% (find-LATEX "2019-2-C3-VR.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C3-VR.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXSH "lualatex 2019-2-C3-VR.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C3-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C3-VR"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2019-2-C3-VR.pdf"))
%          (code-eec-LATEX "2019-2-C3-VR")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C3-VR.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C3-VR.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C3-VR.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-lualatex-links "2019-2-C3-VR" "{tla}")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb}                 % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[paper=a4paper,
            top=4cm, bottom=3cm, left=4cm, right=4cm,
            includefoot
           ]{geometry}
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu


{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P1.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar



1) \T(Total: 6.0 pts) Na P1 nós vimos como encontrar uma representação
gráfica aproximada para as curvas de nível da função
$G_{\text{P1}}(x,y) = (\cos x)(\cos y)$ na mão, sem usar calculadora.
Agora vamos fazer o mesmo para a função $G(x,y) = G_{\text{VR}}(x,y) =
(\sen x) + (\sen y)$, mas usando alguns truques diferentes.

Seja $α = π/6 = 180°/6 = 30°$. Senos e cossenos de múltiplos de $α$
--- isto é, de números da forma $kα$, onde $k∈\Z$ --- são fáceis de
calcular, e para muitos valores de $k$ o resultado vai ser um número
racional:
%
$$\begin{array}{llllll}
  k &  kα  &  \cos kα                  & \sen kα                 \\\hline
  0 &   0° &  \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1    & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  1 &  30° &  \sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
    &  45° &  \sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  2 &  60° &  \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2  & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
  3 &  90° &  \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0    & \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1   \\
  4 & 120° & -\sqrt{1}/\sqrt{4} = -1/2 & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
    & 135° & -\sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  5 & 150° & -\sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
  6 & 180° & -\sqrt{4}/\sqrt{4} = -1   & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  \end{array}
$$

a) \B(1.5 pts) Faça um diagrama de numerozinhos para a função
$G(x,y)$. Dica: use só pontos $x,y∈\fracπ6\Z$, e ignore os pontos em
que o resultado dá algo complicado... por exemplo,
$G(\fracπ6,2\fracπ6) = \frac{\sqrt3}2 + \frac12$, então
$(\fracπ6,2\fracπ6)$ é um ponto complicado. {\sl O seu diagrama tem
  que ter pelo menos 20 pontos ``simples''.}

a) \B(2.0 pts) Represente graficamente $∇G(x,y)$ em pelo menos 20
pontos ``simples''. Obs: os pontos em que $∇G(x,y)$ tem ambas as
componentes racionais são diferentes dos pontos em que $∇G(x,y)$ é
racional! {\sl O seu diagrama tem que ter pelo menos 20 vetores.}

c) \B(2.5 pts) Use o que você descobriu nos itens anteriores pra
esboçar as curvas de nível de $z=G(x,y)$ para $z=2$, $z=-2$, $z=0$,
$z=1$, $z=-1$, $z=\frac12$, $z=-\frac12$.

\bsk





2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $f(t) = (\cos t, 2 \sen t)$.

a) \B(1.0 pts) Escolha pelo menos 5 valores de $t$ em $[0,π]$ em que
as contas são fáceis e represente graficamente $f(t)+f'(t)$. Use isto
para fazer um esboço da trajetória $f(t)$. Não esqueça de indicar o
$t$ associado a cada ponto da trajetória!

b) \B(1.0 pts) Encontre uma função $g(t)$ que seja uma aproximação de
segunda ordem para $f(t)$ em $t_0=π$.


\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $F(x,y) = x^2 \sqrt{y}$ e $(x_0,y_0) =
(10,4)$. Dê a equação do plano tangente à superfície $S =
\setofxyzst{z=F(x,y)}$ no ponto $(x_0,y_0)$. Dica: comece calculando o
gradiente.



\newpage



{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VR - 13/dez/2019
\par Versão para quem perdeu a P2.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.
\par Contas fora do ponto base anulam a questão!

}

\bsk
\bsk



1) \T(Total: 6.0 pts) Sejam
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x,y) &=& x-(y-1)^2, \\
  H(x,y) &=& x^2+4y^2-4, \\
  D      &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{H(x,y)≤0}, \\
  L(x,y) &=& F(x,y) - λH(x,y). \\
  \end{array}
$$

a) \B(1.0 pts) Represente graficamente algumas curvas de nível de $F(x,y)$.

b) \B(1.0 pts) Represente graficamente o conjunto $D$.

c) \B(1.5 pts) Encontre os pontos $(x,y,λ)∈\R^3$ nos quais
$(L_x,L_y,L_λ)=(0,0,0)$. Aliás, tente encontrar estes pontos e mostre
que equação de 4º grau você precisaria resolver pra encontrar os
valores exatos pra eles.

d) \B(2.5 pts) Encontre aproximações olhométricas para os pontos da
fronteira de $D$ em que $∇F$ é múltiplo de $∇H$. Faça as contas com os
pontos que você obteve no olho e verifique que nesses pontos os
gradientes $∇F$ e $∇H$ são quase paralelos.

e) \B(1.0 pts) Algum dos pontos que você obteve no item anterior é
(uma aproximação para) um máximo global de $F$ em $D$? Algum deles é
(uma aproximação para) um mínimo global? Porquê? Explique usando o que
você descobriu nos itens anteriores.






\bsk
\bsk

2) \T(Total: 4.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
    t_0 &=& 5, \\
   g(5) &=& 6, \\
   h(5) &=& 7, \\
  g'(5) &=& 1, \\
  h'(5) &=& m, \\
 g''(t) &=& 0, \quad \text{(para todo $t∈\R$)} \\
 h''(t) &=& 0, \quad \text{(para todo $t∈\R$)} \\
 F(x,y) &=& 9(x-6)^2 + γ(x-6)(y-7) + 4(y-7)^2, \\
      α &=& \frac{d}{dt} \frac{d}{dt} F(g(t_0),h(t_0)). \\
 \end{array}
$$

Será que o ponto $(g(t_0),h(t_0))$ é mínimo local da $F$? Qual é o
comportamento da $F$ em torno deste ponto? Ela é um parabolóide, uma
sela, ou o quê?...

\ssk

a) \B(2.0 pts) Calcule $α$.

b) \B(1.0 pts) Suponha que $γ = 12$. Encontre o único valor de $m$ que faz $α=0$.

c) \B(1.0 pts) Suponha que $γ = 0$. Mostre que não existe $m∈\R$ com $α=0$.

d) \B(0.5 pts) Suponha que $m$ tenha o valor que você encontrou no
item b. Represente graficamente a trajetória $(g(t),h(t))$ e indique
nela os pontos com $t=4$, $t=5$ e $t=6$.


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "NONE"
% End:
