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% (find-LATEX "2020-1-C2-TFCs.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C2-TFCs.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C2-TFCs.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C2-TFCs"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf
% file:///tmp/2020-1-C2-TFCs.pdf
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% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-TFCs.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% «.title» (to "title")
% «.formadas-por-segmentos» (to "formadas-por-segmentos")
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% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\unitlength=10pt
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m201tfcsp 1 "title")
% (c2m201tfcs "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.1}
\bsk
Aula 9: TFC1
(o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «formadas-por-segmentos» (to ".formadas-por-segmentos")
% (c2m201tfcsp 2 "formadas-por-segmentos")
% (c2m201tfcs "formadas-por-segmentos")
{\bf Funções formadas por segmentos}
\ssk
Uma \ColorRed{função escada} é uma função cujo gráfico é formado por
um número finito de segmentos horizontais e de pontos isolados. Essa
terminologia é padrão.
Nesta aula vamos usar algumas funções como a abaixo, cujo gráfico é
formado por um número finito de segmentos {\sl não necessariamente
horizontais} e de pontos isolados. Acho que não há um termo padrão
para funções deste tipo, então vou chamá-las de \ColorRed{funções
formadas por segmentos}.
%
$$
\unitlength=8pt
%
f(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-5)(5,5)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,0)c--(1,1)c
(1,-1)o--(2,-2)o (2,1)c
(2,2)o--(3,3)c
(3,-3)c--(4,-4)c
(4,4)o--(5,5)c}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
\newpage
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 236) "5.4 The Fundamental Theorem of Calculus")
% (c2m201escadasp 9 "spoiler")
% (c2m201escadas "spoiler")
Na aula passada nós conseguimos calcular a função
%
$$G(b) = \Intx{1}{b}{g(x)}$$
para a função $g(x)$ abaixo. Obtivemos:
%
$$
g(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-2)(10,6)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,1)--(2,1)o (2,0)c
(2,2)o--(4,2)o
(4,0)c--(6,0)o
(6,-1)c--(8,-1)c
(8,1)o--(10,1)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
%
\qquad
%
G(b) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-2)(10,6)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(1,0)c--(2,1)c--(4,5)c--(6,5)c--(8,3)c--(10,5)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
\newpage
...e vimos que:
\begin{enumerate}
\item $G(1) = \Intx{1}{1}{g(x)} = 0$.
\item $G'(x) = g(x)$ ``sempre que isto faz sentido'', isto é, para
todos os valores de $x$ nos quais $G(x)$ é derivável.
\item $G'(x) = g(x)$ em todo $x$ no qual $g(x)$ é contínua. Isto é uma
condição mais forte que a 2.
\item $G(x)$ é contínua --- inclusive nos valores de $x$ nos quais as
condições 2 e 3 não se aplicam.
\end{enumerate}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m201tfcsp 5 "exercicio-1")
% (c2m201tfcs "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\ssk
a) Faça uma cópia no papel do gráfico da $g(x)$ do slide 3 e
represente nele as áreas $\Intx{1}{3}{g(x)}$ e $\Intx{1}{4}{g(x)}$.
b) Agora visualize a diferença $\Intx{1}{4}{g(x)} -
\Intx{1}{3}{g(x)}$, cancelando na região $\Intx{1}{4}{g(x)}$ a região
$\Intx{1}{3}{g(x)}$. Represente graficamente esta diferença
$\Intx{1}{4}{g(x)} - \Intx{1}{3}{g(x)}$ e verifique que ela é
exatamente a área $\Intx{3}{4}{g(x)}$.
c) Calcule no olhômetro \ColorRed{sem fazer nenhuma conta no papel} o
valor de cada subexpressão das igualdades abaixo e verifique que as
duas igualdades são verdade. Lembre que você pode obter $G(3)$ e
$G(4)$ pelo gráfico da $G$ do slide 3.
%
$$\begin{array}{rcl}
\Intx{3}{4}{g(x)} &=& \Intx{1}{4}{g(x)} - \Intx{1}{3}{g(x)} \\[5pt]
&=& G(4) - G(3)
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m201tfcsp 6 "exercicio-2")
% (c2m201tfcs "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\ssk
Dá pra generalizar o ``$\Intx{3}{4}{g(x)} = G(4) - G(3)$'' do final do
exercício 1. O caso geral vai ser:
\msk
Se $F(b) = \Intx{a}{b}{f(x)}$ então $\Intx{c}{d}{f(x)} = F(d) - F(c)$,
\msk
e isto vai valer para qualquer função integrável $f$ e quaisquer
valores de $a$, $c$ e $d$. Isto é um pouco mais difícil de interpretar
quando a função $f$ assume valores negativos em alguns trechos. Neste
exercício você vai tentar interpretar isto nas nossas funções $g$ e
$G$ em alguns casos complicados.
a) Visualize cada subexpressão de
%
$$\begin{array}{rcl}
\Intx{7}{8}{g(x)} &=& \Intx{1}{8}{g(x)} - \Intx{1}{7}{g(x)} \\[5pt]
&=& G(8) - G(7)
\end{array}
$$
e descubra como lidar com a parte abaixo do eixo horizontal.
\newpage
% «na-direcao-errada» (to ".na-direcao-errada")
% (c2m201tfcsp 7 "na-direcao-errada")
% (c2m201tfcs "na-direcao-errada")
{\bf Integrais ``na direção errada''}
\ssk
Até agora nós só lidamos com integrais da forma $\Intx{a}{b}{f(x)}$
nas quais tínhamos $a≤b$... mas os matemáticos acham estas duas
propriedades aqui
\msk
1. Se $F(b) = \Intx{a}{b}{f(x)}$ então $\Intx{c}{d}{f(x)} = F(d) - F(c)$
2. $\Intx{a}{c}{f(x)} = \Intx{a}{b}{f(x)} + \Intx{b}{c}{f(x)}$
\msk
TÃO legais que eles decidiram que elas têm que valer sempre... e pra
elas valerem sempre a gente precisa encontrar o significado ``certo''
para integrais da forma $\Intx{a}{b}{f(x)}$ onde $a>b$, isto é,
integrais em que o intervalo de integração está ``expresso na ordem
errada''.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m201tfcsp 8 "exercicio-3")
% (c2m201tfcs "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
\ssk
Descubra o \ColorRed{valor certo} e depois a \ColorRed{interpretação
geométrica} da integral ``na direção errada'' em cada uma das
igualdades abaixo. Obs: ainda estamos usando as funções $g$ e $G$ do
slide 3.
\msk
a) $\Intx{1}{4}{g(x)} + \Intx{4}{3}{g(x)} = \Intx{1}{3}{g(x)}$
\msk
b) $\Intx{1}{8}{g(x)} + \Intx{8}{7}{g(x)} = \Intx{1}{7}{g(x)}$
\newpage
Agora leia as duas primeiras seções desta página:
\ssk
{\footnotesize
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_do_c\%C3\%A1lculo}
}
\ssk
e veja a figura da Parte 2 da demonstração.
\msk
Como nós estamos usando principalmente funções formadas por segmentos
e que podem ser descontínuas nós vamos precisar de uma versão do TFC1
um pouco mais geral do que a dessa página da Wikipedia.
\msk
Digamos que $f:[a,b]→\R$ seja uma função integrável.
Uma \ColorRed{antiderivada} para $f$ é uma função $F:[a,b]→\R$ tal que
$F'(x)=f(x)$ em todo $x∈[a,b]$ no qual a $f(x)$ é contínua.
Uma \ColorRed{antiderivada contínua} para $f$ é uma função
$F:[a,b]→\R$ tal que $F'(x)=f(x)$ em todo $x∈[a,b]$ no qual a $f(x)$ é
contínua --- e que além disso esta $F$ é \ColorRed{contínua}. Ou seja,
nos pontos $x$ em que $f(x)$ não é contínua a $F(x)$ não precisa ser
derivável, mas precisa ser contínua.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m201tfcsp 10 "exercicio-4")
% (c2m201tfcs "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Seja $f:[0,5]→\R$ esta função:
$$
\unitlength=10pt
%
f(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-2)(5,2)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,1)c--(2,1)c
(2,-1)o--(5,-1)c}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
a) Encontre uma antiderivada contínua para $f$.
b) Encontre uma antiderivada para $f$ que não é contínua.
c) Encontre uma antiderivada contínua para $f$ que
obedeça $F(0)=0$.
d) Encontre uma antiderivada contínua para $f$ que
obedeça $F(1)=0$.
\newpage
A versão do TFC1 que vamos usar é esta aqui:
\bsk
Digamos que $f:[a,c]→\R$ seja integrável.
Seja $F:[a,c]→\R$ \ColorRed{uma} antiderivada contínua de $f$
que obedeça $F(a)=0$.
Seja $G: [a,c] → \R$ a função $G(b) := \Intx{a}{b}{f(x)}$.
\ColorRed{Então as funções $F$ e $G$ são iguais.}
\bsk
Ou seja, dá pra encontrar a função $G(b) := \Intx{a}{b}{f(x)}$
só encontrando uma antiderivada contínua!
Na aula passada nós levamos horas pra encontra a $G$,
mas agora quando a $f$ é uma função escada simples
você deve ser capaz de encontrar uma antiderivada
contínua dela no olhômetro BEM rápido.
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m201tfcsp 12 "exercicio-5")
% (c2m201tfcs "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
\ssk
Seja $f:\R→\R$ esta função:
$$
\unitlength=10pt
%
f(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(0,-2)(6,3)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,2)--(2,2)c
(2,1)o--(3,1)c
(3,0)o--(4,0)c
(4,-1)o--(6,-1)}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$$
\msk
Seja $F:\R→\R$ uma antiderivada contínua de $f$
que obedeça $F(1)=0$.
\msk
a) Desenhe o gráfico da $F$ \ColorRed{no olhômetro, sem fazer contas}.
\ssk
Agora você tem dois jeitos de calcular $\Intx{1}{6}{f(x)}$,
que tem que dar o mesmo resultado...
\ssk
b) Calcule $\Intx{1}{6}{f(x)}$ pelo gráfico da $f$.
c) Calcule $\Intx{1}{6}{f(x)}$ pelo gráfico da $F$.
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m201tfcsp 13 "exercicio-6")
% (c2m201tfcs "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
\ssk
Seja $f:\R→\R$ a nossa função preferida das primeiras aulas:
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& 4 - (x-2)^2 \\
&=& 4 - (x^2 -4x + 4) \\
&=& -x^2 +4x \\
\end{array}
$$
a) Encontre uma antiderivada para $f$.
b) Encontre uma antiderivada para $f$
\phantom{!!!!} \ColorRed{que obedeça $F(0)=0$.}
c) Use a sua resposta do item anterior para calcular
%
$$\Intx{0}{4}{f(x)}.$$
%\printbibliography
\end{document}
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-TFCs veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-TFCs pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m201tfcs"
% End: