% (find-LATEX "2019-2-C3-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C3-VS.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXSH "lualatex 2019-2-C3-VS.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C3-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C3-VS"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2019-2-C3-VS.pdf"))
%          (code-eec-LATEX "2019-2-C3-VS")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C3-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C3-VS.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C3-VS.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-lualatex-links "2019-2-C3-VS" "{tla}")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb}                 % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[paper=a4paper,
           ]{geometry}
\begin{document}

% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu





%   ___  _     _ 
%  / _ \| | __| |
% | | | | |/ _` |
% | |_| | | (_| |
%  \___/|_|\__,_|
%                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VS - 19/dez/2019
\par Contas fora do ponto base zeram a questão!
\par Desenhos muito ambíguos serão interpretados errado.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar


% {\bf Introdução/dica:}

Seja $α = π/6 = 180°/6 = 30°$. Senos e cossenos de múltiplos de $α$
--- isto é, de números da forma $kα$, onde $k∈\Z$ --- são fáceis de
calcular, e para muitos valores de $k$ o resultado vai ser um número
racional:
%
$$\begin{array}{llllll}
  k &  kα  &  \cos kα                  & \sen kα                 \\\hline
  0 &   0° &  \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1    & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  1 &  30° &  \sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
    &  45° &  \sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  2 &  60° &  \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2  & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
  3 &  90° &  \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0    & \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1   \\
  4 & 120° & -\sqrt{1}/\sqrt{4} = -1/2 & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
    & 135° & -\sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  5 & 150° & -\sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
  6 & 180° & -\sqrt{4}/\sqrt{4} = -1   & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  \end{array}
$$

Em algumas das questões abaixo vou dizer que certos senos e cossenos
são ``muito fáceis'' de calcular quando dão resultados inteiros,
``fáceis'' quando dão resultados racionais, e ``difíceis'' quando dão
resultados irracionais. Por exemplo, $\cos 90°$ é muito fácil; $\cos
60°$ é fácil, mas $\sen 60°$ é difícil.

\bsk
\bsk

1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $P(t) = (g(t),h(t)) = (\cos t, \sen 2t)$.
Faça uma representação gráfica da trajetória $P(t)$ para $t$ entre $0$
e $2π$. Dicas: comece representando $P(t)+P'(t)$ para todos os valores
de $t$ muito fáceis e ``ligue os pontos''; anote ao lado de cada ponto
o $t$ associado a ele; use alguns ângulos só fáceis e alguns difíceis
se você achar que eles podem te ajudar a fazer o desenho; use
$\sqrt2/2 ≈ 0.7$ use $\sqrt3/2 ≈ 0.9$ se quiser. Use uma página
inteira pro seu desenho final --- ele tem que ficar bem claro e
preciso.

\bsk
\bsk



2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $P(t) = (g(t),h(t)) = (\cos t, \sen 2t)$ de novo.

a) \B(0.5 pts) Encontre uma função $Q(t)$ que seja uma aproximação de
2ª ordem para $P(t)$ em $t_0=\fracπ2$.

b) \B(1.0 pts) Verifique que a sua $Q(t)$ obedece $P(t_0) = Q(t_0)$,
$P'(t_0) = Q'(t_0)$, $P''(t_0) = Q''(t_0)$.

c) \B(0.5 pts) Reescreva a sua $Q(t)$ na forma $Q(t) = (at^2 + bt + c,
dt^2 + et + f)$ --- ou seja, sem a notação de ponto base.



\newpage





3) \T(Total: 3.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x,y) &=& x-y, \\
  H(x,y) &=& x^2+4y^2-4, \\
  D      &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{H(x,y)≤0}, \\
  L(x,y) &=& F(x,y) - λH(x,y). \\
  \end{array}
$$

a) \B(1.0 pts) Represente num gráfico só o conjunto $D$ e algumas
curvas de nível da função $F(x,y)$.

b) \B(0.5 pts) Usando o gráfico anterior dê aproximações olhométricas
para os pontos de máximo e mínimo da função $F(x,y)$ em $D$.

c) \B(1.5 pts) Use o multiplicador de Lagrange para obter os pontos
exatos de máximo e mínimo de $F(x,y)$ em $D$.

d) \B(0.5 pts) Verifique que nos pontos que você obteve no item
anterior os gradientes $∇F$ e $∇H$ são paralelos.

\bsk
\bsk


4) \T(Total: 3.5 pts) Um dos problemas da P1 pedia pras pessoas
descobrirem as curvas de nível da função $G(x,y) = (\cos x)(\cos y)$.
Seja $H(x,y) = (\sen x) + (\sen y)$. Neste problema vamos tentar
descobrir algumas curvas de nível da $H(x,y)$ na região $D$, onde
%
$$D = \setofxyst{x∈[0,2π], y∈[0,π]}.$$

a) \B(2.0 pts) Faça um diagrama de numerozinhos para a função $H(x,y)$
na região $D$. Ele deve incluir todos os pontos $(x,y)∈D$ nos quais
tanto $\sen x$ quanto $\sen y$ são muito fáceis e idealmente também
todos os pontos nos quais tanto $\sen x$ quanto $\sen y$ são pelo
menos fáceis (mas não necessariamente muito fáceis). Use uma página
inteira pra versão final desse diagram pra poder fazer ele claro e
detalhado.

b) \B(1.5 pts) Use o diagrama que você obteve no item anterior pra
fazer boas aproximações para as curvas de nível de $H(x,y)=z$ para
$z=1$, $z=\frac12$, $z=0$.



\newpage

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2 - Eduardo Ochs
\par VS - 20/dez/2019
\par Contas fora do ponto base zeram a questão!
\par Desenhos muito ambíguos serão interpretados errado.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar


% {\bf Introdução/dica:}

Seja $α = π/6 = 180°/6 = 30°$. Senos e cossenos de múltiplos de $α$
--- isto é, de números da forma $kα$, onde $k∈\Z$ --- são fáceis de
calcular, e para muitos valores de $k$ o resultado vai ser um número
racional:
%
$$\begin{array}{llllll}
  k &  kα  &  \cos kα                  & \sen kα                 \\\hline
  0 &   0° &  \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1    & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  1 &  30° &  \sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
    &  45° &  \sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  2 &  60° &  \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2  & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
  3 &  90° &  \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0    & \sqrt{4}/\sqrt{4} = 1   \\
  4 & 120° & -\sqrt{1}/\sqrt{4} = -1/2 & \sqrt{3}/\sqrt{4}       \\
    & 135° & -\sqrt{2}/\sqrt{4}        & \sqrt{2}/\sqrt{4}       \\
  5 & 150° & -\sqrt{3}/\sqrt{4}        & \sqrt{1}/\sqrt{4} = 1/2 \\
  6 & 180° & -\sqrt{4}/\sqrt{4} = -1   & \sqrt{0}/\sqrt{4} = 0   \\
  \end{array}
$$

Em algumas das questões abaixo vou dizer que certos senos e cossenos
são ``muito fáceis'' de calcular quando dão resultados inteiros,
``fáceis'' quando dão resultados racionais, e ``difíceis'' quando dão
resultados irracionais. Por exemplo, $\cos 90°$ é muito fácil; $\cos
60°$ é fácil, mas $\sen 60°$ é difícil.

\bsk
\bsk

1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $P(t) = (g(t),h(t)) = (\cos 2t, \sen t)$.
Faça uma representação gráfica da trajetória $P(t)$ para $t$ entre $0$
e $2π$. Dicas: comece representando $P(t)+P'(t)$ para todos os valores
de $t$ muito fáceis e ``ligue os pontos''; anote ao lado de cada ponto
o $t$ associado a ele; use alguns ângulos só fáceis e alguns difíceis
se você achar que eles podem te ajudar a fazer o desenho; use
$\sqrt2/2 ≈ 0.7$ use $\sqrt3/2 ≈ 0.9$ se quiser. Use uma página
inteira pro seu desenho final --- ele tem que ficar bem claro e
preciso.

\bsk
\bsk



2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $P(t) = (g(t),h(t)) = (\cos 2t, \sen t)$ de novo.

a) \B(0.5 pts) Encontre uma função $Q(t)$ que seja uma aproximação de
2ª ordem para $P(t)$ em $t_0=\fracπ2$.

b) \B(1.0 pts) Verifique que a sua $Q(t)$ obedece $P(t_0) = Q(t_0)$,
$P'(t_0) = Q'(t_0)$, $P''(t_0) = Q''(t_0)$.

c) \B(0.5 pts) Reescreva a sua $Q(t)$ na forma $Q(t) = (at^2 + bt + c,
dt^2 + et + f)$ --- ou seja, sem a notação de ponto base.



\newpage





3) \T(Total: 3.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x,y) &=& 3x-y, \\
  H(x,y) &=& x^2+4y^2-4, \\
  D      &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{H(x,y)≤0}, \\
  L(x,y) &=& F(x,y) - λH(x,y). \\
  \end{array}
$$

a) \B(1.0 pts) Represente num gráfico só o conjunto $D$ e algumas
curvas de nível da função $F(x,y)$.

b) \B(0.5 pts) Usando o gráfico anterior dê aproximações olhométricas
para os pontos de máximo e mínimo da função $F(x,y)$ em $D$.

c) \B(1.5 pts) Use o multiplicador de Lagrange para obter os pontos
exatos de máximo e mínimo de $F(x,y)$ em $D$.

d) \B(0.5 pts) Verifique que nos pontos que você obteve no item
anterior os gradientes $∇F$ e $∇H$ são paralelos.

\bsk
\bsk


4) \T(Total: 3.5 pts) Um dos problemas da P1 pedia pras pessoas
descobrirem as curvas de nível da função $G(x,y) = (\cos x)(\cos y)$.
Seja $H(x,y) = (\sen x) + (\sen y)$. Neste problema vamos tentar
descobrir algumas curvas de nível da $H(x,y)$ na região $D$, onde
%
$$D = \setofxyst{x∈[0,2π], y∈[0,π]}.$$

a) \B(2.0 pts) Faça um diagrama de numerozinhos para a função $H(x,y)$
na região $D$. Ele deve incluir todos os pontos $(x,y)∈D$ nos quais
tanto $\sen x$ quanto $\sen y$ são muito fáceis e idealmente também
todos os pontos nos quais tanto $\sen x$ quanto $\sen y$ são pelo
menos fáceis (mas não necessariamente muito fáceis). Use uma página
inteira pra versão final desse diagram pra poder fazer ele claro e
detalhado.

b) \B(1.5 pts) Use o diagrama que você obteve no item anterior pra
fazer boas aproximações para as curvas de nível de $H(x,y)=z$ para
$z=1$, $z=\frac12$, $z=0$.

\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}




% \bsk
% \bsk
% \bsk
% 
% 
% 
% a) \B(1.5 pts) Faça um diagrama de numerozinhos para a função
% $G(x,y)$. Dica: use só pontos $x,y∈\fracπ6\Z$, e ignore os pontos em
% que o resultado dá algo complicado... por exemplo,
% $G(\fracπ6,2\fracπ6) = \frac{\sqrt3}2 + \frac12$, então
% $(\fracπ6,2\fracπ6)$ é um ponto complicado. {\sl O seu diagrama tem
%   que ter pelo menos 20 pontos ``simples''.}
% 
% a) \B(2.0 pts) Represente graficamente $∇G(x,y)$ em pelo menos 20
% pontos ``simples''. Obs: os pontos em que $∇G(x,y)$ tem ambas as
% componentes racionais são diferentes dos pontos em que $∇G(x,y)$ é
% racional! {\sl O seu diagrama tem que ter pelo menos 20 vetores.}
% 
% c) \B(2.5 pts) Use o que você descobriu nos itens anteriores pra
% esboçar as curvas de nível de $z=G(x,y)$ para $z=2$, $z=-2$, $z=0$,
% $z=1$, $z=-1$, $z=\frac12$, $z=-\frac12$.
% 
% \bsk




% Lagrange
% (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex" "lagrange")

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "NONE"
% End:
