% (find-angg "LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2018-2-MD-ordem-prop.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2018-2-MD-ordem-prop.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2018-2-MD-ordem-prop"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf
%               file:///tmp/2018-2-MD-ordem-prop.pdf
%           file:///tmp/pen/2018-2-MD-ordem-prop.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2018-2-MD-ordem-prop.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
%\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end


\par Matemática Discreta - 2018.2
\par Prof: Eduardo Ochs
\par Lista de exercícios de 22/out/2018

\bsk

No início do curso, quando fizemos os exercícios de notação de
conjuntos, nós usamos um modo de representar subconjuntos de $\R^2$
com uma notação com bolinhas; por exemplo, o conjunto
$\{(1,2),(3,4)\}$ era representado com um `$•$' na posição $(1,2)$ e
outro $•$' na posição $(3,4)$. Agora vamos passar a usar uma ``notação
posicional para funções'' parecida com essa, mas usando outras coisas
ao invés de `$•$'s.

1) Seja $K = \{(1,3), (0,2), (2,2), (1,1), (1,0)\}$. Represente $K$
graficamente.

2) Seja $f = \{((1,3), 1), ((0,2), 2), ((2,2), 3), ((1,1), 4), ((1,0),
5)\}$. Verifique que $f:K→\N$ e represente $f$ graficamente da
seguinte forma: escreva o valor de $f((1,3))$ ($= 1$) na posição
$(1,3)$, escreva o valor de $f((0,2))$ na posição $(0,2)$, e assim por
diante. Isto é a ``notação posicional para funções''.

\def\F{\mathbf{F}}
\def\V{\mathbf{V}}

3) Represente graficamente a função

$\{((1,3), \F), ((0,2), \V), ((2,2), \F), ((1,1), \F), ((1,0), \F)\}$.

\bsk

Sejam:

$A = \setofst{(x,y)}{x∈\{0,1,2,3\}, y∈\{0,1,2\}}$

$P = \setofst{((x,y),z)}{(x,y)∈A, z=(x≤1 ∧ y≥1)}$

$Q = \setofst{((x,y),z)}{(x,y)∈A, z=(1≤x≤2 ∧ y≥1)}$

$R = \setofst{((x,y),z)}{(x,y)∈A, z=(0≤x≤2 ∧ y≤1)}$

Uma {\sl proposição sobre $X$} é uma função do conjunto $X$ no
conjunto $\{\F,\V\}$. Repare que $P$, $Q$, $R$ são proposições sobre
$A$.

\ssk

4) Represente graficamente o conjunto $A$ e as funções (proposições!)
$P$, $Q$ e $R$.

5) Calcule $P(0,2)$, $P(1,2)$, $P(3,2)$.

\ssk

Uma expressão como ``$P(x,y)∧Q(x,y)$'' só pode ser calculada se
soubermos os valores $x$ e $y$ --- mas ela pode ser interpretada como
uma nova proposição sobre $A$. Usando esta idéia, represente
graficamente as seguintes proposições sobre $A$:

6) $P(x,y)∧Q(x,y)$

7) $P(x,y)∧R(x,y)$

8) $Q(x,y)∧R(x,y)$

9) $¬P(x,y)$

10) $P(x,y)→Q(x,y)$

11) $P(x,y)∨(Q(x,y)∧R(x,y))$

12) $⊤$

13) $x≤y$

\ssk
\newpage

Releia as seções do livro que definem ``conjunto potência'' (ou:
``conjunto das partes'') e ``diagramas de Hasse'', e:

14) Calcule $\Pts(\{2,3,5\})$.

15) Desenhe o diagrama de Hasse da ordem parcial $(\Pts(\{2,3,5\}),
⊆)$. Obs: isto é um abuso de linguagem --- o modo mais formal e mais
preciso de escrever esta ordem parcial seria assim, restringindo o
`$⊆$' ao $\Pts(\{2,3,5\}$:
%
$$(\Pts(\{2,3,5\}), \setofst{(A,B)}{A,B∈\Pts(\{2,3,5\}), A⊆B}).$$

\bsk

O grande objetivo dos exercícios de hoje é fazer vocês começarem a
visualizar a ordem parcial sobre as proposições (!!!). Hoje vamos só
entender a ordem parcial sobre as proposições sobre o conjunto $A$ da
página anterior. A ordem é definida desta forma: $P≤Q$ se e só se
$∀(x,y)∈A.P(x,y)→Q(x,y)$.

16) Verifique que $P(x,y)∧Q(x,y) \; ≤ \; P(x,y)$.

17) Verifique que $P(x,y) \;≤\; P(x,y)∨Q(x,y)$.

18) Verifique que $⊥ ≤ P(x,y)≤ ⊤$.

19) Verifique que $P(x,y) \not≤ Q(x,y)$ e que $Q(x,y) \not≤ P(x,y)$.

\def\calS{\mathcal{S}}

20) Seja $\calS$ o seguinte conjunto de proposições sobre $A$:
%
$$\calS = \{
  ⊤,
  ⊥,
  P(x,y),
  Q(x,y),
  P(x,y)∧Q(x,y),
  P(x,y)∨Q(x,y),
  R(x,y),
  P(x,y)→Q(x,y)
  \}.
$$

Faça um diagrama de Hasse de $\calS$ com a ordem que definimos. Obs: a
notação usual para esta ordem parcial, com um abuso de linguagem
parecido com o que usamos acima, é $(\calS, →)$.

(Dica: você vai acabar descobrindo que a proposição $⊤$ é a ``mais
verdadeira de todas'', porque ela é verdadeira sempre, i.e., ela é
verdadeira em todo lugar; a proposição $⊥$ é a ``menos verdadeira de
todas'', porque não é verdade nunca, em lugar nenhum, e as outras são
intermediárias entre $⊥$ e $⊤$ --- e {\sl comparar proposições} é
parecido com {\sl comparar conjuntos}, mas isso eu não vou explicar,
você vai ter que descobrir porquê $=)$)

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End:
