% (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C3-material.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C3-material"))
% (setq revert-without-query '("pdf$"))
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-2-C3-material.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C3-material.pdf
%               file:///tmp/2019-2-C3-material.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-2-C3-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C3-material.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")

% «.outros-cortes»		(to "outros-cortes")
% «.mini-teste-1»		(to "mini-teste-1")
% «.revisao-P1»			(to "revisao-P1")
% «.ponto-base»			(to "ponto-base")
% «.ponto-base-MT»		(to "ponto-base-MT")
% «.cobb-douglas»		(to "cobb-douglas")
% «.taylor-2D»			(to "taylor-2D")
% «.lagrange»			(to "lagrange")

% «.cortes-derivadas-parciais»	(to "cortes-derivadas-parciais")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu

\def\ovl{\overline}

% (c3qe)



% «outros-cortes»  (to ".outros-cortes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "outros cortes")
% (c3m192p 1 "outros-cortes")
% (c3m192    "outros-cortes")

{\setlength{\parindent}{0pt}

{\bf Exercícios sobre ``outros cortes''}

{Versão preliminar -- data no rodapé}

O mini-teste sobre esta lista de exercícios ia ser na quinta, 15/set/2019,

mas algumas pessoas pediram pra adiá-lo... 

% {Isto aqui {\sl complementa} o início da seção 6.1 do APEX Calculus!}

}

\bsk

Sejam:

$ F(x,y) =
\begin{cases}
  \sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
  0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$.} \\
 \end{cases}
$

e $(x_0,y_0)=(2,4)$.

\bsk

1) O que são os conjuntos abaixo? Desenhe-os e/ou descreva-os em
Português.

$$\begin{array}{ccl}
    S      &=& \setofxyzst{z = F(x,y)} \\
    A_3    &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=3} \\
    A_4    &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=4} \\
    A_5    &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=5} \\
    A_0    &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=0} \\
    A_{-1} &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; z=-1} \\
    B      &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; x=x_0} \\
    B'     &=& \setofst   {(y,z)∈\R^3} {z=F(x_0,y)} \\
    C      &=& \setofxyzst{z = F(x,y), \; y=y_0} \\
    C'     &=& \setofst   {(x,z)∈\R^3} {z=F(x,y_0)} \\
    D_3    &=& \setofxyst {F(x,y) = 3} \\
    D_4    &=& \setofxyst {F(x,y) = 4} \\
  \end{array}
$$

a) Quais deles são funções de $\R$ em $\R$?

b) Quais deles são curvas de nível?

c) Dê dois pontos de cada um destes conjuntos: $B$, $B'$, $C$, $C'$,
$D_3$, $D_4$.

\msk

2a) Qual é a derivada da função $z=F(x_0,y)$ em $y=y_0$?

b) Qual é a derivada da função $z=F(x,y_0)$ em $x=x_0$?

c) Como as derivadas que você obteve nos itens 2a e 2b nos ajudam a
encontrar um vetor tangente à curva $B'$ e um à curva $C'$? Eles são
tangentes a estas curvas em que pontos? Dicas: nós fizemos exercícios
sobre isso em 16/agosto (reveja a foto do quadro, e note que no final
eu sugeri que usássemos aproximações numéricas pra fazer os
desenhos!); leia a seção 2.2 do APEX Calculus; os vetores vão ter a
forma $\VEC{1,\_}$.

d) Como os vetores tangentes que você obteve no item 2c podem ser
usados pra obter vetores tangentes às curvas $B$ em $C$, que são em
$\R^3$? Dica: estes vetores vão ser da forma $\VEC{1,0,\_}$ e
$\VEC{0,1,\_}$.




\newpage

%  __  __ _       _ _            _         _ 
% |  \/  (_)_ __ (_) |_ ___  ___| |_ ___  / |
% | |\/| | | '_ \| | __/ _ \/ __| __/ _ \ | |
% | |  | | | | | | | ||  __/\__ \ ||  __/ | |
% |_|  |_|_|_| |_|_|\__\___||___/\__\___| |_|
%                                            
% «mini-teste-1»  (to ".mini-teste-1")
% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "mini-teste 1")


{%\setlength{\parindent}{0pt}

{\bf

Primeiro mini-teste

Aplicado no final de aula de 19/set/2019

}

}

\bsk

Sejam:

$ F(x,y) =
\begin{cases}
  \sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
  0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$,} \\
 \end{cases}
$

$(x_0,y_0)=(2,4)$,

$E = \setofxyzst{z = F(x,y), \; y=y_0}$.

\msk

Represente graficamente o conjunto $E$ e mostre como

usá-lo para calcular $\frac{∂}{∂x} F(x,y)$ no ponto $(x_0,y_0)$.



\newpage

%  ____            _                   ____  _ 
% |  _ \ _____   _(_)___  __ _  ___   |  _ \/ |
% | |_) / _ \ \ / / / __|/ _` |/ _ \  | |_) | |
% |  _ <  __/\ V /| \__ \ (_| | (_) | |  __/| |
% |_| \_\___| \_/ |_|___/\__,_|\___/  |_|   |_|
%                                              
% «revisao-P1»  (to ".revisao-P1")

{\bf Problemas de revisão para a P1}

(Adaptados do quadro de 2019oct17)

\msk

1) Vamos reusar uma função lá do início:

$ F(x,y) =
\begin{cases}
  \sqrt{5^2 - x^2 - y^2} & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2≥0$}, \\
  0 & \text{quando $5^2 - x^2 - y^2<0$.} \\
 \end{cases}
$

a) Represente graficamente as curvas de nível abaixo:

$\begin{array}{rcl}
 F(x,y) &=& F(4,0), \\
 F(x,y) &=& F(3,0), \\
 F(x,y) &=& F(2,0), \\
 F(x,y) &=& F(1,0)  \\
 \end{array}
$

b) Descubra o vetor gradiente de $F$ nos pontos $(4,0)$, $(3,0)$,
$(2,0)$, $(1,0)$.

c) Use esses vatores pra desenhar sobre cada uma das suas curvas de
nível do item (a) oito vetores gradientes {\sl sem fazer conta
  nenhuma}.

\msk

2) O Bortolossi leva várias páginas pra definir abertos, fechados,
interior, fecho, fronteira, compacto, etc --- ele faz isso das páginas
142 até 146.

As nossas definições são:

$\begin{array}{rcl}
      B_ε(P) &=& \setofxyst{d(P,(x,y))<ε} \\
 \ovl B_ε(P) &=& \setofxyst{d(P,(x,y))≤ε} \\
 𝐬{Int}(A)   &=& \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, B_ε(P)⊂A} \\
 \ovl   A    &=& \setofst{P∈\R^2}{∀ε>0.\, B_ε(P)∩A≠∅} \\
 \text{($A$ é aberto)}  &=& (A = 𝐬{Int}(A)) \\
 \text{($A$ é fechado)} &=& (A = \ovl A) \\
 \text{($A$ é limitado)} &=& (∃R>0.\, A⊆B_R((0,0))) \\
 \end{array}
$

\msk

a) Seja $C=\{1, \frac12, \frac13, \frac14, \ldots\}$.

Mostre que $C≠\ovl C$.

\msk

3) Sejam

$\begin{array}{rcl}
 A &=& \setofxyst{0<x≤2 \text{ e } 1≤x<3}, \\
 B &=& \setofst{(x,2)}{ x∈[0,4]}, \\
 C &=& A∪B. \\
 \end{array}
$

Represente graficamente $C$.

\msk

4) Seja $A = \setofxyst{0<x^2+y^2≤1}$.

Descreva uma função contínua $F:A→\R$ que tenha mínimo global em $A$
mas não tenha máximo global em $A$.

\msk

5) Seja $f(t) = (\cos t, \sen t)$ e seja $g(t)$ uma aproximação de
segunda ordem para $f(t)$ em $t_0=π$; ou seja, $g(t)$ é da forma
%
$$ g(t) = P + t \vec u + t^2 \vec v \qquad\qquad (*)$$
%
e obedece $g(t_0) = f(t_0)$, $g'(t_0) = f'(t_0)$, $g''(t_0) =
f''(t_0)$,

a) Relembre o truque do ponto base: se $t=t_0+Δt$, $Δt=t-t_0$,
%
$$ g(t+Δt) = \_\_ + Δt \_\_ + (Δt)^2 \_\_ \qquad\qquad (**)$$
%
a expressão $(**)$ pode ser convertida para $(*)$ e é fácil descobrir
como preencher os ``$\_\_$''s pra que as condições $g(t_0) = f(t_0)$,
$g'(t_0) = f'(t_0)$, $g''(t_0) = f''(t_0)$ sejam obedecidas.

b) Encontre uma função $g(t)$ que seja uma aproximação de segunda
ordem para $f(t)$ em $t_0=π$.

c) Verifique usando uma calculadora que $g(π+0.1)$ é muito próximo de
$f(π+0.1)$; idem para $g(π-0.1)$ é muito próximo de $f(π-0.1)$.

d) Seja $h(t) = (\cos (πt^2), \sen (πt^2))$. Encontre uma aproximação
de segunda ordem para $h(t)$ em $t_0=1$.


% \end{document}

\newpage


%  ____             _          _                    
% |  _ \ ___  _ __ | |_ ___   | |__   __ _ ___  ___ 
% | |_) / _ \| '_ \| __/ _ \  | '_ \ / _` / __|/ _ \
% |  __/ (_) | | | | || (_) | | |_) | (_| \__ \  __/
% |_|   \___/|_| |_|\__\___/  |_.__/ \__,_|___/\___|
%                                                   
% «ponto-base»  (to ".ponto-base")
% (c3m192p 5 "ponto-base")
% (c3m192    "ponto-base")

% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "base")
% (c3q192  7 "20190822" "Movimento uniformemente acelerado; parábolas parametrizadas; ponto base")
% (c3q192 17 "20190919" "Mais sobre gradientes; plano tangente; mini-teste 1")
% (c3q192 24 "20191017" "Revisão para a prova")
% (find-bortolossi5page (+ -162 172)   "omitir os pontos onde as parciais são calculadas")


{\setlength{\parindent}{0pt}

{\bf Exercícios sobre ponto base}

{Versão preliminar -- data no rodapé}

Contas fora do ponto base zeram a questão!

}

\bsk

1) Seja:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
 F(x,y) &=& a_{00}           &+& a_{10} (x-x_0)           &+& a_{20} (x-x_0)^2         \\
        &+& a_{01} (y-y_0)   &+& a_{11} (x-x_0) (y-y_0)   &+& a_{21} (x-x_0)^2 (y-y_0) \\
        &+& a_{02} (y-y_0)^2 &+& a_{12} (x-x_0) (y-y_0)^2 &+& a_{22} (x-x_0)^2 (y-y_0)^2. \\
 \end{array}
$

\ssk

Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
 F(x_0,y_0),      & F_x(x_0,y_0),     & F_{xx}(x_0,y_0), \\
 F_y(x_0,y_0),    & F_{xy}(x_0,y_0),  & F_{xxy}(x_0,y_0), \\
 F_{yy}(x_0,y_0), & F_{xyy}(x_0,y_0), & F_{xxyy}(x_0,y_0), \\
 \end{array}
$

% (c3q192 30 "20191108" "Exercícios sobre ponto base; regra da cadeia no Bortolossi")

\bsk

2) Seja 
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
 G(x,y) &=& 4         &+& 5 (x-2)         &+& 6 (x-2)^2         \\
        &+& 7 (y-3)   &+& 8 (x-2) (y-3)   &+& 9 (x-2)^2 (y-3) \\
        &+& 10 (y-3)^2 &+& 11 (x-2) (y-3)^2 &+& 12 (x-2)^2 (y-3)^2. \\
 \end{array}
$

\ssk

Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
 G(2,3),      & G_x(2,3),     & G_{xx}(2,3), \\
 G_y(2,3),    & G_{xy}(2,3),  & G_{xxy}(2,3), \\
 G_{yy}(2,3), & G_{xyy}(2,3), & G_{xxyy}(2,3), \\
 \end{array}
$

(Dica: qual é o ponto base aqui?)

\bsk

3) Leia a seção sobre Teorema de Young no Bortolossi. Dá pra aplicar o
teorema de Young nas funções $F$ e $G$?

\msk

4) Calcule todas as derivadas de 2ª ordem da função $F$. (Dica:
procure no Bortolossi a definição de "derivadas de 2ª ordem!)

\msk

5) Calcule todas as derivadas de 3ª ordem da função $H(x,y) = x^2 y_2$.

\msk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi7page (+ -238 253)    "Funções vetoriais: o caso geral")
% (find-bortolossi7page (+ -238 256)    "matriz jacobiana")
% (find-bortolossi7page (+ -238 266)    "Teorema 7.7")

6) Especialize o Teorema 7.7 do Bortolossi para o caso $l=1$, $m=2$,
$n=1$. Obs: o livro tem alguns erros de digitação nesse teorema, e às
vezes ele troca `$l$'s por `$k$'s e `$k$'s por `$l$'s; considere que
todas as funções são de classe $C^k$. {\sl Escreva o seu resultado
  como um corolário.} Dica: leia as páginas 252 a 263 se precisar
tirar dúvidas sobre matriz jacobiana.

\msk

7) Use o seu corolário para calcular $\frac{d}{dt} F(g(t),h(t))$.

\msk

8) Use o que você obteve no (7) para calcular $\frac{d}{dt}
F(g(t),h(t))$ no caso em que $F(x,y) = x^2y^3$, $g(t) = \sen t$, $h(t)
= e^{4t}$.

\msk

9) Calcule $\frac{d}{dt} ((\sen t)^2(e^{4t})^3)$ usando métodos de
Cálculo 1.


\newpage


%  __  __ _____   ____             _          _                    
% |  \/  |_   _| |  _ \ ___  _ __ | |_ ___   | |__   __ _ ___  ___ 
% | |\/| | | |   | |_) / _ \| '_ \| __/ _ \  | '_ \ / _` / __|/ _ \
% | |  | | | |   |  __/ (_) | | | | || (_) | | |_) | (_| \__ \  __/
% |_|  |_| |_|   |_|   \___/|_| |_|\__\___/  |_.__/ \__,_|___/\___|
%                                                                  
% «ponto-base-MT»  (to ".ponto-base-MT")
% (c3m192p 6 "ponto-base")
% (c3m192    "ponto-base")

{% \setlength{\parindent}{0pt}

\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 28/nov/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre ponto base (MT2)}
\par Contas fora do ponto base zeram a questão!

}

\bsk
\bsk


Seja 
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
 G(x,y) &=& 4         &+& 5 (x-2)         &+& 6 (x-2)^2         \\
        &+& 7 (y-3)   &+& 8 (x-2) (y-3)   &+& 9 (x-2)^2 (y-3) \\
        &+& 10 (y-3)^2 &+& 11 (x-2) (y-3)^2 &+& 12 (x-2)^2 (y-3)^2. \\
        &+& 13 (y-3)^3 &+& 14 (x-2) (y-3)^3 &+& 15 (x-2)^2 (y-3)^3. \\
 \end{array}
$

\ssk

1) Calcule $F_{xyy}$.

2) Calcule $F_{yxx}(2,3)$.


\bsk

Obs: o ideal é que você saiba fazer contas destes tipos de cabeça.



\newpage



%   ____      _     _           ____                    _           
%  / ___|___ | |__ | |__       |  _ \  ___  _   _  __ _| | __ _ ___ 
% | |   / _ \| '_ \| '_ \ _____| | | |/ _ \| | | |/ _` | |/ _` / __|
% | |__| (_) | |_) | |_) |_____| |_| | (_) | |_| | (_| | | (_| \__ \
%  \____\___/|_.__/|_.__/      |____/ \___/ \__,_|\__, |_|\__,_|___/
%                                                 |___/             
%
% «cobb-douglas»  (to ".cobb-douglas")
% (c3m192p 7 "cobb-douglas")
% (c3m192    "cobb-douglas")

% (find-es "lua5" "cobb-douglas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "Cobb-Douglas")
% (find-bortolossi5page (+ -162 167)   "Exemplo 5.1: Cobb-Douglas")

{\setlength{\parindent}{0pt}

\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 5/dez/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre curvas de nível (MT3)}
\par Vale 0.5 pontos a mais na questão 1d da P1.
\par (Quem acertou a 1d toda não precisa fazer)

}


\bsk
\bsk

A minha intenção com a questão 1d da P1 ---
%
\begin{quote}
``Represente graficamente a curva de nível da função $G=(\cos x)(\cos
  y)$ para $z=\frac12$. Dica: represente como você acha que ela deve
  ser''
\end{quote}
%
era fazer vocês
verem que dá pra gente visualizar funções complicadas sem fazer muitas
contas e sem precisar usar programas gráficos.

O livro do Bortolossi menciona algumas vezes a ``função de
Cobb-Douglas'' $F(x,y) = x^{1/4} y^{3/4}$, mas nós ainda não vimos
como visualizá-la...

Sabendo um pouquinho de C ou de planilhas dá pra fazer um diagrama de
numerozinhos como o abaixo. Use-o para esboçar as curvas de nível
$z=0$, $z=0.5$, $z=1$ e $z=1.5$, onde $z=F(x,y)$.

\msk



\begin{verbatim}
    2.00 _|_ 0.00 0.42 0.71 0.96 1.19 1.41 1.61 1.81 2.00
    1.75 _|_ 0.00 0.41 0.68 0.93 1.15 1.36 1.56 1.75 1.93
    1.50 _|_ 0.00 0.39 0.66 0.89 1.11 1.31 1.50 1.68 1.86
    1.25 _|_ 0.00 0.37 0.63 0.85 1.06 1.25 1.43 1.61 1.78
    1.00 _|_ 0.00 0.35 0.59 0.81 1.00 1.18 1.36 1.52 1.68
    0.75 _|_ 0.00 0.33 0.55 0.75 0.93 1.10 1.26 1.42 1.57
    0.50 _|_ 0.00 0.30 0.50 0.68 0.84 0.99 1.14 1.28 1.41
    0.25 _|_ 0.00 0.25 0.42 0.57 0.71 0.84 0.96 1.08 1.19
    0.00 _|_ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
     y       -+----+----+----+----+----+----+----+----+---
           x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
\end{verbatim}

\newpage



%  _____           _              ____  ____  
% |_   _|_ _ _   _| | ___  _ __  |___ \|  _ \ 
%   | |/ _` | | | | |/ _ \| '__|   __) | | | |
%   | | (_| | |_| | | (_) | |     / __/| |_| |
%   |_|\__,_|\__, |_|\___/|_|    |_____|____/ 
%            |___/                            
%
% «taylor-2D»  (to ".taylor-2D")
% (c3m192p 8 "taylor-2D")
% (c3m192    "taylor-2D")

{\setlength{\parindent}{0pt}

\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.2
\par 5/dez/2019 - Eduardo Ochs
\par {\bf Mini-teste sobre polinômios de Taylor (MT4)}

}


\bsk
\bsk

1) Calcule $\frac{d}{dt} \frac{d}{dt} F(g(t),h(t))$.

2) Calcule $\frac{d}{dt} \frac{d}{dt} F(g(t_0),h(t_0))$ no caso em que:

$\begin{array}{rcl}
 t_0 &=& 6, \\
 g(6) &=& 7, \\
 h(6) &=& 8, \\
 g'(6) &=& 1, \\
 g''(t) &=& 0, \\
 h''(t) &=& 0, \\
 F(x,y) &=& a(x-7)^2 - b(x-7)(y-8) + c(y-8)^2. \\
 \end{array}
$



% (c3q192 35 "20191205" "Dt Dt F(g(t),h(t))")



% (find-es "lua5" "cobb-douglas")






% «lagrange»  (to ".lagrange")
% Exercícios de multiplicadores de Lagrange

% https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_212_Calculus_III/Chapter_13%3A_Functions_of_Multiple_Variables_and_Partial_Derivatives/13.A%3A_Lagrange_Multipliers/13.10E%3A_Exercises_for_Lagrange_Multipliers
% http://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcIII/LagrangeMultipliers.aspx
% http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LagrangeMultipliers.asxp
% http://www.math.harvard.edu/archive/21a_spring_09/PDF/11-08-Lagrange-Multipliers.pdf
% https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/constrained-optimization/a/lagrange-multipliers-examples




% introdução a multiplicadores de Langrange
% (c3q192 19 "20190926" "Abertos e fechados; imagem inversa; Teorema de Weierstrass; triangulo e xy")
% (c3q192 20 "20190927" "Mais imagem inversa e Teorema de Weierstrass")





\end{document}

\bsk



% (find-angg ".emacs" "c3q192")
% (find-angg ".emacs" "c3q192" "retas tangentes")
% (c3q192  5 "20190816" "Derivadas e retas tangentes visualmente")
% (find-apexcalculuspage (+ 10  75) "2.2 Interpretations of the Derivative")


e) Use a derivadas que você obteve no item anterior pra obter:

\begin{itemize}

\item um vetor da forma $\VEC{1,\_}$ tangente ao conjunto $B$ no ponto
  $(y_0,F(x_0,y_0))$,

\item um vetor da forma $\VEC{1,\_}$ tangente ao conjunto $B$ no ponto
  $(y_0,F(x_0,y_0))$,

\end{itemize}


encontrar um vetor da forma $\VEC{1,\_\_}$ que seja tangente ao
conjunto $B$ no ponto 






$G(x,y) = (\sen x)(\sen y)$,

$H(x,y) = \sen x + \sen y$,

$M(x,y) = xy$,

Faltam: mínimo, áximo


\bsk

Nós vimos em sala como fazer as interseções de uma superfície
$z=f(x,y)$ com os planos da forma $x=x_0$ e $y=y_0$... por exemplo, o
corte com o plano $x=42$ dá um gráfico em que o eixo horizontal
representa os valores de $y$ e o eixo vertical representa $z=f(42,y)$.

\msk

1) Nos subitens deste exercício vamos usar a função $F$ definida lá em
cima --- a semi-esfera --- e $(x_0,y_0) = (2,4)$.

a) Desenhe o gráfico da interseção de $z=F(x,y)$ com o plano $x=x_0$ (é um gráfico ``$yz$'').

b) Desenhe o gráfico da interseção de $z=F(x,y)$ com o plano $y=y_0$ (é um gráfico ``$xz$'').

c) Descubra a derivada do gráfico do item 1a no ponto $y=y_0$.

d) Descubra a derivada do gráfico do item 1c no ponto $x=x_0$.

e) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
    S &=& \setofxyzst{z = F(x,y)} \\
    A &=& \setofxyzst{z = F(x,y), x=x_0} \\
    B &=& \setofxyzst{z = F(x,y), y=y_0} \\
  \end{array}
$$

% z = F(x,y_0)
% 



e) Visualize as interseções de $z=F(x,y)$ com os planos $x=x_0$ e
$y=y_0$ em $\R^3$

e) Use os itens anteriores para encontrar um vetor da forma
$\VEC{1,0,a}$ que seja tangente à superfície $z=F(x,y)$.

e) Use os itens anteriores para encontrar um vetor da forma
$\VEC{0,1,b}$ que seja tangente à superfície $z=F(x,y)$.

f) Leia o início do cap.5 do Bortolossi, sobre derivadas parciais. As
derivadas que você obteve nos itens 1c e 1d são exatamente as
derivadas parciais de $F(x,y)$ no ponto $(2,4)$, mas nós obtivemos
elas usando uma abordagem bem diferente --- nós ainda nem usamos retas
secantes! Entenda o suficiente do livro pra



\bsk






 e $y=y_0$ usando $(x_0,y_0) = (2,4)$.

2) Descubra as derivadas dos gráficos do item anterior em $x_0=2$ e
$y_0=4$.

3) Visualize em 3D as 

\msk



Em cada um dos casos abaixo represente 

1) Em cada um dos casos abaixo desenhe os cortes do superfDesenhe os
gráficos dos cortes da superfície $z=F(x,y)$ em

Seja $(x_0,y_0) = (2,4)$




% «cortes-derivadas-parciais»  (to ".cortes-derivadas-parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "plano tangente")




% (find-angg ".emacs" "c3q191")
% (find-angg ".emacs" "c3q191" "abertos e fechados")





% (find-books "__analysis/__analysis.el" "nussenzveig")

\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m192"
% End:
