% (find-angg "LATEX/2017-2-GA-VR.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-GA-VR.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2017-2-GA-VR; makeindex 2017-2-GA-VR"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-GA-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-GA-VR"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf
%               file:///tmp/2017-2-GA-VR.pdf
%           file:///tmp/pen/2017-2-GA-VR.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-GA-VR.pdf

% «.gab-1»	(to "gab-1")
% «.gab-2»	(to "gab-2")
% «.gab-3»	(to "gab-3")
% «.gab-4»	(to "gab-4")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-angg ".emacs.papers" "latexgeom")
% (find-latexgeomtext "total={6.5in,8.75in},")
\usepackage[%total={6.5in,4in},
            %textwidth=4in,  paperwidth=4.5in,
            %textheight=5in, paperheight=4.5in,
            a4paper,
            top=1.5in, left=1.5in%, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
%\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end
\pu

\def\V(#1){\VEC{#1}}





%   ____      _                    _ _           
%  / ___|__ _| |__   ___  ___ __ _| | |__   ___  
% | |   / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \ 
% | |__| (_| | |_) |  __/ (_| (_| | | | | | (_) |
%  \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/ 
%                                                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2017.2
\par VR - 13/dez/2017 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Diagramas muito ambíguos {\sl serão} interpretados errado.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

{
\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



% (find-angg "LATEX/2015-2-GA-P2.tex")


Lembre que uma equação de cônica é uma equação da forma $ax^2 + bxy +
cy^2 + dx + ey + f = 0$; $4+(x+y)(x-y)=5y$ não é uma equação de cônica
mas é equivalente a uma: $x^2-y^2-5y+4=0$. E o truque pra gente se
livrar das duas raízes quadradas em $√A + √B = C$ ou $√A - √B = C$ é:
%
$$\begin{array}{rcl}
  √A + √B = C &⇒& C^2(C^2 - 2(A+B)) + (A-B)^2 = 0 \\
  √A - √B = C &⇒& C^2(C^2 - 2(A+B)) + (A-B)^2 = 0 \\
  \end{array}
$$

% Nas questões 3 e 4 vamos usar a abreviação $[\text{equação}] =
% \setofxyzst{\text{equação}}$.


\bsk

1) \T(Total: 3.0 pts) Considere esta equação:
%
$$d((x,y),(-4,0))-d((x,y),(4,0))=10 \qquad (*)$$
%
a) \B(0.2 pts) Encontre dois pontos da forma $(x,0)$ que obedecem $(*)$.

b) \B(0.2 pts) Encontre dois pontos da forma $(0,y)$ que obedecem $(*)$.

c) \B(0.6 pts) Quais são os ``pontos óbvios'' que obedecem $(ax+b)^2 +
(cy+d)^2 = 1$?

d) \B(1.0 pts) Encontre uma equação da forma $(ax+b)^2 + (cy+d)^2 = 1$
cujas soluções ``óbvias'' sejam os pontos que você encontrou nos item
a e b.

e) \B(1.0 pts) Converta a equação $(*)$ para uma cônica usando as
fórmulas do início da página.





\bsk

2) \T(Total: 3.0 pts) Sejam $r=\setofst{(t,2-2t,2t)}{t∈\R}$,
$C=(0,0,4)$, $π$ um plano que contém r e C, $s$ uma reta ortogonal a
$π$ que passa por $C$.

a) \B(0.5 pts) Encontre o ponto $P∈r$ mais próximo de $C$.

b) \B(0.5 pts) Calcule $d(r,C)$.

c) \B(0.5 pts) O vetor $\Vec{PC}$ é ortogonal a $r$?

d) \B(0.5 pts) Dê a equação do plano $π$.

e) \B(0.5 pts) Dê uma parametrização para $s$.

f) \B(0.5 pts) Encontre um ponto $Q∈s$ tal que $d(Q,π)=1$.



\bsk


3) \T(Total: 3.0 pts) Faça esboços das cônicas com as equações abaixo.
Algumas delas são degeneradas. Em todos os itens abaixo considere que
$u=2-y/2$ e $v=x+y+1$ --- ou que $u$ e $v$ são {\sl abreviações} para $2-y/2$
e $x+y+1$.
%
$$
\begin{tabular}[t]{rl}
  a) (0.5 pts) & $u(u-1)=0$  \\
  b) (0.5 pts) & $v(v-1)=0$  \\[4pt]
  c) (0.2 pts) & $u^2+v^2=0$ \\
  d) (0.3 pts) & $u^2+v^2=1$ \\[4pt]
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{rl}
  e) (0.2 pts) & $uv=0$      \\
  f) (0.4 pts) & $uv=1$      \\
  g) (0.4 pts) & $uv=-1$     \\[4pt]
  h) (0.5 pts) & $u^2=v$     \\
  i) (0.5 pts) & $u=v^2$     \\
\end{tabular}
$$


\bsk




4) \T(Total: 1.0 pts) Seja $(**)$ esta equação: $(2-y/2)(x+y+1)=1$.

a) \B(0.8 pts) Dê as coordenadas de quatro soluções de $(**)$.

b) \B(0.2 pts) Converta $(**)$ para uma equação de cônica.




\newpage

%   ____       _                _ _        
%  / ___| __ _| |__   __ _ _ __(_) |_ ___  
% | |  _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \ 
% | |_| | (_| | |_) | (_| | |  | | || (_) |
%  \____|\__,_|_.__/ \__,_|_|  |_|\__\___/ 
%                                          

{\bf Mini-gabarito} (não revisado):

\msk

%  _ 
% / |
% | |
% | |
% |_|
%    
% «gab-1» (to ".gab-1")

1a) $(-5,0)$ e $(5,0)$

1b) $(0,3)$ e $(0,-3)$

1c) $(\frac{-a}{b}, \frac{±1-d}{c})$, $(\frac{±1-a}{b}, \frac{-d}{c})$

1d) $(\frac{x}{5}+0)^2 + (\frac{y}{3}+0)^2 = 1$

1e) $d((x,y),(-4,0))+d((x,y),(4,0))=10$

$⇒ \sqrt{(x+4)^2+y^2} - \sqrt{(x-4)^2+y^2} = 2$. Sejam $C=10$ e

$A = (x+4)^2+y^2 = x^2+8x+16+y^2$,

$B = (x-2)^2+y^2 = x^2-8x+16+y^2$; então $A-B=16x$ e

$A+B=2(x^2+16+y^2)$.

$√A - √B = C ⇒ C^2(C^2 - 2(A+B)) + (A-B)^2 = 0$

$⇒ 100(100 - 4(x^2+16+y^2)) + (16x)^2 = 0$

$⇒ (10000 - 400x^2 - 6400 - 400y^2) + 256x^2 = 0$

$⇒ -144x^2 -400y^2 +3600 = 0$


\bsk

%  ____  
% |___ \ 
%   __) |
%  / __/ 
% |_____|
%        
% «gab-2» (to ".gab-2")

2) Sejam $A=(0,2,0)$, $B=(1,0,2)$ $\uu = \Vec{AB} = \VEC{1,-2,2}$;
temos $r=\setofst{A+t\uu}{t∈\R}$.

2a) $P = A + \Pr_\uu \Vec{AC} = A +
\frac{\VEC{1,-2,2}·\VEC{0,-2,4}}{\VEC{1,-2,2}·\VEC{1,-2,2}} \uu = A +
\frac{12}{9} \uu = A + \VEC{\frac43,-\frac83,\frac83} =
(\frac43,-\frac23,\frac83)$

b) $\Vec{PC} = (0,0,4) - (\frac43,-\frac23,\frac83) =
\VEC{-\frac43,\frac23,\frac43}$; $||\Vec{PC}|| =
\frac23||\VEC{2,1,2}|| = \frac23·3 = 2$.

c) Sim: $\Vec{PC}·\uu = \VEC{-\frac43,\frac23,\frac43}·\VEC{1,-2,2} =
0$.

d) Podemos obter um vetor $\nn$ normal a $π$ fazendo $\nn :=
\Vec{AB}×\Vec{AC} = \VEC{1,-2,2}×\VEC{0,-2,4}$

$= \VEC{-4,-4,-2} = 2 \VEC{2,2,1}$; $π=\setofxyzst{2x+2y+z=α}$;
ajustando $α$ temos

$π=\setofxyzst{2x+2y+z=4}$.

e) $s = \setofst{C+t\nn}{t∈\R}$.

f) $||\nn||=3$; $\frac{\nn}{||\nn||} = \VEC{\frac23, \frac23,
  \frac13}$ é um vetor unitário normal a $π$; as soluções são
$D=C+\frac{\nn}{||\nn||} = (\frac23, \frac23, \frac{13}3)$ e 
$D'=C-\frac{\nn}{||\nn||} = (-\frac23, -\frac23, \frac{11}3)$. 


\bsk


%  _____ 
% |___ / 
%   |_ \ 
%  ___) |
% |____/ 
%        
% «gab-3» (to ".gab-3")

\unitlength=5pt
\def\closeddot{\circle*{0.6}}
\def\pictpoint#1{\put(#1){\closeddot}}
\def\pictline#1{{\linethickness{1.0pt}\expr{Line.new(#1):pict()}}}
\def\pictlinethin#1{{\linethickness{0.2pt}\expr{Line.new(#1):pict()}}}
\def\pictLine(#1)(#2)#3{%
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(#1)(#2)%
   \pictaxes%
   \pictline{#3}
   \end{picture}%
  }}%
 }

\def\pictellipse#1{{\linethickness{1.0pt}\expr{Ellipse.new(#1):pict()}}}
\def\pictEllipse(#1)(#2)#3{%
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(#1)(#2)%
   \pictaxes%
   \pictellipse{#3}
   \end{picture}%
  }}%
 }
\def\pictEllipseF(#1)(#2)#3(#4)(#5){%
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(#1)(#2)%
   \pictaxes%
   \pictellipse{#3}
   \put(#4){\closeddot}
   \put(#5){\closeddot}
   \end{picture}%
  }}%
 }

\def\picthyperbole#1#2{{\linethickness{1.0pt}\expr{Hyperbole.new(#1):pict(#2)}}}
\def\pictparabola #1#2{{\linethickness{1.0pt}\expr{Parabola .new(#1):pict(#2)}}}

% (find-LATEX "edrxtikz.lua" "Line")

\def\mygrid{
   \pictlinethin{v(0,  6), v(1, 0), -9, 1}  % 2 - y/2 = -1
   \pictlinethin{v(0,  4), v(1, 0), -9, 1}  % 2 - y/2 = 0
   \pictlinethin{v(0,  2), v(1, 0), -9, 1}  % 2 - y/2 = 1
   \pictlinethin{v(0,  0), v(1, -1), -7,  1}  % x+y+1 = 1
   \pictlinethin{v(0, -1), v(1, -1), -8,  0}  % x+y+1 = 0
   \pictlinethin{v(0, -2), v(1, -1), -9, -1}  % x+y+1 = -1
}

\unitlength=5pt
\def\closeddot{\circle*{0.4}}

3a)                                   % k) u(u-1)=0
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictline{v(-4, 4), v(1,-1), -3, 3}
   \pictline{v(-5, 4), v(1,-1), -3, 3}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3b)                                   % l) v(v-1)=0
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictline{v(-4, 4),  v(1,0), -3, 3}
   \pictline{v(-4, 2),  v(1,0), -3, 3}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3c)                                   % m) u^2+v^2=0
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \put(-5,4){\closeddot}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3d)                                   % n) u^2+v^2=1
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictellipse{v(-5,4), v(1,0), v(-2,2)}
   % \picthyperbole{v(2,-2), v(1,0), v(-1,1), 1}{10, -4, -1/2, 1/4, 4}
   % \put(2,-2){\closeddot}
   % \pictline{v(0,-2), v(1,0), -1, 5}  % y-2 = 0
   % \pictline{v(0, 0), v(1,-1), -2, 4}  % x+y = 0
   \end{picture}%
 }}$
\;
3e)                                    % o) uv=0
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictline{v(-5,4),  v(1,0), -3, 3}
   \pictline{v(-5,4),  v(-2,2), -1.5, 1.5}
   \end{picture}%
 }}$
\quad
3f)                                    % p) uv=1
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \picthyperbole{v(-5,4), v(1,0), v(-2,2), 1}{10, -4, -1/3, 1/2, 5}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3g)                                    % q) uv=-1
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \picthyperbole{v(-5,4), v(1,0), v(2,-2), 1}{10, -3, -1/2, 1/3, 5}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3h)                                    % r) u^2=v
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictparabola{v(-5,4), v(1,0), v(2,-2), 2}{10, -1.4, 1.4}
   \end{picture}%
 }}$
\;
3i)
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-9,-1)(1,7)%
   \pictaxes%
   \mygrid
   \pictparabola{v(-5,4), v(2,-2), v(1,0), 2}{10, -1.4, 1.4}
   \end{picture}%
 }}$


%  _  _   
% | || |  
% | || |_ 
% |__   _|
%    |_|  
%         
% «gab-4» (to ".gab-4")







\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:
