|
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% (find-LATEX "2020-2-C2-subst-trig.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-2-C2-subst-trig.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2020-2-C2-subst-trig.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-subst-trig.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-subst-trig.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-2-C2-subst-trig"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2020-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2020-2-C2-subst-trig")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2020-2-C2-subst-trig.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf
% file:///tmp/2020-2-C2-subst-trig.pdf
% file:///tmp/pen/2020-2-C2-subst-trig.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2020-2-C2-subst-trig" "2" "c2m202st" "c2st")
%
% Video:
% (find-ssr-links "c2m202st" "2020-2-C2-subst-trig" "{naoexiste}")
% (code-video "c2m202stvideo" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2020-2-C2-subst-trig.mp4")
% (find-c2m202stvideo "0:00")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.tabelas» (to "tabelas")
% «.derivada-f-inv» (to "derivada-f-inv")
% «.derivada-f-inv-2» (to "derivada-f-inv-2")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
% «.exercicio-8-um-modo» (to "exercicio-8-um-modo")
% «.exercicio-8-um-modo-2» (to "exercicio-8-um-modo-2")
% «.exercicio-9» (to "exercicio-9")
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\D {\displaystyle}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\St{\sen θ}
\def\Ct{\cos θ}
\def\Sqs{\sqrt{1-s^2}}
\def\pfo #1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\pfot#1{\ensuremath{\textsf{[#1]}}}
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\Rd{\ColorRed}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m202stp 1 "title")
% (c2m202st "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.2}
\bsk
Aula nn: substituição trigonométrica
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
%\printbibliography
No final destes slides aqui
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202isp 20 "subst-trig-exemplo")
% (c2m202is "subst-trig-exemplo")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-int-subst.pdf#page=19
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-int-subst.pdf\#page=19}
}
nós começamos a ver como fazer certas
``substituições trigonométricas''...
E nós vimos que:
%
$$\D \ints {s \Sqs} = \intth {(\Ct)^2 \St}$$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m202stp 3 "exercicio-1")
% (c2m202st "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Generalize a igualdade dos slides passados.
Mais precisamente: digamos que $s=\senθ$, $α,β∈\Z$.
Encontre fórmulas para $γ$ e $δ$ em
%
$$\D \ints {s^α (\Sqs)^β} = \intth {(\Ct)^γ (\St)^δ}$$
que façam esta igualdade ser verdadeira $(∀α,β∈\Z)$.
\bsk
{\bf Exercício 2.}
Faça o mesmo para:
$$\D \intt {t^α (\sqrt{1+t^2})^β} = \intth {(\Ct)^γ (\St)^δ}$$
Aqui a substituição é $t=\tanθ$
(e os detalhes são mais difíceis)...
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Usando o que você aprendeu no exercício 1,
ajuste $α$ e $β$ aqui para que isto seja verdade:
$$\D \ints {s^α (\Sqs)^β} = \intth {(\Ct)^0 (\St)^0}$$
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m202stp 5 "exercicio-4")
% (c2m202st "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Expanda esta série de igualdades aqui ---
usando os valores adequados para $α$ e $β$, óbvio ---
pra obter uma série de igualdades que seja convincente pra
alguém que tem pouca prática com integração por substituição:
%
$$\begin{array}{rclr}
\D \ints {s^α (\Sqs)^β} &=& \D \intth {(\Ct)^0 (\St)^0} & \quad(s=\senθ)\\
&=& \D \intth 1 \\[12pt]
&=& θ \\
&=& \arcsen s \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m202stp 6 "exercicio-5")
% (c2m202st "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
A maioria dos livros de Cálculo têm uma ``tabela de derivadas'' e uma
``tabela de integrais''... as do próximo slide são do APEX Calculus.
Um jeito de \ColorRed{usar} as fórmulas dessas tabelas é dar nomes pra
elas e usar o `$[:=]$'. Por exemplo:
$$\begin{array}{rclr}
\pfo{ApexDiff12}
&=& \D \left( \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{\ln a} · \frac 1x \right) \\[12pt]
\pfo{ApexDiff12}[a:=99]
&=& \D \left( \frac{d}{dx} \log_{99} x = \frac{1}{\ln 99} · \frac 1x \right) \\
\end{array}
$$
\msk
Encontre uma fórmula da tabela de derivadas do APEX Calculus e uma da
tabela de integrais dele que se parecem com o que você descobriu no
exercício 4.
\msk
Nós vamos aprender como \ColorRed{demonstrar} muitas fórmulas dessas
tabelas.
\newpage
% «tabelas» (to ".tabelas")
% (c2m202stp 7 "tabelas")
% (c2m202st "tabelas")
\vspace*{-1.5cm}
% (find-latexscan-links "C2" "apex_calculus_table_of_integrals")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/apex_calculus_table_of_integrals.pdf")
%\includegraphics[height=8cm]{2020-2-C2/apex_calculus_table_of_integrals.pdf}
\includegraphics[width=9cm]{2020-2-C2/apex_calculus_table_of_integrals.pdf}
\newpage
% «derivada-f-inv» (to ".derivada-f-inv")
% (c2m202stp 8 "derivada-f-inv")
% (c2m202st "derivada-f-inv")
{\bf Derivada da função inversa}
Antes de continuar vamos rever uma fórmula que vocês devem ter visto
bem superficialmente em Cálculo 1: a fórmula para a derivada da função
inversa. A \ColorRed{demonstração} dela é esta aqui:
\def\DFID{
\left(
\begin{array}{l}
\text{Se $f(g(x))=x$ então:} \\[10pt]
%
\frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{d}{dx} x = 1 \\
\phantom{mm}\veq \\
f'(g(x))g'(x) \\[10pt]
%
\text{Portanto:} \\
g'(x) = \D \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}
\right)
}
$$\pfo{DIFD} = \DFID
$$
\newpage
% «derivada-f-inv-2» (to ".derivada-f-inv-2")
% (c2m202stp 8 "derivada-f-inv")
% (c2m202st "derivada-f-inv")
{\bf Derivada da função inversa (2)}
Um exemplo:
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\DFID
\bmat{ f(u):=e^u \\ f'(u):=e^u \\ g(x):=\ln x \\ g'(x):=\ln' x } =
\left(
\begin{array}{l}
\text{Se $e^{\ln x}=x$ então:} \\[10pt]
%
\frac{d}{dx} e^{\ln x} = \frac{d}{dx} x = 1 \\
\phantom{mm}\veq \\
e^{\ln x} \ln' x \\[10pt]
%
\text{Portanto:} \\
\ln' x = \D \frac{1}{e^{\ln x}} \\
\end{array}
\right)
$}
$
\bsk
Neste caso a \ColorRed{hipótese} do teorema da DFI é verdadeira,
então $\ln' x = \frac{1}{e^{\ln x}}$, e portanto $\ln' x = \frac 1x$.
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m202stp 10 "exercicio-6")
% (c2m202st "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
Calcule o resultado desta substituição:
$\pfo{DFID} \bmat{f(u) := \sen u \\ f'(u) := \cos u \\ g(x) := \arcsen s \\ g'(x) := \arcsen' s}$
\bsk
{\bf Exercício 7.}
Dê um nome para a \ColorRed{igualdade} que você acabou de obter.
Lembre que você \ColorRed{pode} usar nomes péssimos e/ou nada a ver,
como \pfot{Drácula}, \pfot{agshTg7s}, \pfot{Aliás}, \pfot{Não}, etc.
\bsk
{\bf Exercício 8.}
Dá pra usar identidades trigonométricas pra transformar o que você
obteve nos exercícios 6 e 7 numa demonstração do \pfo{ApexDiff19}.
Tente descobrir como.
\newpage
% «exercicio-8-um-modo» (to ".exercicio-8-um-modo")
% (c2m202stp 11 "exercicio-8-um-modo")
% (c2m202st "exercicio-8-um-modo")
{\bf Um modo de fazer o exercício 8}
Eu pus uma solução escrita à mão no próximo slide.
Alguns comentários:
\msk
Num primeiro momento nós sabemos qual é a fórmula \pfo{ApexDiff19},
mas ainda não sabemos como demonstrá-la; eu usei vários comentários em
português pra deixar isso claro pro leitor. Além disso a maioria das
demonstrações em Cálculo 2 são feitas por séries de igualdades em que
o leitor deve conseguir entender porque cada uma daquelas igualdades é
verdade, e em algumas das igualdades eu pus um comentário à direita
pra ajudar o leitor a entendê-la.
\newpage
A minha demonstração {\sl poderia} dizer algo como
%
$$\text{Portanto \;\;\;} \frac{d}{dx} \arcsen x = \D \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
%
no final, mas eu omiti isso. Como o ``$\frac{d}{dx} \arcsen x$''
aparece no início da série de igualdades e o
``$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$'' aparece no final dela eu considerei que
esse ``$\text{Portanto } \frac{d}{dx} \arcsen x =
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$'' era óbvio.
\newpage
% «exercicio-8-um-modo-2» (to ".exercicio-8-um-modo-2")
% (c2m202stp 12 "exercicio-8-um-modo-2")
% (c2m202st "exercicio-8-um-modo-2")
% (find-latexscan-links "C2" "20210407_demonstracao")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210407_demonstracao.pdf")
\vspace*{-1.25cm}
\includegraphics[height=9cm]{2020-2-C2/20210407_demonstracao.pdf}
\newpage
% «exercicio-9» (to ".exercicio-9")
% (c2m202stp 14 "exercicio-9")
% (c2m202st "exercicio-9")
{\bf Exercício 9.}
\ColorRed{Comece} a organizar as coisas que você já conseguiu demonstrar
numa tabela como as tabelas de derivadas e integrais do APEX
calculus, mas em que cada item é da forma
%
$$\pfo{Nome} \;\; = \;\; (\mathsf{expr_1} = \mathsf{expr_2})$$
A sua tabela de fórmulas não precisa ter as demonstrações,
mas 1) você deve saber demonstrar cada fórmula dela se precisar,
e 2) cada demonstração só pode depender fórmulas que aparecem
antes na tabela.
\msk
Obs: este exercício é ``permanente'', no sentido de que você
vai continuar a acrescentar mais fórmulas na sua tabela à medida
que você aprender a demonstrá-las.
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2020.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2020-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2020.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2020-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20210607_gr5
f 20210407_demonstracao
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
f apex_calculus_table_of_integrals
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-subst-trig veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-subst-trig pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m202st"
% End: