% (find-angg "LATEX/2019-1-C3-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-1-C3-material.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2019-1-C3-material; makeindex 2019-1-C3-material"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-1-C3-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-1-C3-material"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-material.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-1-C3-material.pdf
%               file:///tmp/2019-1-C3-material.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-1-C3-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-1-C3-material.pdf

% «.exercicios-1234»	(to "exercicios-1234")
% «.exercicio-D»	(to "exercicio-D")
% «.sqrt»		(to "sqrt")
% «.exercicio-5»	(to "exercicio-5")

\documentclass[oneside,twocolumn]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
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%
% (find-angg ".emacs.papers" "latexgeom")
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           ]{geometry}
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
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% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 19 "16 de maio")
% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 20 "17 de maio")
% (find-pdftools-page "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 20 "17 de maio")

\pagestyle{empty}

{\setlength\parindent{0pt}

{\bf Quadro da aula de C3 de 16/maio/2019}

{\bf Eduardo Ochs, PURO/UFF}

{\bf Versão: 2019May22 19:34}

}

\msk

No final da aula passada nós revimos uma fórmula para aproximação de
primeira ordem...

Se $f:\R→\R$,
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(x_0+a) &≅& f(x_0) + af'(x_0) \\
      f(x) &≅& f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) \\
           &=& (f(x_0) + -x_0f'(x_0)) + xf'(x_0) \\
  \end{array}
$$

As três são equivalentes.

Às vezes alguma delas é mais conveniente que as outras.

Na aula passada eu pedi pra vocês encontrarem fórmulas como (1), (2),
(3) para funções $F:\R^2→\R$ --- e que vocês experimentassem usar
notações que vocês aprenderam no vídeo --- em especial ``$\Vec∇$''...

A notação mais adequada faz as contas ficarem mais claras e mais
curtas.

\bsk
\bsk

{\bf Hoje:

Aproximações de segunda ordem!

}

\msk

Lembre que:

$F_x = \frac{∂}{∂x} F$

$F_y = \frac{∂}{∂y} F$

$F_{xy} = (F_x)_y = \frac{∂}{∂y} (\frac{∂}{∂x} F)$

\msk

% «exercicios-1234»  (to ".exercicios-1234")

{\bf Exercícios:}

Seja $F(x,y) = x^2 y^3$.

1) Calcule:

\begin{tabular}{rlrl}
a) & $F(3,4)$  \\
b) & $F_x   (x,y)$ \qquad & b') & $F_x   (3,4)$ \\
c) & $F_y   (x,y)$ \qquad & c') & $F_y   (3,4)$ \\
d) & $F_{xx}(x,y)$ \qquad & d') & $F_{xx}(3,4)$ \\
e) & $F_{xy}(x,y)$ \qquad & e') & $F_{xy}(3,4)$ \\
f) & $F_{yx}(x,y)$ \qquad & f') & $F_{yx}(3,4)$ \\
g) & $F_{yy}(x,y)$ \qquad & g') & $F_{yy}(3,4)$ \\
\end{tabular}

2) Encontre uma função $G:\R^2→\R$ que seja uma aproximação de
primeira ordem para $F$ no ponto $(3,4)$.

3) Seja $H:\R^2→\R$ uma função suave qualquer. Encontre uma
aproximação de primeira ordem para a $H$ no ponto $(3,4)$.

4) Seja $\vec u = \VEC{a,b}$. Encontre uma aproximação de primeira
ordem para:

\begin{tabular}{rlrl}
a) & $F((3,4) + t\VEC{5,6})$  \\
b) & $G((3,4) + t\VEC{5,6})$ \\
c) & $H((x_0,y_0) + t\vec u)$ \\
\end{tabular}

\bsk

O grande tema da aula de hoje é: o que a aproximação de segunda ordem
para $H((x_0,y_0) + t\vec u)$ ``enxerga''? Isto é: quais das derivadas
parciais de $H$ importam para o resultado?

\bsk
\bsk

{\bf Trabalho pra casa, valendo 1.0 ponto na P1:}

Façam os exercícios de hoje pra entregar.

Ordem sugerida (do mais fácil pro mais difícil): (2), (Da), (3), (4a),
(4b), (4c), (Db), (Dc).




\bsk
\bsk

{\bf Dica:}

% «exercicio-D»  (to ".exercicio-D")
% (c3m191p 99 "exercicio-D")
% (c3m191     "exercicio-D")

O problema (d) da aula passada era:

(d) Seja $F(x,y) = \sen x + \sen y$. Use $F(\fracπ2,π)$ e
$\Vec∇F(\fracπ2,π)$ pra calcular uma aproximação para $F(\fracπ2+0.1,
π+0.2)$.

Nesse problema é bem fácil distinguir o ponto onde sabemos calcular
tudo sem calculadors --- $(x_0,y_0) = (\fracπ2,π)$ --- da ``variação''
deste ponto: $(\fracπ2,π) + \VEC{0.1,0.2} = (\fracπ2+0.1, π+0.2)$

Se você estiver se enrolando nos problemas de hoje tente fazer os
exercícios abaixo usando $F(x,y) = \sen x + \sen y$ (obs: vamos chamar
isto de ``{\bf Exercício D}''):

\msk

a) Encontrar uma aproximação de primeira ordem para $F((\fracπ2,π) +
t\VEC{0.1,0.2})$,

b) Encontrar uma aproximação de {\sl segunda} ordem para
$F((\fracπ2,π) + t\VEC{0.1,0.2})$,

c) Encontrar uma aproximação de {\sl segunda} ordem para
$F((\fracπ2,π) + t\VEC{a,b})$.

\msk

{\sl Itens extras que eu não pus no quadro:}

Seja $S=\setofst{(x,y,F(x,y))}{(x,y)∈\R^2}$.

d) Visualize as superfície $S$ ao redor do ponto $(x_0,y_0) =
(\fracπ2,π)$ e tente representá-la graficamente.

e) Represente graficamente a aproximação que você montou no exercício
(Da).

f) Idem para o exercício (Db).

g) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{1,0}$.

h) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{0,1}$.

i) Idem para o exercício (Dc), com $\VEC{a,b}=\VEC{1,1}$.



%  ____             _               ____  
% |  _ \ __ _  __ _(_)_ __   __ _  |___ \ 
% | |_) / _` |/ _` | | '_ \ / _` |   __) |
% |  __/ (_| | (_| | | | | | (_| |  / __/ 
% |_|   \__,_|\__, |_|_| |_|\__,_| |_____|
%             |___/                       

\newpage

{\bf Mais dicas:}

O exercício (d) da aula passada pedia pra calcular uma aproximação
para $F(\fracπ2+0.1, π+0.2)$ e {\sl implicitamente} pedia pra vocês
compararem o resultado disso com $\sen(π2+0.1) + \sen(π+0.2)$, que dá
pra calcular com calculadora...

Você pode dar {\sl nomes} para as suas expressões --- por exemplo,
$E=\sen(π2+0.1) + \sen(π+0.2)$ (valor exato) e $A=\ldots$ (valor
aproximado), calcular ambas numericamente e comparar os resultados.

\msk

(Re)leia os exemplos 2.2.2, 2.2.4 e 2.2.5 do APEX Calculus.

\msk

% «sqrt»  (to ".sqrt")
% (c3m191p 2 "sqrt")
% (c3m191    "sqrt")

O exemplo mais comum de aproximação linear --- vááários livros começam
por ele --- é $f(x) = \sqrt x$ em torno de $x_0=4$. Faça a figura para
este exemplo, encontre uma fórmula para a aproximação de primeira
ordem em $x_0=4$, e use uma calculadora para comparar o resultado
exato e o resultado da aproximação em $x=4$, $x=5$, $x=4.1$, $x=3.9$ e
$x=1$.

\msk

Obtenha uma aproximação de {\sl segunda} ordem para esta $f(x)$ em
$x_0=4$. Teste-a em $x=4$, $x=5$, $x=4.1$, $x=3.9$ e $x=1$.

\msk

Leia a seção 4.4 do APEX Calculus.

\msk

Relembre a notação de substituição que usamos na aula de 3/maio.
Exemplos:

$(F(g(t),h(t))) \subst{ F(x,y) := x/y \\
                        g(t):=\sen t \\
                        h(t):= \cos t
                      } = \frac{\sen t}{\cos t}
                      $

\ssk

$(F(g(t),h(t))) \subst{ F(x,y) := x/y \\
                        g(t):=\sen t \\
                        h(t):= \cos t
                      }
                \subst{ t:=π
                      } = \frac{\sen π}{\cos π}
                      $

Use-a pra escrever como você está testando as suas fórmulas. Se você
escrever claramente fica bem mais fácil discutir com colegas!

\msk

% «exercicio-5»  (to ".exercicio-5")
% (c3mp 2 "exercicio-5")
% (c3m    "exercicio-5")

{\bf Mais uma dica/exercício} (``Exercício 5'', acrescentado em
22/maio):

a) Calcule $\frac{d}{dx} (\frac{d}{dx} f(g(x)))$.

b) Calcule $\frac{d}{dt} (\frac{d}{dt} F(g(t),h(t)))$.

\msk

Quando eu dava Geometria Analítica eu sempre distribuía no início do
curso uma texto com dicas de como estudar. Uma das dicas era:

\begin{quote}

  7) Uma solução bem escrita pode incluir, além do resultado final,
  contas, definições, representações gráficas, explicações em
  português, testes, etc. Uma solução bem escrita é fácil de ler e
  fácil de verificar. Você pode testar se uma solução sua está bem
  escrita submetendo-a às seguinte pessoas: a) você mesmo logo depois
  de você escrevê-la --- releia-a e veja se ela está clara; b) você
  mesmo, horas depois ou no dia seguinte, quando você não lembrar mais
  do que você pensava quando você a escreveu; c) um colega que seja
  seu amigo; d) um colega que seja menos seu amigo que o outro; e) o
  monitor ou o professor. Se as outras pessoas acharem que ler a sua
  solução é um sofrimento, isso é mau sinal; se as outras pessoas
  acharem que a sua solução está claríssima e que elas devem estudar
  com você, isso é bom sinal. {\sl GA é um curso de escrita
    matemática:} se você estiver estudando e descobrir que uma solução
  sua pode ser reescrita de um jeito bem melhor, não hesite ---
  reescrever é um ótimo exercício.

\end{quote}



% (find-xpdfpage "~/2019.1-C3/2019.1-C3.pdf" 18)

% (find-apexcalculuspage (+ 10  78)   "Example 2.2.3 Understanding the derivative: the rate of change")
% (find-apexcalculuspage (+ 10  79)   "Example 2.2.4 Understanding the graph of the derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10  79)   "Example 2.2.5 Approximation with the derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10  82) "2.3 Basic Differentiation Rules")
% (find-apexcalculuspage (+ 10  89) "2.4 The Product and Quotient Rules")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 100) "2.5 The Chain Rule")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 111) "2.6 Implicit Differentiation")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 122) "2.7 Derivatives of Inverse Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 129) "3 The Graphical Behavior of Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 129) "3.1 Extreme Values")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 137) "3.2 The Mean Value Theorem")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 142) "3.3 Increasing and Decreasing Functions")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 151) "3.4 Concavity and the Second Derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 159) "3.5 Curve Sketching")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 167) "4 Applications of the Derivative")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 167) "4.1 Newton's Method")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 174) "4.2 Related Rates")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 181) "4.3 Optimization")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 188) "4.4 Differentials")






\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m191"
% End:
