f}_P)_{up}$,

{\bf Exercício.} Represente graficamente
$\bothlines{f}_{P_i}$ e $\bothlines{f}_{P_i,up}$
para a função $f$ e as partições $P_3$, $P_1$ e $P_5$ da página \pageref{particoes}.




\bsk


%  _                                    
% | |    __ _ _ __ __ _ _   _ _ __ __ _ 
% | |   / _` | '__/ _` | | | | '__/ _` |
% | |__| (_| | | | (_| | |_| | | | (_| |
% |_____\__,_|_|  \__, |\__,_|_|  \__,_|
%                 |___/                 
%
% «largura-de-particao» (to ".largura-de-particao")

{\bf Larguras de partições}

A {\sl largura} de uma partição $P$ é definida como a largura do seu {\sl maior}

subintervalo:

$||P|| = \max(b_1-a_1, \, \ldots, \, b_N-a_N)$

Vamos usar muito a idéia de uma sequência de partições ``cada vez mais
finas'' do intervalo $[a,b]$. Vamos precisar de duas notações novas
(temporárias!):

1) $Q_1≥Q_2$ (pronúncia: ``$Q_1$ é mais grossa que $Q_2$'', ou ``$Q_2$
mais fina que $Q_1$'') indica que $Q_1$ e $Q_2$ são partições do mesmo
intervalo e além disso $Q_1⊆Q_2$; ou seja, $Q_2$ é obtida a partir de
$Q_1$ subdividindo alguns intervalos de $Q_1$. Note que $Q_1≥Q_2$
implica $||Q_1||≥||Q_2||$.

2) A notação $Q_1≥Q_2≥\ldots→[a,b]$ vai indicar que $Q_1, Q_2, \ldots$
são partições de $[a,b]$ com $Q_1≥Q_2≥Q_3≥\ldots$ e $\lim_{i→∞}
||Q_i||=0$.

3) A notação $Q_1,Q_2,\ldots→[a,b]$ vai indicar que $Q_1, Q_2, \ldots$
são partições de $[a,b]$ que não necessariamente obedecem
$Q_1≥Q_2≥Q_3≥\ldots$, mas para as quais vale $\lim_{i→∞} ||Q_i||=0$.

\ssk

Um modo de obter uma sequência $Q_1≥Q_2≥\ldots→[a,b]$ é começar com
$Q_1=\{a,b\}$, e ir dividindo sempre cada subintervalo em 2: $Q_2$ tem
2 subintervalos, $Q_3$ tem 4, $Q_4$ tem 8, e assim por diante.

Um modo de obter uma sequência $Q_1,Q_2,\ldots→[a,b]$ é fazer com que
cada $Q_i$ seja a partição do intervalo $[a,b]$ em $i$ subintervalos
iguais.

\bsk

{\bf Funções integráveis: introdução}

Seja $[a,b]$ um intervalo e $f:[a,b]→\R$ uma função contínua (qualquer!).

Seja $Q_1≥Q_2≥\ldots→[a,b]$ uma sequência de partições cada vez mais finas.

Então, quando $i→∞$ (teorema!):

a)
$\overline {∫}_{Q_i} f(x)\,dx$ e
$\underline{∫}_{Q_i} f(x)\,dx$ convergem para o mesmo número,

b)
$\lup{f}{Q_i}$ e
$\ldn{f}{Q_i}$ convergem para $f$ em todo $x→[a,b]$,

c)
$\lud{f}{Q_i}$ converge para $0$ em todo $x→[a,b]$.

\newpage




% (c2qe171)
% (c2q171 18 "20170405" "TFC2 e regra da substituição")
% (c2q171 20 "20170412" "Substituição; omitindo limites de integração")
% (find-angg ".emacs" "c2q171" "Integrais de potências de sen e cos")
% (c2qe171)
% (c2q171 11 "20170329" "TFC1 e TFC2")
% (c2qe171)
% (c2q171 13 "20170403" "Integrando pelo método do chutar e testar")
% (c2qe171)
% (c2q171 22 "20170417" "Integração por partes")
% (c2qe171)
% (c2q171 24 "20170419" "Diferenciais")
% (c2q171 26 "20170424" "Aproximações lineares")
% (c2q171 28 "20170426" "Aproximações lineares: truques")






\end{document}




% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m172"
% End:
