% (find-LATEX "2019-2-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C3-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXSH "lualatex 2019-2-C3-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C3-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C3-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2019-2-C3-P1.pdf"))
%          (code-eec-LATEX "2019-2-C3-P1")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C3-P1.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C3-P1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C3-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-lualatex-links "2019-2-C3-P1" "{tla}")

% «.gabarito»	(to "gabarito")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb}                 % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar






{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par P1 - 18/outubro/2019 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Diagramas muito ambíguos serão interpretados errado.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

1) \T(Total: 7.0 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x,y) &=& xy, \\
       A &=& \setofxyst{0≤xy≤1}, \\
  G(x,y) &=& (\cos x)(\cos y). \\
  \end{array}
$$


a) \B(0.5 pts) Represente graficamente as curvas de nível da função
$F$ para $z=0$, $z=1$, $z=2$ e $z=-1$. Obs: quando você for
representar várias curvas de nível num desenho só sempre deixe claro
qual é cada uma!

b) \B(0.5 pts) Faça o diagrama de numerozinhos para a função $G$.
Dica: os pontos em que as contas são fáceis são os em que tanto $x$
quanto $y$ são múltiplos de $π/2$.


c) \B(1.5 pts) Represente graficamente as curvas de nível da função
$G$ para $z=0$, $z=1$, $z=-1$.

d) \B(2.5 pts) Represente graficamente a curva de nível da função $G$
para $z=\frac12$. Dica: represente como você acha que ela deve ser.


e) \B(0.5 pts) Encontre máximos globais da função $G$ em $\R^2$.

f) \B(0.5 pts) Encontre mínimos globais da função $G$ em $\R^2$.

g) \B(0.5 pts) Represente graficamente o conjunto $A$.

h) \B(0.5 pts) Dá pra usar o Teorema de Weierstrass pra garantir que a
função $G$ tem máximos globais e mínimos globais no conjunto $A$?


\bsk

2) \T(Total: 1.5 pts) Seja $f(t) = (\cos t, t + \sen t)$. Encontre uma
função $g(t)$ que seja uma aproximação de segunda ordem para $f(t)$ em
$t_0=π$.


\bsk

3) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $F(x,y) = x^2 y^3$ e $(x_0,y_0) = (10,2)$.
Dê a equação do plano tangente à superfície $S =
\setofxyzst{z=F(x,y)}$ no ponto $(x_0,y_0)$. Dica: comece calculando o
gradiente.


\newpage

% «gabarito»  (to ".gabarito")

Mini-gabarito

(Incompleto e não revisado --- pode ter erros de conta!!!):

\msk

1a) (na outra folha)

1b) (na outra folha)

1c) (na outra folha)

1d) (na outra folha)

1e) ...por exemplo os pontos $(0,0)$, $(2π,0)$, $(π,π)$ (em que $z=1$)

1f) ...por exemplo os pontos $(π,0)$, $(3π,0)$, $(0,π)$ (em que $z=-1$)

1g) $A$ é a região fechada entre os eixos e $\setofxyst{xy=1}$.

1h) Não porque o conjunto $A$ não é compacto (porque não é limitado).

\bsk


2) $\begin{array}[t]{rcl}
    f(t)      &=& (\cos t, t+\sen t), \\
    f'(t)     &=& \VEC{-\sen t, 1+\cos t}, \\
    f''(t)    &=& \VEC{-\cos t, -\sen t}, \\
    f(t_0+Δx) &=& f(t_0) + f'(t_0)Δx + \frac{f''(t_0)}{2} (Δx)^2 \\
              &=& f(π) + f'(π)Δx + \frac{f''(t_0)}{2} (Δx)^2 \\
              &=& (-1,π+0) + \VEC{-0,1+(-1)}Δx + \frac{\VEC{-1,-0}}{2} (Δx)^2 \\
              &=& (-1,π)                       + \frac{\VEC{-1,-0}}{2} (Δx)^2 \\[3pt]
              &=& (-1 -\frac12(Δx)^2, π) \\
    \end{array}
   $

\bsk

3) $\begin{array}[t]{rclrcl}
    (x_0,y_0) &=& (10,2) \\
    F(x,y)   &=& x^2 y^3    & F(x_0,y_0) &=& 800 \\
    F_x(x,y) &=&  2x y^3    & F_x(x_0,y_0) &=& 160 \\
    F_y(x,y) &=& 3x^2 y^2   & F_y(x_0,y_0) &=& 1200 \\
             & &            & ∇F(x_0,y_0) &=& \VEC{160,1200} \\
    \end{array}
   $

Seja $G(x,y)$ a equação de plano tangente à superfície $z=F(x,y)$

em $(x,y)=(x_0,y_0)$.

Então $\begin{array}[t]{rcl}
       G(x,y) &=& F(x_0,y_0) + ∇F(x_0,y_0) · \VEC{x-x_0, y-y_0} \\
              &=& 800 + \VEC{160,1200} · \VEC{x-x_0, y-y_0} \\
              &=& 800 + 160(x-x_0) + 1200(y-y_0) \\
              &=& 800 + 160(x-10) + 1200(y-2) \\
    \end{array}
   $



\bsk
\bsk

Obs: o meu critério para pontuar questões parcialmente certas é {\sl
bem} subjetivo! Eu perdôo erros de conta se eu achar que se eles são
pequenos, e eu considero que um erro de conta é ``pequeno'' se eu
identifico ele rápido lendo o desenvolvimento da questão e {\sl acho}
que o aluno também poderia localizá-lo e consertá-lo rapidamente se
revisasse a questão... eu acabo perdoando erros de conta muito mais
facilmente se acho que o desenvolvimento da questão está razoavelmente
bem escrito, e também se pouca gente acertou aquela questão.



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3p1"
% End:
