% (find-angg "LATEX/2018-2-C2-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2018-2-C2-VS.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2018-2-C2-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2018-2-C2-VS"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf
%               file:///tmp/2018-2-C2-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2018-2-C2-VS.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2018-2-C2-VS.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
\catcode`\^^J=10                      % (find-es "luatex" "spurious-omega")
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end



{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2018.2
\par VS - 19/dez/2018 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



\def\ov{\overline}
\def\t{\textstyle}
\def\d{\displaystyle}





1) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $\intth {(\cos θ)^3(\senθ)^3}$

a) \B(0.5 pts) Pela substituição $s=\senθ$,

b) \B(0.5 pts) Pela substituição $c=\cosθ$,

c) \B(1.0 pts) Pelo truque do `$E$'.

\bsk
\bsk

2) \T(Total: 2.0 pts) Calcule

a) \B(1.0 pts) $\Intx ab {\sqrt{1-x^2}}$,

b) \B(0.0 pts) $\Intx {-1}{1} {\sqrt{1-x^2}}$.


\bsk
\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Calcule:
%
$$\intx {\frac{1}{\sqrt{4x^2+9}}}$$

\bsk

4) \T(Total: 2.5 pts) Seja $F(x,y)=x^3y^4$. Sejam [1], [2], [3] as
seguintes EDOs induzidas por esta $F$:

[1] $F_ydy=-F_xdx$,

[2] $F_xdx+F_ydy=0$,

[3] $xF_xdx+xF_ydy=0$,

a) \B(1.0 pts) Escreva [1] explicitamente e resolva-a por variáveis separáveis.

b) \B(1.0 pts) Escreva [2] explicitamente e resolva-a por EDOs exatas.

c) \B(0.5 pts) Mostre que a EDO [3], que é claramente equivalente a [2], não é exata.

\bsk
\bsk

5) \T(Total: 1.5 pts) Encontre uma EDO cujas soluções são (ou ``devem
ser''!) as curvas $xy=\text{(constante)}$ e resolva-a --- isto é,
encontre a solução geral da sua EDO.





% (find-es "ipython" "2018.2-C2-P2")



% Uma exata não separável





% (find-angg "LATEX/2015-2-GA-P2.tex")

% 1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''+3f'-18f=0$.
% 
% a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.
% 
% b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.
% 
% c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=1$, $f'(0)=0$.
% 
% \bsk
% \bsk
% 
% 2) \T(Total: 2.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.
% 
% a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.
% 
% b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.
% 
% c) \B(1.0 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.
% 
% d) \B(0.5 pts) Teste uma das soluções que você encontrou no item anterior.
% 
% \bsk
% \bsk
% 
% 3) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(***)$ a seguinte EDO: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+3}{y^4}$.
% 
% a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$ por variáveis separáveis.
% 
% b) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(***)$ que passa pelo ponto $(6,7)$.
% 
% c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.
% 
% 
% \bsk
% \bsk
% 
% 4) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(****)$ a seguinte EDO: $(2xy^3) \, dx + 3(x^2+3)y^2 \, dy = 0$.
% 
% %         3         2 / 2    \
% % 2*dx*x*y  + 3*dy*y *\x  + 3/
% %
% 
% a) \B(0.5 pts) Verifique que $(****)$ é exata.
% 
% b) \B(1.0 pts) Encontre a solução geral de $(****)$.
% 
% c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(****)$ que passa pelo ponto $(a,b)$.
% 
% 
% \bsk
% \bsk
% 
% 5) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $C$ e $π_z$ os seguintes conjuntos:
% %
% $$\begin{array}{rcl}
%     C &=& \setofxyzst{0≤x≤4, y^2+z^2≤x} \\
%   π_z &=& \setofxyzst{z=0} \\
%   \end{array}
% $$
% 
% a) \B(0.5 pts) Represente graficamente $C∩π_z$.
% 
% b) \B(1.0 pts) Calcule o volume de $C$.



\bsk
\bsk

Algumas definições, fórmulas e substituições:

$\begin{array}[t]{l}
 c = \cos θ \\
 s = \sen θ \\
 t = \tan θ \\
 z = \sec θ \\
 E = e^{iθ} \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 c^2+s^2=1 \\
 z^2=t^2+1 \\
 \sqrt{1-s^2} = c \\
 \sqrt{t^2+1} = z \\
 \sqrt{z^2-1} = t \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 \frac{ds}{dθ} = c \\
 \frac{dc}{dθ} = -s \\
 \frac{dt}{dθ} = z^2 \\
 \frac{dz}{dθ} = zt \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 E = c+is \\
 c = \frac{E+E¹}{2} \\
 s = \frac{E-E¹}{2i} \\
 e^{ikθ} + e^{-ikθ} = 2 \cos kθ \\
 e^{ikθ} - e^{-ikθ} = 2i \sen kθ \\
 \end{array}
$






\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:
