% (find-LATEX "2019-2-C2-VR.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C2-VR.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C2-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C2-VR"))
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C2-VR.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C2-VR.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C2-VR.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb}                 % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu


{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - Turma grande - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P1.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



1) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {(\sen x)^4}.$$

\bsk

2) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{1}{\sqrt{4+9x^2}}}.$$

\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{x^3}{x^2 + 4x - 12}}.$$

\bsk

4) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}.$$

\bsk

5) \T(Total: 2.0 pts) Calcule por integração por partes $$\intx {e^{4ix}\cos(4x)}$$.

\bsk
\bsk

Algumas definições, fórmulas e substituições:

$\begin{array}[t]{l}
 c = \cos θ \\
 s = \sen θ \\
 t = \tan θ \\
 z = \sec θ \\
 E = e^{iθ} \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 c^2+s^2=1 \\
 z^2=t^2+1 \\
 \sqrt{1-s^2} = c \\
 \sqrt{t^2+1} = z \\
 \sqrt{z^2-1} = t \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 \frac{ds}{dθ} = c \\
 \frac{dc}{dθ} = -s \\
 \frac{dt}{dθ} = z^2 \\
 \frac{dz}{dθ} = zt \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 E = c+is \\
 c = \frac{E+E¹}{2} \\
 s = \frac{E-E¹}{2i} \\
 e^{ikθ} + e^{-ikθ} = 2 \cos kθ \\
 e^{ikθ} - e^{-ikθ} = 2i \sen kθ \\
 \end{array}
$

% Baseada em:
% (find-angg "LATEX/2018-2-C2-P1fake.tex")



\newpage

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - Turma pequena - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P1.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



1) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {(\sen x)^4}.$$

\bsk

2) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{1}{\sqrt{4+9x^2}}}.$$

\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{x^3}{x^2 + 4x - 12}}.$$

\bsk

4) \T(Total: 2.0 pts) Calcule $$\intx {\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}.$$

\bsk

5) \T(Total: 2.0 pts) Calcule por integração por partes $$\intx {e^{4ix}\cos(4x)}$$.

\bsk
\bsk

Algumas definições, fórmulas e substituições:

$\begin{array}[t]{l}
 c = \cos θ \\
 s = \sen θ \\
 t = \tan θ \\
 z = \sec θ \\
 E = e^{iθ} \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 c^2+s^2=1 \\
 z^2=t^2+1 \\
 \sqrt{1-s^2} = c \\
 \sqrt{t^2+1} = z \\
 \sqrt{z^2-1} = t \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 \frac{ds}{dθ} = c \\
 \frac{dc}{dθ} = -s \\
 \frac{dt}{dθ} = z^2 \\
 \frac{dz}{dθ} = zt \\
 \end{array}
 %
 \begin{array}[t]{l}
 E = c+is \\
 c = \frac{E+E¹}{2} \\
 s = \frac{E-E¹}{2i} \\
 e^{ikθ} + e^{-ikθ} = 2 \cos kθ \\
 e^{ikθ} - e^{-ikθ} = 2i \sen kθ \\
 \end{array}
$

% Baseada em:
% (find-angg "LATEX/2018-2-C2-P1fake.tex")



\newpage

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - Turma grande - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P2.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
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\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar




1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $e^{2y} \, dy = x^3
\, dx$.

a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(*)$ por variáveis separáveis.

b) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.

c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que passe pelo ponto $(4,5)$.


\bsk
\bsk


% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C2-P2.pdf")
% (find-fline    "~/LATEX/2019-1-C2-P2.tex")
% (find-es "sympy" "linear-order2-real")

2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''-8f'-20f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=2$, $f'(0)=3$.

\bsk
\bsk

% (find-es "sympy" "linear-order2-complex")

3) \T(Total: 1.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.

c) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.

\ssk

Dica: $\ov{(42+99i)} = 42-99i$.

\bsk
\bsk



% 4) \T(Total: 1.0 pts) Diga qual é a EDO exata $Mdx + Ndy = 0$ cujas
% soluções são as curvas de nível da função $F(x,y) = (x+2)^3(y^4+5)$.
% 
% \bsk
% \bsk


4) \T(Total: 3.5 pts) Seja $(***)$ esta EDO: $2xy^3\,dx + 3x^2y^2\,dy
= 0$, e seja $(****)$ esta daqui: $2x^2y^3\,dx + 3x^3y^2\,dy = 0$.

a) \B(0.5 pts) Mostre que $(***)$ é exata.

b) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$.

c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral da $(***)$.

d) \B(0.5 pts) Mostre que a solução geral da EDO $(***)$ também é
solução da $(****)$.

e) \B(0.5 pts) Mostre que $(****)$ não é exata.

f) \B(0.5 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(x) = (M_y -
N_x) / N$, $\mu(x) = e^{\intx{p(x)}}$ transforma $(****)$ em $(***)$.

% g) \B(1.0 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(y) = (N_x
% - M_y) / M$, $\mu(y) = e^{\inty{p(y)}}$ transforma $(****)$ em uma
% EDO diferente da $(***)$ mas que também é exata.


\bsk
\bsk


5) \T(Total: 1.0 pts) Sejam $A=(1,4)$, $B=(3,3)$, $C=(5,3)$, e seja
$T$ o triângulo com vértices $A$, $B$, $C$. Calcule a área de $T$
entre $x=2$ e $x=4$.


\newpage

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - Turma pequena - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P2.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar




1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $e^{2y} \, dy = x^3
\, dx$.

a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(*)$ por variáveis separáveis.

b) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.

c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que passe pelo ponto $(4,5)$.


\bsk
\bsk


% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C2-P2.pdf")
% (find-fline    "~/LATEX/2019-1-C2-P2.tex")
% (find-es "sympy" "linear-order2-real")

2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''-8f'-20f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.

c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=2$, $f'(0)=3$.

\bsk
\bsk

% (find-es "sympy" "linear-order2-complex")

3) \T(Total: 1.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.

a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.

b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.

c) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.

\ssk

Dica: $\ov{(42+99i)} = 42-99i$.

\bsk
\bsk



% 4) \T(Total: 1.0 pts) Diga qual é a EDO exata $Mdx + Ndy = 0$ cujas
% soluções são as curvas de nível da função $F(x,y) = (x+2)^3(y^4+5)$.
% 
% \bsk
% \bsk


4) \T(Total: 3.5 pts) Seja $(***)$ esta EDO: $2xy^3\,dx + 3x^2y^2\,dy
= 0$, e seja $(****)$ esta daqui: $2x^2y^3\,dx + 3x^3y^2\,dy = 0$.

a) \B(0.5 pts) Mostre que $(***)$ é exata.

b) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$.

c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral da $(***)$.

d) \B(0.5 pts) Mostre que a solução geral da EDO $(***)$ também é
solução da $(****)$.

e) \B(0.5 pts) Mostre que $(****)$ não é exata.

f) \B(0.5 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(x) = (M_y -
N_x) / N$, $\mu(x) = e^{\intx{p(x)}}$ transforma $(****)$ em $(***)$.

% g) \B(1.0 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(y) = (N_x
% - M_y) / M$, $\mu(y) = e^{\inty{p(y)}}$ transforma $(****)$ em uma
% EDO diferente da $(***)$ mas que também é exata.


\bsk
\bsk


5) \T(Total: 1.0 pts) Sejam $A=(1,4)$, $B=(3,3)$, $C=(5,3)$, e seja
$T$ o triângulo com vértices $A$, $B$, $C$. Calcule a área de $T$
entre $x=2$ e $x=4$.





\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "NONE"
% End: