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% (find-LATEX "2020-1-C3-superficies-1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C3-superficies-1.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C3-superficies-1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C3-superficies-1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf
% file:///tmp/2020-1-C3-superficies-1.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C3-superficies-1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C3-superficies-1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.sombrero» (to "sombrero")
% «.postes» (to "postes")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.dica-cabos» (to "dica-cabos")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
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% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m201sups1p 1 "title")
% (c3m201sups1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2020.1}
\bsk
Aulas 9 e 10: introdução a superfícies e curvas de nível
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
\vspace*{2cm}
{\footnotesize
Obs: nós começamos a aula de hoje fazendo os exercícios 4 e 5
da aula passada, que ninguém tinha conseguido terminar... Link:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C3-taylor-3.pdf}
}
\newpage
Nós estamos usando dois truques diferentes pra fazer esboços de
trajetórias. O primeiro truque foi calcular $P(t)$ para vários valores
de $t$ e aí ligar os pontos de algum jeito que nos pareça razoável; o
segundo foi usar $P(t_0), P'(t_0), P''(t_0), \ldots$ para conseguir
aproximações de primeira e de segunda ordem para a trajetória $P$ em
torno do instante $t_0$.
Nossos primeiros exercícios de hoje vão ser sobre como adaptar o
método do ``calcular $P(t)$ para vários valores de $t$ e aí ligar os
pontos de algum jeito que nos pareça razoável'' para funções
$F:\R^2→\R$.
Você vai precisar de papel -- eu vou supor que o seu papel está na
horizontal sobre uma mesa --, lápis, e um pouco de coordenação motora
e imaginação.
Desenhe os eixos $x$ e $y$ no papel de forma que cada unidade nos
eixos corresponda a 1cm -- por exemplo, o ponto $(1,0)$ deve estar a
1cm do ponto $(0,0)$. Desenhe um quadriculado se isso te ajudar.
\newpage
% «sombrero» (to ".sombrero")
% (c3m201sups1p 5 "sombrero")
% (c3m201sups1a "sombrero")
Pegue algum objeto bem pontudo, como por exemplo uma caneta ou uma
faca de ponta. Você vai usar ele pra apontar pontos em $\R^3$.
\ColorRed{O eixo $z$ vai apontar fora do papel e pra cima.} Os pontos
de $\R^3$ com $z=0$, como $(3,2,0)$, vão estar exatamente sobre o
papel. Os pontos de $\R^3$ com $z=1$, como $(3,2,1)$, vão estar
flutuando exatamente 1cm acima sobre o papel -- e o ponto $(3,2,1)$
vai estar exatamente 1cm acima do ponto $(3,2,0)$.
É beeeem difícil desenhar à mão superfícies como o ``sombrero'' que eu
usei como exemplo no início da aula 5 -- link:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C3-taylor-2.pdf}
\ssk
\noindent
...mas é bem fácil desenhar versões super-low-tech dessas superfícies
de um jeito que \ColorRed{eu, você e os seus colegas que estão fazendo
este curso de Cálculo 3 com você} entendam.
\newpage
% (c3m201taylor2p 2 "sombrero")
% (c3m201taylor2 "sombrero")
O sombrero da aula 5 era esta superfície:
%
$$S = \setofst{(x,y,x)}{r = \sqrt{x^2 + y^2}, z = \sen(r)/r}:$$
%
% (find-node "(octave)Three-Dimensional Plots" "sombrero")
% (find-fline "/usr/share/info/mesh.png")
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C3/")
% (find-latexgimp-links "2020-1-C3/mesh")
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C3/mesh.png")
$$\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C3/mesh.png}$$
\newpage
% «postes» (to ".postes")
% (c3m201sups1p 6 "postes")
% (c3m201sups1 "postes")
{\bf Postes}
\ssk
Vamos começar com um exemplo mais simples que o sombrero, e que quase
todo mundo deve ter visto no final do curso de Geometria Analitica.
Seja $F(x,y) = x^2+y^2$ e vamos tentar visualizar o parabolóide
%
$$P = \setofst{(x,y,z)∈\R^2}{z=F(x,y)}.$$
Por exemplo, para $(x,y) = (3,2)$ temos $F(x,y) = 3^2+2^2 = 13$, e o
ponto da superfície $P$ que tem $x=3$ e $y=2$ é o ponto no qual
$z=13$... isto é, é o ponto $(3,2,13)$, que está 13cm acima do ponto
$(3,2,0)$, que está na superfície do papel.
Vamos representar isso graficamente escrevendo o número ``13'' no
ponto $(3,2)$ do nosso plano $(x,y)$. Esse número 13 vai querer dizer
``\ColorRed{imagine que tem um poste de 13cm aqui feito de madeira
infinitamente fina. O ponto no topo deste poste pertence à nossa
superfície}''.
\newpage
{\bf Postes (2)}
\ssk
Se escrevermos a altura dos postes em vários pontos de $\R^2$ com
coordenadas inteiras vamos obter o desenho abaixo à esquerda... e se a
nossa função fosse $F(x,y)=xy$ obteríamos o desenho abaixo à direita
-- \ColorRed{em que alguns postes têm altura negativa}.
% (find-LATEX "material-para-GA.tex" "pictureFxy")
\unitlength=15pt
\def\tcell#1{\lower\celllower\hbox to 0pt{\hss\cellfont#1\hss}}
\def\pictureFxy(#1,#2)(#3,#4)#5{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpictureb(#1,#2)(#3,#4){.7}%
{\color{GrayPale}%
\Line(#1,0)(#3,0)%
\Line(0,#2)(0,#4)%
}
\expr{pictFxy("#5")}
\end{picture}%
}}%
}
% (mpgp 24 "Fxy")
% (mpg "Fxy")
\def\smF#1{\sm{F(x,y) \\ #1} ⇒}
$\smF{\;\;\;=\,x^2+y^2}
\pictureFxy(-3,-2)(3,2){x*x+y*y}
\quad
\smF{\;\;\;=\,xy}
\pictureFxy(-3,-3)(3,3){x*y}
$
\newpage
{\bf Postes (2)}
\ssk
O sombrero do slide 5 foi desenhado exatamente por este método. Pra um
certo grid de pontos $(x,y)∈\R^2$ um programa calculou a altura do
poste em cada ponto -- e depois desenhos cabos grossos ligando o ponto
no topo de cada poste aos pontos no topo dos postes acima, abaixo, à
direita e à esquerda dele.
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m201sups1p 9 "exercicio-1")
% (c3m201sups1 "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\ssk
a) Faça o ``diagrama de numerozinhos'' (como os que acabamos de fazer)
para a função $F(x,y) = (x+y)·y$.
\msk
b) Leia o início da seção 3.3 do Bortolossi (no capítulo 3) e entenda o
conceito de curvas de nível. Faça o exercício 24 da página 113 do
capítulo 3. Repare que ele dá a fórmula para cada superfício só por
curiosidade -- o importante neste exercício é só a gente aprender a
relacionar superfícies desenhadas do jeito 3D usual com as suas curvas
de nível.
\msk
c) (Continuação do item a) Faça as curvas de nível de $z=F(x,y) =
(x+y)·y$ para $z=0$, $z=1$ e $z=2$.
% (find-bortolossi3page (+ -78 97) "3.3. Curvas de nível")
% (find-bortolossi3page (+ -78 98) "O desenho da curva de nível deve ser feito no plano")
% (find-bortolossi3page (+ -78 114) "Curvas de nível de seis funções diferentes")
% (find-bortolossi3page (+ -78 115) "Gráficos de seis funções diferentes")
\newpage
% «dica-cabos» (to ".dica-cabos")
% (c3m201sups1p 10 "dica-cabos")
% (c3m201sups1 "dica-cabos")
{\bf Dica: use os cabos}
\ssk
Este é o diagrama de numerozinhos para $F(x,y)=x^2+y^2$:
\unitlength=12pt
\msk
$\smF{\;\;\;=\,x^2+y^2}
\pictureFxy(-3,-2)(3,2){x*x+y*y}
$
Digamos que queremos usá-lo pra desenhar a curva de nível de $z=4$. Só
temos 4 postes com altura 4, e se só ligarmos estes 4 postes vamos ter
uma aproximação muito ruim pra curva de nível do $z=4$. Mas cada poste
com altura $2$ tem dois postes vizinhos a ele com altura 5, e você
pode marcar no olhômetro o ponto em que os cabos entre estes postes
passam pelo plano $z=4$. Fazendo isto você vai ter 12 pontos com
$z=4$, e ligando-os você consegue uma aproximação bem razoável para a
curva de nível que queremos.
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m201sups1p 11 "exercicio-2")
% (c3m201sups1 "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\ssk
Nas aulas passadas nós vimos como fazer algumas contas usando {\sl
diferenciais}. Agora vamos fazer a mesma coisa com a função $F(x,y)
= (x+y)y$.
Digamos que $z=F(x,y)=(x+y)y$, $x=g(t)$, $y=h(t)$.
\msk
a) Calcule $\frac{dz}{dt}$. Você deve obter uma equação da forma
``$\frac{dz}{dt} = \ldots$'' onde a expressão ``$\ldots$'' só menciona
as variáveis $x$ e $y$ e as ``variáveis'' (entre aspas! Vamos entender
os detalhes disto depois) $\frac{dx}{dt}$ e $\frac{dy}{dt}$. Chame
esta equação de [a].
\ssk
b) Multiplique os dois lados da [a] por $dt$ para cancelar os
``$dt$''s. Obtenha uma igualdade da forma ``$dz = \ldots dx + \ldots
dy$'', onde cada ``$\ldots$'' só depende das variáveis $x$ e $y$.
Chame a equação ``$dz = \ldots dx + \ldots dy$'' que você obteve de
[b].
\newpage
{\bf Spoilers}
\ssk
Exercício 2b:
% (find-latexgimp-links "2020-1-C3/aula9_exercicio_2b")
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C3/aula9_exercicio_2b.pdf")
$$\includegraphics[height=6cm]{2020-1-C3/aula9_exercicio_2b.pdf}$$
%\printbibliography
\end{document}
% __ __ _
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% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-superficies-1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-superficies-1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m201sups1"
% End: