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% (find-LATEX "2020-1-C2-def-integral.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C2-def-integral.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C2-def-integral.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C2-def-integral"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf
% file:///tmp/2020-1-C2-def-integral.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C2-def-integral.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-def-integral.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.def-integral» (to "def-integral")
% «.def-integral-2» (to "def-integral-2")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\Q {\mathbb{Q}}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
\def\ointpx #1#2{\overline \int_{#1} #2 \, dx}
\def\uintpx #1#2{\underline\int_{#1} #2 \, dx}
\def\dintpx #1#2{ \ointpx{#1}{#2} - \uintpx{#1}{#2} }
\def\pdintpx#1#2{\left( \ointpx{#1}{#2} - \uintpx{#1}{#2} \right)}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m201defintp 1 "title")
% (c2m201defint "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.1}
\bsk
Aulas 5 e 6: A definição de integral
como limite de somas de retângulos
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
Na última aula nós aprendemos como o ``método do sup'' nos dá a melhor
aproximação por retângulos por cima para a integral de $y=f(x)$ e o
``método do inf'' nos dá a melhor aproximação por retângulos por
baixo... a figura é esta (de novo!):
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "hernandez")
% (find-c2crishernandezpage (+ 10 2) "")
% (find-latexgimp-links "2020-1-C2/area-hernandez-1")
\includegraphics[width=7cm]{2020-1-C2/area-hernandez-1.png}
\newpage
...e as definições formais são:
%
$$\begin{array}{ccl}
\mname{sup} &=& \sumiN {\sup (f([a_i,b_i]) } \\
\mname{inf} &=& \sumiN {\inf (f([a_i,b_i]) } \\
\end{array}
$$
Vamos definir:
%
$$\begin{array}{ccl}
\displaystyle \ointpx{P}{f(x)} &=& \mname{sup} \\[10pt]
\displaystyle \uintpx{P}{f(x)} &=& \mname{inf} \\
\end{array}
$$
%
pra podermos escrever isto, ao invés de $\mname{inf} ≤
\Intx{a}{b}{f(x)} ≤ \mname{sup}$:
%
$$\displaystyle
\uintpx{P}{f(x)} ≤
\Intx{a}{b}{f(x)} ≤
\ointpx{P}{f(x)}
$$
\newpage
A nossa pronúncia para estas expressões novas vai ser:
\msk
$\ointpx{P}{f(x)}$ é a ``a aproximação da integral de $f(x)$ por
retângulos por cima na particão $P$'', ou ``\ColorRed{a integral por
cima de $f(x)$ na partição $P$}''.
\msk
$\uintpx{P}{f(x)}$ é a ``a aproximação da integral de $f(x)$ por
retângulos por baixo na particão $P$'', ou ``\ColorRed{a integral por
baixo de $f(x)$ na partição $P$}''.
\msk
Uma das pronúncias possíveis para $\Intx{a}{b}{f(x)}$ é ``\ColorRed{a
integral de $f(x)$ no intervalo $[a,b]$}''. Lembra que uma partição
$P$ nos dá valores para $a$ e $b$ -- $a$ é o primeiro ponto de $P$ e
$b$ é o último.
% Dizer que estamos integrando ``na partição $P$'' nos dá mais
% informação do que
\newpage
A interpretação \ColorRed{geométrica} de
%
$$\displaystyle
\ointpx{P}{f(x)} -
\uintpx{P}{f(x)}
$$
%
vai ser a região em rosa claro na figura do slide 2 -- ou seja, um
\ColorRed{subconjunto de $\R^2$} formado pela \ColorRed{união} dos
\ColorRed{retângulos} em rosa claro.
\msk
A interpretação \ColorRed{numérica} da expressão acima vai ser a área
desse subconjunto. Às vezes vamos escrevê-la como:
%
$$\displaystyle
\Area\left(
\ointpx{P}{f(x)} -
\uintpx{P}{f(x)}
\right)
$$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m201defintp 6 "exercicio-1")
% (c2m201defint "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.} Sejam $f$ a nossa função preferida das aulas
anteriores, isto é, $f(x) = 4-(x-2)^2$, e $P = \{0,1,2,3.5\}$.
\msk
a) Represente graficamente
%
$$ \uintpx{P}{f(x)} ≤
\Intx{a}{b}{f(x)} ≤
\ointpx{P}{f(x)}
$$
b) Represente graficamente o conjunto $\setofst{(x,f(x))}{x∈[0,3.5]}$.
c) É verdade que
%
$$\setofst{(x,f(x))}{x∈[0,3.5]}
⊆ \left(\ointpx{P}{f(x)} -
\uintpx{P}{f(x)}
\right) \;\; ?
$$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m201defintp 7 "exercicio-2")
% (c2m201defint "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\msk
Sejam $P_2 = \{0,1,2\}$,
$P_3 = \{0,\frac23,\frac43,2\}$,
$P_4 = \{0,0.5,1,1.5,2\}$.
Repare que cada $P_N$ divide o intervalo $[0,2]$ em $N$
subintervalos iguais.
Sejam $D_N = \pdintpx{P_N}{f(x)}$
para $N=2,3,4$.
\msk
a) Desenhe $D_2$ e $D_3$ de algum modo que deixe claro pro seu leitor
que $D_2 \, \ColorRed{\not\supseteq} \, D_3$.
\ssk
b) Desenhe $D_2$ e $D_4$ de algum modo que deixe claro pro seu leitor
que $D_2 \, \ColorRed{\supseteq} \, D_4$. (Dica: use um gráfico só.)
\msk
c) Defina $P_8$ e $D_8$ seguindo os padrões acima.
Desenhe $D_4$ e $D_8$ de algum modo que deixe claro pro seu leitor
que $D_4 \, \ColorRed{\supseteq} \, D_8$. (Dica: use um gráfico só.)
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m201defintp 8 "exercicio-3")
% (c2m201defint "exercicio-3")
Repare que podemos escrever as partições
do intervalo $[a,b]$ em $N$ subintervalos desta forma:
\ssk
\def\atowb#1#2{a+\frac{#1(b-a)}{#2}}
$\begin{array}{ll}
\{a,b\} & \text{(um subintervalo)} \\
\{a,\atowb12,b\} & \text{(dois subintervalos)} \\
\{a,\atowb13,\atowb23,b\} & \text{(três subintervalos)} \\
\{a,\atowb14,\atowb24,\atowb34,b\} & \text{(quatro subintervalos)} \\
\vdots & \vdots \\
\{a,\atowb1N,\atowb2N,\ldots,b\} & \text{($N$ subintervalos)} \\
\end{array}
$
\ssk
A \ColorRed{a nossa sequência de partições preferida para o intervalo $[a,b]$}
vai ser a sequência $(P_1, P_2, \ldots)$ na qual cada $P_k$ divide
o intervalo $[a,b]$ em $2^k$ subintervalos iguais.
\ssk
{\bf Exercício 3.} Digamos que $[a,b]=[5,12]$ e que $(P_1, P_2,
\ldots)$ seja a nossa sequência preferida de partições para este
intervalo. Calcule os três primeiros pontos de $P_4$.
\newpage
% «def-integral» (to ".def-integral")
% (c2m201defintp 9 "def-integral")
% (c2m201defint "def-integral")
{\bf Uma primeira definição pra integral}
\ssk
Digamos que queremos calcular $\Intx{a}{b}{f(x)}$.
Agora a função $f$ é uma função qualquer,
não necessariamente a nossa $f$ preferida,
e $[a,b]$ é um intervalo qualquer.
Seja $(P_1, P_2, \ldots)$ a nossa sequência preferida
de partições do intervalo $[a,b]$.
% Vamos definir:
% $\ointpx{}{f(x)} = \lim_{k→∞} \ointpx{P_k}{f(x)}$
\bsk
Todas estas desigualdades aqui são fáceis de visualizar:
$\begin{array}{r}
\ointpx{P_1}{f(x)} ≥
\ointpx{P_2}{f(x)} ≥
\ldots ≥
\lim_{k→∞} \ointpx{P_k}{f(x)} \\
\begin{array}{c}
\rotatebox{90}{$≤$} \\
\Intx{a}{b}{f(x)} \\
\rotatebox{90}{$≤$} \\
\end{array} \\
\uintpx{P_1}{f(x)} ≤
\uintpx{P_2}{f(x)} ≤
\ldots ≤
\lim_{k→∞} \uintpx{P_k}{f(x)} \\
\end{array}
$
\newpage
% «def-integral-2» (to ".def-integral-2")
{\bf Uma primeira definição pra integral (2)}
Todas estas desigualdades aqui são fáceis de visualizar:
$\begin{array}{r}
\ointpx{P_1}{f(x)} ≥
\ointpx{P_2}{f(x)} ≥
\ldots ≥
\lim_{k→∞} \ointpx{P_k}{f(x)} \\
\begin{array}{c}
\rotatebox{90}{$≤$} \\
\Intx{a}{b}{f(x)} \\
\rotatebox{90}{$≤$} \\
\end{array} \\
\uintpx{P_1}{f(x)} ≤
\uintpx{P_2}{f(x)} ≤
\ldots ≤
\lim_{k→∞} \uintpx{P_k}{f(x)} \\
\end{array}
$
Nós vamos dizer que a função $f$ é \ColorRed{integrável no intervalo $[a,b]$}
se os dois limites da direita dão o mesmo resultado.
Vamos encurtar a notação um pouquinho, definindo:
$$\begin{array}{rcl}
\ointpx{[a,b]}{f(x)} & := & \lim_{k→∞} \ointpx{P_k}{f(x)} \\
\uintpx{[a,b]}{f(x)} & := & \lim_{k→∞} \uintpx{P_k}{f(x)} \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Uma primeira definição pra integral (3)}
\ssk
Se $\begin{array}[t]{rcl}
\ointpx{[a,b]}{f(x)} & \ColorRed{=} & \uintpx{[a,b]}{f(x)} \\[5pt]
\Intx{a}{b}{f(x)} & := & \uintpx{[a,b]}{f(x)}. \\
\end{array}
$
então
\msk
Se $\begin{array}[t]{rcl}
\ointpx{[a,b]}{f(x)} & \ColorRed{\not=} & \uintpx{[a,b]}{f(x)} \\[5pt]
\Intx{a}{b}{f(x)} & := & \ColorRed{\text{ERRO}}, \\[5pt]
\end{array}
$
então
e dizemos que $f$ \ColorRed{não é integrável neste intervalo}.
\bsk
Toda função $f:[a,b]→\R$ contínua é integrável em $[a,b]$.
Isto é meio óbvio visualmente -- vamos ver um esboço de uma prova
formal disso na próxima aula.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m201defintp 12 "exercicio-4")
% (c2m201defint "exercicio-4")
{\bf Uma função-escada e um exercício}
\ssk
% (find-es "tex" "cases")
Seja
%
$g(x) =
\begin{cases}
2 & \text{quando $x≤1$}, \\
5 & \text{quando $1<x$}. \\
\end{cases}
$
Seja $[a,b]=[0,3]$.
Seja $D_k = \ointpx{P_k}{g(x)} - \uintpx{P_k}{g(x)}$,
onde $(P_1, P_2, \ldots)$ é a nossa sequência de partições preferida.
\msk
{\bf Exercício 4.}
a) Desenhe o gráfico da função $g$.
b) Represente graficamente e calcule $D_2$.
c) Represente graficamente e calcule $D_3$.
d) Calcule $D_{10}$. Dicas: $D_{10}$ tem um retângulo só.
Qual é a largura da sua base? Qual é a sua altura?
Qual é a sua área?
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m201defintp 13 "exercicio-5")
% (c2m201defint "exercicio-5")
{\bf Uma função não integrável}
\ssk
% (find-es "tex" "cases")
Seja
%
$h(x) =
\begin{cases}
2 & \text{quando $x ∈ \Q$}, \\
5 & \text{quando $x \not∈ \Q$}. \\
\end{cases}
$
Seja $[a,b]=[0,3]$.
Seja $D_k = \ointpx{P_k}{h(x)} - \uintpx{P_k}{h(x)}$,
onde $(P_1, P_2, \ldots)$ é a nossa sequência de partições preferida.
\msk
{\bf Exercício 5.}
a) Desenhe o gráfico da função $h$.
b) Represente graficamente e calcule $D_2$.
c) Represente graficamente e calcule $D_3$.
d) Calcule $D_{10}$.
e) Calcule $\Intx{a}{b}{h(x)}$.
%\printbibliography
% (find-latexinkscape-links "2020-1-C2/parts-preferidas-1")
\end{document}
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-def-integral veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-def-integral pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m201defint"
% End: