% (find-angg "LATEX/2017-2-GA-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-GA-VS.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2017-2-GA-VS; makeindex 2017-2-GA-VS"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-GA-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-GA-VS"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf
%               file:///tmp/2017-2-GA-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2017-2-GA-VS.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-GA-VS.pdf

% «.gab-1»	(to "gab-1")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
%\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end




%   ____      _                    _ _           
%  / ___|__ _| |__   ___  ___ __ _| | |__   ___  
% | |   / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \ 
% | |__| (_| | |_) |  __/ (_| (_| | | | | | (_) |
%  \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/ 
%                                                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2017.2
\par VS - 18/dez/2017 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Diagramas muito ambíguos {\sl serão} interpretados errado.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar


Lembre que uma equação de cônica é uma equação da forma $ax^2 + bxy +
cy^2 + dx + ey + f = 0$; $4+(x+y)(x-y)=5y$ não é uma equação de cônica
mas é equivalente a uma: $x^2-y^2-5y+4=0$. E o truque pra gente se
livrar das duas raízes quadradas em $√A + √B = C$ ou $√A - √B = C$ é:
%
$$\begin{array}{rcl}
  √A + √B = C &⇒& C^2(C^2 - 2(A+B)) + (A-B)^2 = 0 \\
  √A - √B = C &⇒& C^2(C^2 - 2(A+B)) + (A-B)^2 = 0 \\
  \end{array}
$$

\bsk

1) \T(Total: 3.5 pts) Sejam $A=(0,2,2)$, $B=(3,3,0)$, $C=(4,0,4)$,
$D=(0,4,2)$.

a) \B(0.5 pts) Seja $π$ o plano que contém $A$, $B$ e $C$. Dê a
equação de $π$.

b) \B(0.5 pts) Seja $E$ o ponto de $π$ mais próximo de $D$. Dê as
coordenadas de $E$.

c) \B(0.5 pts) Seja $r$ uma reta ortogonal a $π$ que contém $A$. Dê
uma parametrização para $r$.

d) \B(0.5 pts) Seja $F$ o ponto de $r$ mais próximo de $D$. Dê as
coordenadas de $F$.

e) \B(0.5 pts) Teste se o seu ponto $E$ está correto. Dica: inclua uma
explicação em português.

f) \B(0.5 pts) Teste se o seu ponto $F$ está correto. Dica: inclua uma
explicação em português.

g) \B(0.5 pts) Calcule $d(E,π)$.

\bsk


2) \T(Total: 1.0 pts) Sejam $P_1=(6,6)$, $P_2=(3,4)$, $P_3=(9,4)$,
$P_4=(6,2)$. Dê a equação da elipse que contém $P_1$, $P_2$, $P_3$,
$P_4$.


\bsk


3) \T(Total: 4.0 pts) Sejam $F(x,y) = \Pr_{\VEC{1,3}}\VEC{x,y}$,
$A=(0,2)$, $B=(4,0)$, $r$ a reta que passa por $A$ e $B$, e $G(x,y)$ o
ponto de $r$ mais próximo do ponto $(x,y)$.

a) \B(1.0 pts) Encontre $a,b,c,d,e,f∈\R$ para os quais isto valha para
todo $x,y∈\R$: $F(x,y)=\VEC{ax+by+c, dx+ey+f}$.

b) \B(3.0 pts) Encontre $a,b,c,d,e,f∈\R$ para os quais isto valha para
todo $x,y∈\R$: $G(x,y)=(ax+by+c, dx+ey+f)$.

Dica: se você não souber encontrar as soluções direto use o método do
chutar-e-testar.



\bsk


4) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $A=(0,1)$ e $B=(3,0)$.

a) \B(0.5 pts) Encontre três pontos $C_1$, $C_2$, $C_3$ diferentes
tais que $\area(ΔABC_1)=\area(ΔABC_2)=\area(ΔABC_3)=10$.

b) \B(1.0 pts) Represente graficamente o conjunto
$\setofst{C∈\R^2}{\area(ΔABC_3)=10}$.



\newpage

%   ____       _                _ _        
%  / ___| __ _| |__   __ _ _ __(_) |_ ___  
% | |  _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \ 
% | |_| | (_| | |_) | (_| | |  | | || (_) |
%  \____|\__,_|_.__/ \__,_|_|  |_|\__\___/ 
%                                          

{\bf Mini-gabarito (não revisado):}

\msk

% «gab-1» (to ".gab-1")
% (find-es "ipython" "2017.2-GA-VS")

1) $\Vec{AB} = \VEC{3,1,-2}$, $\Vec{AC} = \VEC{4,-2,2}$,
$\Vec{AB}×\Vec{AC} = \VEC{-2,-14,-10}$; seja $\nn = \VEC{1, 7, 5}$.

1a) $π = \setofxyzst{1x + 7y + 5z = 24}$

1b) Sejam $r'=\setofst{D+t\nn}{t∈\R}$ e $E∈π∩r'$; $E = (-14/75,
202/75, 48/75)$.

1c) $r = \setofst{A+t\nn}{t∈\R} =
\setofst{(0,2,2)+t\VEC{1,7,5}}{t∈\R}$.

1d) $F = A + \Pr_{\nn}\Vec{AD} = (0,4,2)$

1e) $E∈π$ $⇒$ sim; $\Vec{ED}⊥π$ $⇒$ sim (basta checar $\Vec{ED}//\nn$,
i.e., $\Vec{ED}×\nn=\Vec0$)

1f) $F∈r$ $⇒$ sim; $\Vec{FD}⊥r$ $⇒$ sim.

1g) $E∈π$ $⇒$ $d(E,π)=0$.

\msk

2) Centro $(6,4)$, equação $(\frac{x-6}{3})^2 + (\frac{y-4}{2})^2 =
1$.

\msk

3a) $F(x,y) = \Pr_{\VEC{1,3}}\VEC{x,y} =
\frac{\VEC{1,3}·\VEC{x,y}}{\VEC{1,3}·\VEC{1,3}} \VEC{1,3} =
\frac{x+3y}{10} \VEC{1,3} = (x+3y) \VEC{\frac{1}{10}, \frac{3}{10}} =
\VEC{\frac{x+3y}{10}, \frac{3x+9y}{10}} = \VEC{\frac{1}{10}x +
  \frac{3}{10}y + 0, \frac{3}{10}x + \frac{9}{10}y + 0}$

3b) $G(x,y) = A + \Pr_{\Vec{AB}} \Vec{A(x,y)} = (0,2) +
\Pr_{\VEC{4,-2}} \VEC{x,y-2}$

$= (0,2) + \frac{\VEC{4,-2}·\VEC{x,y-2}}{\VEC{4,-2}·\VEC{4,-2}}
\VEC{4,-2} = (0,2) + (4x+4-2y) \VEC{\frac{4}{20},\frac{-2}{20}}$

$= (\frac45x - \frac25y + \frac45, -\frac25x + \frac15y + 2-\frac25)$

% F = A + \Pr_{\nn}\Vec{AD} = (0,4,2)$

\msk

4) Alguns pontos: $(1,4)$, $(4,3)$, $(-1,-2)$, $(2,-3)$.






\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:


