% (find-LATEX "2019-2-C2-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C2-material.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C2-material.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C2-material.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C2-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C2-material"))
% (setq revert-without-query '("pdf$"))
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C2-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C2-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C2-material.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C2-material.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C2-material.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C2-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C2-material.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")

% Semestre anterior: (c2m191)
% «.subst-intro»		(to "subst-intro")
% «.subst-defs»			(to "subst-defs")
% «.subst-defs-formulas»	(to "subst-defs-formulas")
% «.subst-exercicios»		(to "subst-exercicios")
% «.retangulos»			(to "retangulos")
% «.retangulos-exercicios»	(to "retangulos-exercicios")
% «.area-de-poligono»		(to "area-de-poligono")
% «.area-sob-circulo»		(to "area-sob-circulo")
% «.miniteste-poli»		(to "miniteste-poli")
% «.miniteste-poli-2»		(to "miniteste-poli-2")
% «.areas-entre-curvas»		(to "areas-entre-curvas")
% «.E=c+is»			(to "E=c+is")
% «.cronograma»			(to "cronograma")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{multicol}   % (find-es "tex" "multicol")
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-angg ".emacs.papers" "latexgeom")
% (find-LATEXfile "2016-2-GA-VR.tex" "{geometry}")
% (find-latexgeomtext "total={6.5in,8.75in},")
\usepackage[%paperwidth=11.5cm, paperheight=9cm,
            %total={6.5in,4in},
            %textwidth=4in,  paperwidth=4.5in,
            %textheight=5in, paperheight=4.5in,
            a4paper,
            top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu



%  ____        _         _        _       _             
% / ___| _   _| |__  ___| |_ _   (_)_ __ | |_ _ __ ___  
% \___ \| | | | '_ \/ __| __(_)  | | '_ \| __| '__/ _ \ 
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_ _   | | | | | |_| | | (_) |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__(_)  |_|_| |_|\__|_|  \___/ 
%                                                       
% «subst-intro»  (to ".subst-intro")
% (c2m192p 1 "subst-intro")
% (c2m192    "subst-intro")

{\setlength{\parindent}{0pt}

{\bf Exercícios de substituição}

{Versão preliminar -- data no rodapé}

{Isto aqui {\sl complementa} o início da seção 6.1 do APEX Calculus!}

}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus-C2")


\msk

Você já deve der reparado que nas aulas quando alguém tem uma dúvida é
comum eu apontar pra um determinado sinal de igual e dizer pra pessoa
que perguntou: ``você concorda com esse igual''? E eu costumo repetir
muitas vezes, principalmente logo antes das provas, ``eu só vou
corrigir os sinais de igual''...

Os `$=$' são usados de várias formas em matemática. A gente tem
situações em que o `$=$' é sempre verdadeiro, como $(a+b)(a-b) = a^2 +
b^2$; situações em que queremos fazer com que um `$=$' seja verdade,
por exemplo $x+2 = 7$; e algumas situações nas quais o `$=$' nunca é
verdade... essas situações são distinguidas pelo texto em português em
torno delas.

Neste curso vocês vão ter que deduzir várias fórmulas, e vai ser bem
mais fácil discutir quais das fórmulas de vocês estão certas e porquê
se a gente puder ``discutir os sinais de `$=$'\,''. Pra isso nós vamos
usar uma notação para substituição que aparece em textos sobre
lambda-cálculo\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda\_calculus}},
mas que quase ninguém aqui do PURO conhece ou usa. Obs: NÃO USE ESSA
NOTAÇÃO EM OUTROS CURSOS!!! Se vocês usarem vai acontecer o seguinte:
1) as outras pessoas não vão entender 2) vocês vão se ferrar (porque
os professores querem que vocês escrevam de um jeito que todo mundo
entenda) 3) eu vou rir da cara de vocês.

Nós normalmente escrevemos substituições meio em português e meio em
matematiquês, como em:

\begin{quote}
Se substituirmos $a$ por 6 e $b$ por 10 em
$$\Intx{a}{b}{x}
  % = \Difx{a}{b}{\frac{x^2}{2}}
  = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}
$$
obtemos:
$$\Intx{6}{10}{x}
  % = \Difx{6}{10}{\frac{x^2}{2}}
  = \frac{10^2}{2} - \frac{6^2}{2}
$$
\end{quote}

A notação de substituição vai nos permitir escrever isto como:

$$\left(\Intx{a}{b}{x}
  = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2}
  \right) \bmat{a:=6 \\ b:=10}
  \;\;=\;\;
  \left(\Intx{6}{10}{x}
  = \frac{10^2}{2} - \frac{6^2}{2}
  \right)
$$

Nós também vamos usar essa notação para renomear variáveis e
para substituir funções:

$$\left(\Intx{a}{b}{x^2}
  \right) \bmat{x:=t}
  \;\;=\;\;
  \left(\Intt{a}{b}{t^2}
  \right)
$$

$$\left(\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\right)
  \bmat{f(u) := \sen u \\ g(x) := x^2}
  \;\;=\;\;
  \left(\frac{d}{dx} \sen(x^2) = \sen'(x^2) · 2x\right)
$$

\bsk

Note que o separador em cada linha do `$[\;\;]$' é um `$:=$', não um
`$=$'! Quando sabemos que $\aa=\bb$ sabemos que a partir daí podemos
trocar qualquer $\aa$ nas nossas expressões por $\bb$ e vice-versa,
mas o operador de substituição faz algo totalmente diferente disso:
algo como $(x-y/z) \subst{x:=y \\ y:=z \\ z:= x}$ diz que devemos
percorrer a expressão original, $(x-y/z)$, da esquerda pra direita,
substituindo cada $x$, $y$ e $z$ nela {\sl exatamente uma vez} --- e
o resultado é:
%
$$(x-y/z) \subst{x:=y \\ y:=z \\ z:= x} \;\; = \;\; y-z/x$$

\newpage

%  ____        _         _            _       __     
% / ___| _   _| |__  ___| |_ _     __| | ___ / _|___ 
% \___ \| | | | '_ \/ __| __(_)   / _` |/ _ \ |_/ __|
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_ _   | (_| |  __/  _\__ \
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__(_)   \__,_|\___|_| |___/
%                                                    
% «subst-defs»  (to ".subst-defs")

\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}
\def\Subst#1{\left[\mat{#1}\right]}
\def\ddx{\frac{d}{dx}}

\def\pfo#1{\ensuremath{(\mathsf{#1})}}
\def\D#1{\displaystyle #1}

% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}

\def\iequationbox#1#2{
    \left(
    \begin{array}{rcl}
    \D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
    \end{array}
    \right)
  }
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
    \def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
    \def\ph{\phantom}
    \left(
    \begin{array}{rcl}
    \D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
    {\veq#3} \\
    \D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
    \end{array}
    \right)
  }}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
    \def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
    \def\ph{\phantom}
    \left(
    \begin{array}{rcl}
    \multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
    \D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
    {\veq#3} \\
    \D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
    \end{array}
    \right)
  }}


% «subst-defs-formulas»  (to ".subst-defs-formulas")
% (c2m192p 2 "subst-defs-formulas")
% (c2m192    "subst-defs-formulas")

% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.

\def\TFCtwo{
  \iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
                {\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
  \iequationbox {\intx{F'(x)}}
                {F(x)}
}

\def\Sone{
  \isubstbox
    {\Difmx{a}{b}{f(g(x))}}  {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
    {\ph{mmm}}
    {\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
  \isubstbox
    {f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
    {\ph{m}}
    {f(u)}    {\intu{f'(u)}}
}

%\def\Stwo{
%  \isubstbox
%    {\Difmx{a}{b}{F(g(x))}}   {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
%    {\ph{mmm}}
%    {\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}}  {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
%}
%\def\StwoI{
%  \isubstbox
%    {F(g(x))}  {\intx{f(g(x))g'(x)}}
%    {\ph{m}}
%    {F(u)}     {\intu{f(u)}}
%}
\def\Stwo{
  \isubstboxT
    {\Difmx{a}{b}{F(g(x))}}   {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
    {\ph{mmm}}
    {\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}}  {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
    {Se $F'(x)=f(x)$ então:}
}
\def\StwoI{
  \isubstboxT
    {F(g(x))}  {\intx{f(g(x))g'(x)}}
    {\ph{m}}
    {F(u)}     {\intu{f(u)}}
    {Se $F'(x)=f(x)$ então:}
}


\def\Sthree{
  \iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
                {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
  \iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
                {\intu{f(u)}}
  [u=g(x)]
}





%  ___       _               _         _   
% |_ _|_ __ | |_   ___ _   _| |__  ___| |_ 
%  | || '_ \| __| / __| | | | '_ \/ __| __|
%  | || | | | |_  \__ \ |_| | |_) \__ \ |_ 
% |___|_| |_|\__| |___/\__,_|_.__/|___/\__|
%                                          
% «subst-exercicios»  (to ".subst-exercicios")
% (c2m192p 2 "subst-exercicios")
% (c2m192    "subst-exercicios")
% Old: (c2m191p 1 "int-subst")
%      (c2m191    "int-subst")

{\bf Integração por substituição}

\pfo{S1}, \pfo{S2}, \pfo{S3}: substituição na integral definida (mais
concreta),

\pfo{S1I}, \pfo{S2I}, \pfo{S3I}: substituição na integral indefinida
(mais abstrata).

Os livros costumam começar pela fórmula $\pfo{SI3}$, que é a mais
abstrata de todas...

Nós vamos seguir um caminho bem diferente, e vamos tratar as fórmulas

\pfo{TFC2I}, \pfo{S1I}, \pfo{S2I}, \pfo{S3I} como {\sl abreviações} para as fórmulas

\pfo{TFC2}, \pfo{S1}, \pfo{S2}, \pfo{S3}.



$$\begin{array}[t]{rcl}
  \text{Fórmulas}:        \\[5pt]
  \pfo{TFC2} &=& \TFCtwo  \\ \\
    \pfo{S1} &=& \Sone    \\ \\
    \pfo{S2} &=& \Stwo    \\ \\
    \pfo{S3} &=& \Sthree  \\ \\
 \pfo{TFC2I} &=& \TFCtwoI \\ \\
   \pfo{S1I} &=& \SoneI   \\ \\
   \pfo{S2I} &=& \StwoI   \\ \\
   \pfo{S3I} &=& \SthreeI
  \end{array}
  %
  \quad
  %
  \begin{tabular}[t]{l}
    Exercícios: \\[5pt]
    a) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=-\cos x \\ a:=0 \\ b:=π}$      \\
    b) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=\cos x}$                       \\
    c) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=\cos x} \subst{a:=0 \\ b:=π}$  \\
    d) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=\cos x} \subst{a:=π \\ b:=2π}$ \\
    e) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=\frac12 x^2 \\ a:=0 \\ b:=4 }$ \\
    f) $\pfo{TFC2} \subst{F(x):=\frac13 x^3 \\ a:=0 \\ b:=2 }$ \\
    g) $f(g(x)) \subst{f(u):=\sen u \\ g(x) := 4x} $\\
    h) $(f'(g(x))g'(x)) \subst{f(u):=\sen u \\ g(x) := 4x} $\\
    %
    % (find-angg ".emacs" "c2q182")
    % (c2q182  6 "20180822" "TFC2; substituição")
    i) $\pfo{S1} \subst{
                    f(u) := \sen u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    j) $\pfo{S2} \subst{
                    F(u) := \sen u \\
                    f(u) := \cos u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    k) $\pfo{S2} \subst{
                    f(u) := \cos u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    l) $\pfo{S2} \subst{
                    f(u) := \sqrt{u} \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    m) $\pfo{S3} \subst{
                    f(u) := \sqrt{u} \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    \\
    i') $\pfo{S1I} \subst{
                    f(u) := \sen u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    i'') $\pfo{S1I} \subst{
                    f(u) := \sen u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    % a := 1 \\
                    % b := 2 \\
                 }$
    \\
    k') $\pfo{S2I} \subst{
                    f(u) := \cos u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    a := 1 \\
                    b := 2 \\
                 }$
    \\
    k'') $\pfo{S2I} \subst{
                    f(u) := \cos u \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                    % a := 1 \\
                    % b := 2 \\
                 }$
    \\
    m') $\pfo{S3I} \subst{
                    f(u) := \sqrt{u} \\
                    g(x) := 3x+4 \\
                 }$
    \\
    % (find-angg ".emacs" "c2q182")
  \end{tabular}
$$





\newpage

%  ____      _                          _           
% |  _ \ ___| |_ __ _ _ __   __ _ _   _| | ___  ___ 
% | |_) / _ \ __/ _` | '_ \ / _` | | | | |/ _ \/ __|
% |  _ <  __/ || (_| | | | | (_| | |_| | | (_) \__ \
% |_| \_\___|\__\__,_|_| |_|\__, |\__,_|_|\___/|___/
%                           |___/                   
%
% «retangulos»  (to ".retangulos")
% (c2m192p 3 "retangulos")
% (c2m192    "retangulos")
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% (c2q192 13 "20190823 gde aula 3: partições, [L], [R], [min], [max], [M], [Trap]")
% (c2q192 14 "20190823 peq aula 3: partições, [L], [R], [min], [max], [M], [Trap]")
% (c2q192 15 "20190828 peq aula 4: [inf] e [sup], funções integráveis, intro TFC1")
% (c2q192 20 "20190829 gde aula 4: [inf] e [sup], funções integráveis, intro TFC1")
% https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu

{\setlength{\parindent}{0pt}

{\bf Exercícios sobre aproximações por retângulos}

Um dos mini-testes vai ser sobre exercícios desta folha.

{Versão preliminar -- data no rodapé}

}

\bsk



Lembre que nas primeiras aulas do curso definimos:

\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}

$$\begin{array}{ccl}
  \mname{L}    &=& \sumiN {f(a_i)} \\
  \mname{R}    &=& \sumiN {f(b_i)} \\
  \mname{min}  &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))} \\
  \mname{max}  &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))} \\
  \mname{M}    &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})} \\
  \mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\
  [5pt]
  \mname{inf}  &=& \sumiN {\inf (\setofst{f(x)}{x∈[a_i,b_i]}) } \\
  \mname{sup}  &=& \sumiN {\sup (\setofst{f(x)}{x∈[a_i,b_i]}) } \\
  [5pt]
  \overline \int_P f(x) \, dx &=& \sumiN {\sup (\setofst{f(x)}{x∈[a_i,b_i]}) } \\
  \underline\int_P f(x) \, dx &=& \sumiN {\inf (\setofst{f(x)}{x∈[a_i,b_i]}) } \\
\end{array}
$$

As definições {\sl formais} do sup e do inf são complicadíssimas e
foram mostradas como curiosidade --- mas a interpretação gráfica delas
é simples: $\mname{sup}$ dá a ``melhor aproximação por retângulos por
cima'' e $\mname{inf}$ dá a ``melhor aproximação por retângulos por
baixo''.


% «retangulos-exercicios»  (to ".retangulos-exercicios")
% (c2m192p 3 "retangulos-exercicios")
% (c2m192    "retangulos-exercicios")

% (find-es "tex" "cases")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "C2")
\def\ointx#1#2{\overline ∫_{#1} #2\,dx}
\def\uintx#1#2{\underline∫_{#1} #2\,dx}

\msk

{\bf Exercícios:}

\msk

1) Seja
%
$f(x) =
 \begin{cases}
  x+2 & \text{quando $x≤2$}, \\
  6-x & \text{quando $2<x$}. \\
 \end{cases}
$

Represente graficamente e calcule $\ointx{P}{f(x)}$ e
$\uintx{P}{f(x)}$ no caso $P = \{0,1,4,5\}$.

\bsk

2) Seja
%
$f(x) = 
 \begin{cases}
   1/x & \text{quando $x\neq0$}, \\
   0 & \text{quando $x=0$}. \\
 \end{cases}
$

a) Qual é a diferença entre as funções $h(x)$ e $1/x$?

b) Represente graficamente e calcule $\ointx{P}{h(x)}$ e
$\uintx{P}{f(x)}$ no caso $P = \{-1, -0.5, 0.5, 1\}$

c) ...e no caso $P = \{-1, -0.5, -0.1, 0, 0.1, 0.5, 1\}$.

\bsk

3) Seja
%
$f(x) =
\begin{cases}
  4 & \text{quando $x≤2$}, \\
  2 & \text{quando $2<x$}. \\
 \end{cases}
$

a) Represente graficamente e calcule $\ointx{P}{f(x)} -
\uintx{P}{f(x)}$ no caso

$P = \{1, 1.9, 2, 2.1, 4\}$.


\bsk

4) Seja
%
$f(x) =
\begin{cases}
  1/x^2 & \text{quando $x\neq0$}, \\
  0 & \text{quando $x=0$}. \\
 \end{cases}
$

a) Represente graficamente $\Intx{-1}{1}{f(x)}$.

b) Represente graficamente e calcule $\ointx{P}{f(x)} -
\uintx{P}{f(x)}$ no caso

$P = \{-1, -0.5, -0.1, 0.1, 0.5, 1\}$.


% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% (find-angg ".emacs" "c2q192" "racionais")


\newpage


%  ____       _ _                             
% |  _ \ ___ | (_) __ _  ___  _ __   ___  ___ 
% | |_) / _ \| | |/ _` |/ _ \| '_ \ / _ \/ __|
% |  __/ (_) | | | (_| | (_) | | | | (_) \__ \
% |_|   \___/|_|_|\__, |\___/|_| |_|\___/|___/
%                 |___/                       
%
% «area-de-poligono»  (to ".area-de-poligono")
% (c2m192p 4 "area-de-poligono")
% (c2m192    "area-de-poligono")

{\bf Exercícios sobre funções definidas por casos}

Seja $Q$ o quadrilátero com os seguintes vértices: $A=(1,4)$,
$B=(3,4)$, $C=(5,2)$, $D=(2,2)$.

Sejam $f$ a função que dá a borda superior de $Q$ e $g$ a função que
dá a borda inferior de $Q$.

Qual é o domínio da função $f$? E da $g$?

\msk

Dê uma definição formal por casos para $f$.

(Dica 1: cada caso deve ser da forma ``$ax+b$ quando $x$ está no intervalo tal'').

(Dica 2: você pode escrever ``$x$ está no intervalo tal'' como $42≤x≤99$ ou $42≤x<99$).

(Dica 3: são dois casos).

Dê uma definição formal por casos para $g$. Use as dicas 1 e 3.

\msk

Seja $h(x)=f(x)-g(x)$. Dê uma definição formal para $h(x)$.

Use as dicas acima, mas agora são três casos.

\msk

Seja $α(t)$ a função que retorna a área do quadrilátero $Q$ entre
$x=1$ e $x=t$.

Dê uma definição por casos para a função $α(t)$.

Dica: comece escrevendo algo como

$$α(t) =
  \begin{cases}
    \Intx {42}  {t}{h(x)}   & \text{quando $42≤t≤99$}, \\
    %
    \Intx {42} {99}{h(x)} +
    \Intx {99}  {t}{h(x)} & \text{quando $99<t≤123$}, \\
    %
    \Intx {42} {99}{h(x)} +
    \Intx {99}{123}{h(x)} +
    \Intx{123}  {t}{h(x)} & \text{quando $123<t≤200$} \\
  \end{cases}
$$

depois calcule cada uma dessas integrais,

e depois teste a sua $α(t)$ usando vários valores de $t$ para os quais
as áreas são fáceis de calcular

a partir da figura no olhômetro: $t=1$, $t=1.5$, $t=2$, $t=2.5$,
$t=3$, $t=4$, $t=5$.

\bsk

Obs: o mini-teste sobre esta lista de exercícios vai usar outro
polígono.



\newpage


%  ____        _            _                _       
% / ___|  ___ | |__     ___(_)_ __ ___ _   _| | ___  
% \___ \ / _ \| '_ \   / __| | '__/ __| | | | |/ _ \ 
%  ___) | (_) | |_) | | (__| | | | (__| |_| | | (_) |
% |____/ \___/|_.__/   \___|_|_|  \___|\__,_|_|\___/ 
%                                                    
% «area-sob-circulo»  (to ".area-sob-circulo")
% (c2m192p 5 "area-sob-circulo")
% (c2m192    "area-sob-circulo")
% (c2q192 50 "20190918 peq aula 10: substituição trigonométicas")
% (c2q192 54 "20190919 gde aula 10: substituição trigonométicas")
% (c2q192 70 "20190927 peq aula 13: E=c+is e aplicações; áreas entre curvas; sqrt(1-x^2)")

{\bf Áreas sob o círculo unitário}

O segundo quadro da aula de 27/setembro na turma pequena tem uma
revisão do método que estamos usando para resolver coisas que
precisariam de identidades trigonométricas, e depois uma discussão
{\sl muito rápida} da integral:
%
$$\Intx{a}{b} {\sqrt{1-x^2}}$$
%
Essa integral pode ser calculada geometricamente para alguns valores
de $a$ e $b$ usando áreas de ``pedaços de pizza'' e ``triângulos'', e
pode ser calculada algebricamente usando substituição trigonométrica e
{\sl vários} truques extras --- ela é um exemplo interessante e
difícil.

\msk

Revise todos passos que aparecem nessem quadro.

Revise os quadros das aulas de 18 e 19/setembro (substituição trigonométrica).

Compare a nossa abordagem com a seção 6.4 do APEX Calculus.

Aprenda como traçar o gráfico da função $\arcsen s$ (para $s∈[-1,1]$).

Descubra como calcular $\sen 2(\arcsen s)$. Para quais valores de $s$
podemos calcular isto explicitamente?

Se você {\sl realmente} tiver entendido todos eles você vai ser capaz
de resolver cada um dos problemas abaixo só a partir dos enunciados
deles numa folha de papel em branco, sem consultar nada:

a) Converta $(\sen θ)^2$ para algo fácil de integrar.

b) Converta $(\cos 3θ)^4$ para algo fácil de integrar.

c) $\intx {\sqrt{1-x^2}} = ?$


\newpage

%  __  __ _____               _ _ 
% |  \/  |_   _|  _ __   ___ | (_)
% | |\/| | | |   | '_ \ / _ \| | |
% | |  | | | |   | |_) | (_) | | |
% |_|  |_| |_|   | .__/ \___/|_|_|
%                |_|              
%
% «miniteste-poli»  (to ".miniteste-poli")
% (c2m192p 6 "miniteste-poli")
% (c2m192    "miniteste-poli")

% (c2q192 95 "20191106 peq aula 20: f''+af'+bf = 0 complexo, valor inicial, polígono")

{%\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.1
\par Mini-teste 2 - turma pequena - 8/nov/2019 - Eduardo Ochs
% \par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk


\unitlength=10pt


Seja $P$ este polígono:
%
$
 \vcenter{\hbox{%
 \beginpicture(0,0)(6,5)
   \pictgrid%
   \pictpiecewise{(1,2)c--(3,4)c--(5,4)c--(2,1)c--(1,2)c}%
   \pictaxes%
 \end{picture}%
 }}
$

\bsk

Seja $f(x)$ a função que dá a sua borda superior.

Seja $g(x)$ a função que dá a sua borda inferior.

Seja $H(t) = \displaystyle \Intx{1}{t}{f(x)-g(x)}$.

\bsk

Dê uma definição por casos para $H(t)$ que seja fácil de calcular ---

como a da dica na lista de exercícios.


\newpage

%  __  __ _____               _ _   ____  
% |  \/  |_   _|  _ __   ___ | (_) |___ \ 
% | |\/| | | |   | '_ \ / _ \| | |   __) |
% | |  | | | |   | |_) | (_) | | |  / __/ 
% |_|  |_| |_|   | .__/ \___/|_|_| |_____|
%                |_|                      
%
% «miniteste-poli-2»  (to ".miniteste-poli-2")
% (c2m192p 7 "miniteste-poli-2")
% (c2m192    "miniteste-poli-2")


{%\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.1
\par Mini-teste 2 - turma grande - 14/nov/2019 - Eduardo Ochs
% \par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk


\unitlength=10pt

% Mudar o polígono:

Seja $P$ este polígono:
%
$
 \vcenter{\hbox{%
 \beginpicture(0,0)(6,5)
   \pictgrid%
   \pictpiecewise{(1,3)c--(3,1)c--(5,1)c--(2,4)c--(1,3)c}%
   \pictaxes%
 \end{picture}%
 }}
$

\bsk

Seja $f(x)$ a função que dá a sua borda superior.

Seja $g(x)$ a função que dá a sua borda inferior.

Seja $H(t) = \displaystyle \Intx{1}{t}{f(x)-g(x)}$.

\bsk

Dê uma definição por casos para $H(t)$ que seja fácil de calcular ---

como a da dica na lista de exercícios.


\newpage



\end{document}


\newpage

%  _____                _     
% | ____|____  ___  _  (_)___ 
% |  _||_____|/ __|| |_| / __|
% | |__|_____| (_|_   _| \__ \
% |_____|     \___||_| |_|___/
%                             
% «E=c+is»  (to ".E=c+is")
% (c2m192p 99 "E=c+is")
% (c2m192     "E=c+is")

% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2018-2-C2-P1.pdf" 2)
% (find-LATEXfile "2018-2-C2-P1.tex" "E = c+is")
% (find-LATEX     "2018-2-C2-P1.tex" "gab-1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2018-2-C2-P1.pdf" 2)
% (c2q192 58 "20190920 gde aula 11: introdução a série de Taylor")
% (c2q192 60 "20190920 peq aula 11: introdução a série de Taylor; mini-teste 1")
% (c2q192 63 "20190925 peq aula 12: E=c+is e aplicações")
% (c2q192 65 "20190926 gde aula 12: E=c+is e aplicações; mini-teste 1")
% (c2q192 68 "20190927 gde aula 13: E=c+is e aplicações; áreas entre curvas (<- não)")
% (c2q192 69 "20190927 peq aula 13: E=c+is e aplicações; áreas entre curvas")
% (c2q192 70 "20190927 peq aula 13: E=c+is e aplicações; áreas entre curvas; sqrt(1-x^2)")
% (find-apexcalculuspage (+ 924 44) "Common trigonometric identities")









\end{document}

%     _                       
%    / \   _ __ ___  __ _ ___ 
%   / _ \ | '__/ _ \/ _` / __|
%  / ___ \| | |  __/ (_| \__ \
% /_/   \_\_|  \___|\__,_|___/
%                             
% «areas-entre-curvas»  (to ".areas-entre-curvas")
% (c2m192p 4 "areas-entre-curvas")
% (c2m192    "areas-entre-curvas")

{\bf Exercícios de áreas entre curvas}

% Figura com linhas horizontais, a 45o e verticais
% descubra a equacao de cada segmento de reta (trate-o como uma reta)
% escreva-a do lado de cada segmento como na figura da pagina tal
% de um nome para cada uma das funcoes (dos segmentos)
% seja f a curva de cima. defina (por casos) a funcao da curva de cima
% seja g a curva de baixo defina (por casos) a funcao da curva de baixo
% seja F a area sob f. defina F por casos de dois jeitos: usando f_1, ..., f_n e numericamnte
% seja G a area sob g. defina F por casos de dois jeitos
% 
% Buraco e slope 45 so' no item 2







% «cronograma»  (to ".cronograma")
% Notas sobre o cronograma
% (find-es "puro" "ementa-e-programa-C2")
% (find-TH "2019.2-C2" "programa")
% (find-pdf-page "/sda1/home/edrx/2019.1-C2/reginaldo/cronograma-curso-1-2019.pdf")
%\begin{multicols}{2}               % (find-es "tex" "multicol")
%\end{multicols}






\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m192"
% End:
