|
Warning: this is an htmlized version!
The original is here, and the conversion rules are here. |
% (find-LATEX "2021-1-C2-int-subst.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-1-C2-int-subst.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-1-C2-int-subst.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-int-subst.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-int-subst.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-1-C2-int-subst"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-1-C2-int-subst.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-1-C2-int-subst")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C2-int-subst.pdf")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C2-int-subst.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf
% file:///tmp/2021-1-C2-int-subst.pdf
% file:///tmp/pen/2021-1-C2-int-subst.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-1-C2-int-subst" "2" "c2m211is" "c2is")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.defs» (to "defs")
% «.subst-defs» (to "subst-defs")
% «.title» (to "title")
% «.intro» (to "intro")
% «.intro-2» (to "intro-2")
% «.intro-3» (to "intro-3")
% «.intro-4» (to "intro-4")
% «.exemplo-contas» (to "exemplo-contas")
% «.exemplo-contas-2» (to "exemplo-contas-2")
% «.subst-int-def» (to "subst-int-def")
% «.so-alguns-simbolos» (to "so-alguns-simbolos")
% «.hip-triv-true» (to "hip-triv-true")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.esquerda» (to "esquerda")
% «.hipotese» (to "hipotese")
% «.encontre-a-subst» (to "encontre-a-subst")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-2-cont» (to "exercicio-2-cont")
% «.gambiarras-2» (to "gambiarras-2")
% «.gambiarras-3» (to "gambiarras-3")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «video-1» (to ".video-1")
% (c2m211isa "video-1")
% (find-ssr-links "c2m211is" "2021-1-C2-int-subst" "3lSrJ6sCWJI")
% (code-eevvideo "c2m211is" "2021-1-C2-int-subst" "3lSrJ6sCWJI")
% (code-eevlinksvideo "c2m211is" "2021-1-C2-int-subst" "3lSrJ6sCWJI")
% (find-yttranscript-links "3lSrJ6sCWJI" "c2m211is")
% (find-c2m211isvideo "0:00")
% (find-c2m211isvideo "6:00" "a obrigação de dizer: eu não entendi esse passo")
% (find-c2m211isvideo "11:12" "Então dá pra acreditar nesse TFC2 daqui")
% (find-c2m211isvideo "11:22" "Eu tou definindo uma coisa chamada [S2]")
% (find-c2m211isvideo "12:20" "e essa parte de cima eu vou chamar de a hipótese")
% (find-c2m211isvideo "14:03" "se a gente substituir o f minúsculo")
% (find-c2m211isvideo "14:30" "f(c+d) viraria")
% (find-c2m211isvideo "15:02" "que lembrem, contém uma hipótese e 3 '='s")
% (find-c2m211isvideo "15:10" "vira uma coisa que tem o mesmo formato")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
%\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
%\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
%
%\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
%
%\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
%\def\True {\mathbf{V}}
%\def\False{\mathbf{F}}
%\def\D {\displaystyle}
% (find-LATEX "2017planar-has-defs.tex" "sa-and-ga")
\def\sa#1#2{\expandafter\def\csname myarg#1\endcsname{#2}}
\def\ga#1{\csname myarg#1\endcsname}
\def\Rd#1{{\ColorRed{#1}}}
\def\Rdq {{\ColorRed{?}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «subst-defs» (to ".subst-defs")
% (find-LATEX "2020-1-C2-TFC2-2.tex" "subst-defs")
\def\pfo#1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\Rd{\ColorRed}
\def\D{\displaystyle}
% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}
\def\iequationbox#1#2{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
\end{array}
\right)
}
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxTT#1#2#3#4#5#6#7{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\multicolumn{3}{l}{\text{#7}} \\%[5pt]
\end{array}
\right)
}}
% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.
\def\TFCtwo{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
{\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
\iequationbox {\intx{F'(x)}}
{F(x)}
}
\def\Sone{
\isubstbox
{\Difmx{a}{b}{f(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
\isubstbox
{f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{f(u)} {\intu{f'(u)}}
}
\def\Stwo{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{Obs: $u=g(x)$.}
}
\def\Sthree{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
\iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\intu{f(u)}
\qquad [u=g(x)]
}
% [u=g(x)]
}
\def\Sthree{
\pmat{
\D \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
}}
\def\SthreeI{
\pmat{
\D \intx{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \intu{f(u)} \\
\text{Obs: $u=g(x)$.} \\
}}
\def\Subst#1{\bmat{#1}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m211isp 1 "title")
% (c2m211isa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.1}
\bsk
Aula 21: integração por substituição
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «intro» (to ".intro")
% (c2m211isp 2 "intro")
% (c2m211isa "intro")
{\bf Introdução}
\ssk
No último PDF, que era sobre os dois TFCs,
nós começamos a ver que podíamos calcular integrais
sem os limites de integração e colocá-los só no final,
e vimos que várias das nossas fórmulas de integração
vão tem uma versão pra integrais definidas e uma
outra pra integrais indefinidas...
Por exemplo:
\def\Ps #1{\left( #1 \right) }
\def\ps #1{ ( #1 ) }
\def\nops#1{ #1 }
\def\righte{\quad\text{e}}
$$
\begin{array}{rc}
\text{TFC2:}
& \Ps{\begin{array}{rcl}
\D \Intx{a}{b}{F'(x)} &=& \difx{a}{b}{F(x)}
\end{array}}
\\[15pt]
\text{TFC2I:}
& \Ps{\begin{array}{rcl}
\D \intx {F'(x)} &=& {F(x)}
\end{array}}
\end{array}
$$
\newpage
% «intro-2» (to ".intro-2")
% (c2m211isp 3 "intro-2")
% (c2m211isa "intro-2")
{\bf Introdução (2)}
\ssk
Lembre que nós às vezes dávamos nomes como
[TFC2] e [TFC2I] pras nossas fórmulas, pra
ficar mais fácil usá-las em subtituições...
Então:
$$
\begin{array}{rcc}
\text{[TFC2]}
& =
& \Ps{\begin{array}{rcl}
\D \Intx{a}{b}{F'(x)} &=& \difx{a}{b}{F(x)}
\end{array}}
\\[15pt]
\text{[TFC2I]}
& =
& \Ps{\begin{array}{rcl}
\D \intx {F'(x)} &=& {F(x)}
\end{array}}
\end{array}
$$
\newpage
% «intro-3» (to ".intro-3")
% (c2m211isp 4 "intro-3")
% (c2m211isa "intro-3")
{\bf Introdução (3)}
\ssk
Uma das técnicas que vai ser mais úteis pra calcular
integrais complicadas é {\sl integração por substituição},
em que a gente inventa uma variável nova, substitui
ela de vários jeitos (!!!) na integral original, e com
isso a gente consegue transformar a integral anterior
numa outra integral mais simples, mas que é em outra
variável e tem outros limites de integração...
\msk
\newpage
% «intro-4» (to ".intro-4")
% (c2m211isp 5 "intro-4")
% (c2m211isa "intro-4")
{\bf Introdução (4)}
\ssk
Aqui as duas figuras à direita têm a mesma área.
A primeira corresponde a uma integral mais complicada
que a segunda, e pra passar da primeira pra segunda
a gente amassou a figura na vertical e esticou ela
na horizontal de um modo que não alterou a área dela...
% (c2m202tfcp 9 "intro")
% (c2m202tfca "intro")
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intx{π/4}{π/2}{2 \sen 2x}
&=&
\Area\left(
% (find-latexscan-links "C2" "20210316_sen_2")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210316_sen_2.pdf")
\myvcenter{\includegraphics[height=2cm]{2020-2-C2/20210316_sen_2.pdf}}
\right)
\\
\D \Intx{π/2}{π}{\sen x}
&=&
\Area\left(
% (find-latexscan-links "C2" "20210316_sen_1")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210316_sen_1.pdf")
\myvcenter{\includegraphics[height=2cm]{2020-2-C2/20210316_sen_1.pdf}}
\right)
\\
\end{array}
\\
$$
\newpage
% «exemplo-contas» (to ".exemplo-contas")
% (c2m211isp 6 "exemplo-contas")
% (c2m211isa "exemplo-contas")
% (c2m202isp 9 "exemplo-gamb")
% (c2m202isa "exemplo-gamb")
{\bf Um exemplo com contas}
Isto aqui é um exemplo de como contas com integração
por substituição costumam ser feitas na prática:
%
$$\scalebox{0.95}{$
\begin{array}{l}
\D \intx{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \intu {2 (\cos u) · \frac13}
\\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \intu{\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen u \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen (3x+4) \\
\end{array}
$}
$$
É necessário indicar em algum lugar que a relação
entre a variável nova e a antiga é esta: $u=3x+4$.
\newpage
% «exemplo-contas-2» (to ".exemplo-contas-2")
% (c2m211isp 7 "exemplo-contas-2")
% (c2m211isa "exemplo-contas-2")
{\bf Outro exemplo com contas}
%
\def\S{\sen x}
\def\C{\cos x}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
%
$$\begin{array}[t]{l}
\D \intx{(\S)^5 (\C)^3} \\
\D = \;\; \intx{(\S)^5 (\C)^2 (\C)} \\
\D = \;\; \intx{(\und{\S}{s})^5 \und{(\C)^2}{1-s^2} \und{(\C)}{\frac{ds}{dx}}} \\
\D = \;\; \ints{s^5 (1-s^2)} \\
\D = \;\; \ints{s^5 - s^7} \\
\D = \;\; \frac{s^6}{6} - \frac{s^8}{8} \\
\D = \;\; \frac{(\S)^6}{6} - \frac{(\S)^8}{8} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{c}
\\ \\
\bmat{s = \sen x \\
\frac{ds}{dx} = \cos x \\
\sen x = s \\
(\cos x)^2 = 1 - s^2 \\
\cos x \, dx = ds
}
\end{array}
$$
\newpage
% «subst-int-def» (to ".subst-int-def")
% (c2m211isp 8 "subst-int-def")
% (c2m211isa "subst-int-def")
{\bf Substituição na integral definida}
Eu vou chamar a \ColorRed{demonstração} abaixo de \pfo{S2}.
Ela é uma série de três igualdades: o `$=$' de cima,
o `$=$' de baixo, e o `$=$' da esquerda (que é um `$\,\rotl{=}$').
Eu vou chamar o ``$F'(u)=f(u)$'' de a \ColorRed{hipótese} do \pfo{S2}.
Obs: nós \ColorRed{ainda} não acreditamos nessa demonstração...
vamos verificar as igualdades dela daqui a alguns slides.
%
% (c2m202isp 3 "def-S2-S2I")
% (c2m202isa "def-S2-S2I")
%
$$\begin{array}{rcc}
\pfo{S2} &=& \Stwo \\
% \\
% \pfo{S2I} &=& \StwoI \\
\end{array}
$$
\newpage
% «so-alguns-simbolos» (to ".so-alguns-simbolos")
% (c2m211isp 9 "so-alguns-simbolos")
% (c2m211isa "so-alguns-simbolos")
Lembre que dá pra substituir só alguns símbolos...
Por exemplo:
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(2x)}} {\Intx{a}{b}{f(2x)·2}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{2a}{2b}{F(u)}} {\Intu{2a}{2b}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[g(x):=2x] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «hip-triv-true» (to ".hip-triv-true")
% (c2m211isp 10 "hip-triv-true")
% (c2m211isa "hip-triv-true")
Também podemos substituir o $f$ por $F'$...
E aí a hipótese passa a ser ``trivialmente verdadeira'':
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{F'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{F'(u)}}
{Se $F'(u)=F'(u)$ então:}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[f(u):=F'(u)] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m211isp 11 "exercicio-1")
% (c2m211isa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Lembre que:
%
$$\pfo{TFC2}
\;\;=\;\;
\Ps{
\D \Intx{a}{b}{\ddx F(x)} \;\;=\;\; \difx{a}{b}{F(x)}
}
$$
\msk
Calcule os resultados destas expansões:
a) $\pfo{TFC2} \bmat{F(x):=F(g(x))}$
b) $\pfo{TFC2} \bmat{x:=u} \bmat{a:=g(a) \\ b:=g(b)}$
\bsk
\bsk
...e verifique que \ColorRed{se $f(u)=F'(u)$ então}:
c) o que você obteve no (a) prova o `$=$' de cima da \pfo{S2},
d) o que você obteve no (b) prova o `$=$' de baixo da \pfo{S2},
\newpage
% «esquerda» (to ".esquerda")
% (c2m211isp 12 "esquerda")
% (c2m211isa "esquerda")
O `$\,\rotl{=}$' à esquerda na \pfo{S2}
é bem fácil de verificar... ó:
$$\begin{array}{rcl}
\difx{a}{b}{F(g(x))} &=& F(g(b)) - F(g(a)) \\
&=& \difu{g(a)}{g(b)}{F(u)}
\end{array}
$$
\bsk
\bsk
Se você conseguiu fazer todos os itens
do exercício 1 e conseguiu entender isso aí
então \ColorRed{agora} você entende o $\pfo{S2}$ como uma
demonstração --- você entende todas as
igualdades dele.
\newpage
% «hipotese» (to ".hipotese")
% (c2m211isp 13 "hipotese")
% (c2m211isa "hipotese")
{\bf Pra que serve a hipótese do \pfo{S2}?}
Ela serve pra gente lidar com `$f$'s que a gente
não sabe integrar! Por exemplo:
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{\tan(g(x))\tan'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{\tan(u)}}
{Se $F'(u)=F'(u)$ então:}
}
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(2x)}} {\Intx{a}{b}{\tan(2x)·2}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{2a}{2b}{\tan(u)}}
{\ColorRed{Se $F'(u)=\tan u$ então:}}
}
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
% \pfo{S2}[f(x):=\tan x] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\pfo{S2}\bmat{f(x):=\tan x \\ g(u):=2u} \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Uma versão do \pfo{S2} para integrais indefinidas}
Compare... e repare no ``\ColorRed{Obs: $u = g(x)$}''.
%
\def\StwoItmp{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{\ColorRed{Obs: $u=g(x)$.}}
}
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2I} \;\;=\;\; \StwoItmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Versões sem a parte da esquerda}
Compare:
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S3} \;\;=\;\; \Sthree \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Versões sem a parte da esquerda (2)}
...e compare:
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2I} \;\;=\;\; \StwoI \\
[50pt]
\pfo{S3I} \;\;=\;\; \SthreeI \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «encontre-a-subst» (to ".encontre-a-subst")
% (c2m211isp 17 "encontre-a-subst")
% (c2m211isa "encontre-a-subst")
As pessoas costumam usar variações da $\pfo{S3I}$,
geralmente sem darem um nome pra função $g(u)$...
Lembre que em vários exercícios que nós já fizemos
ficava implícito que vocês tinham que descobrir qual
era a substituição certa... por exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
\difx{4}{5}{x^2} &=& \Rdq \\[5pt]
\Ps{\difx{a}{b}{f(x)} = f(b)-f(a)} \bmat{f(x):=\Rdq \\ a:=\Rdq \\ b:=\Rdq} &=& \Rdq
\\[20pt]
\Ps{\difx{a}{b}{f(x)} = f(b)-f(a)} \bmat{f(x):=x^2 \\ a:=4 \\ b:=5} &=&
\Ps{\difx{4}{5}{x^2} = 5^2-4^2} \\
[20pt]
\difx{4}{5}{x^2} &=& 5^2 - 4^2 \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m211isp 18 "exercicio-2")
% (c2m211isa "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Nos livros e nas notas de aula que você vai encontrar por aí
o ``\ColorRed{Obs: $u = g(x)$}'' da nossa \pfo{S3I} quase sempre aparece escrito
de (ZILHÕES DE!!!) outros jeitos, então o melhor que a gente
pode fazer é tentar encontrar as substituições que transformam
a nossa \pfo{S3I} em algo ``mais ou menos equivalente'' às
igualdades complicadas que eu mostrei no vídeo e que eu disse
que a gente iria tentar decifrar...
\msk
Nos itens a e b deste exercício você vai tentar encontrar
as substituições --- que eu vou escrever como `$[\Rdq]$' --- que
transformam a $\pfo{S3I}$ em algo ``mais ou menos equivalente''
às igualdades da direita.
\newpage
% «exercicio-2-cont» (to ".exercicio-2-cont")
% (c2m211isp 19 "exercicio-2-cont")
% (c2m211isa "exercicio-2-cont")
{\bf Exercício 2 (cont.)}
Encontre as substituições `$[\Rdq]$'s que façam com que:
\bsk
a) $\SthreeI [\Rdq]$ vire algo como
$\pmat{ \D \intx{2 \cos(3x+4)} \\
\rotl{=} \\
\D \intu {2 (\cos u) · \frac13} \\
}$
\msk
b) $\pfo{S3I} \, [\Rdq]$ vire algo como
$\pmat{ \D \intx{(\S)^5 (1 - \S^2) (\C)} \\
\rotl{=} \\
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
}$
\newpage
{\bf Gambiarras}
Em geral é mais prático a gente usar umas gambiarras
como ``$\frac{du}{dx}dx = du$'' ao invés do método ``mais honesto''
que a gente usou no exercício 2...
\msk
Às vezes essas gambiarras vão usar uma versão disfarçada
do teorema da derivada da função inversa: $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{du}}$,
e umas outras manipulações esquisitas de `$dx$'s e `$du$'s
que só aparecem explicadas direito nos capítulos sobre
``diferenciais'' dos livros de Cálculo.
\msk
Nós vamos começar usando elas como gambiarras mesmo,
e acho que nesse semestre não vai dar pra ver como
traduzir cada uma delas pra algo formal...
\newpage
% «gambiarras-2» (to ".gambiarras-2")
% (c2m211isp 21 "gambiarras-2")
% (c2m211isa "gambiarras-2")
{\bf Gambiarras (2)}
Quando a gente está começando e ainda não tem prática
este modo de por anotações embaixo de chaves ajuda muito:
%
$$%\begin{array}{c}
\D \int (\und{\S}{s})^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
% \rotl{=} \\
\;\; = \;\;
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
% \end{array}
$$
Quando a gente já tem mais prática acaba sendo melhor
pôr todas as anotações dentro de caixinhas --- por exemplo:
$$\bmat{
\sen x = s \\
\frac{ds}{dx} = \frac{d}{dx} \sen x = \cos x \\
\cos x \, dx = ds \\
}
$$
\newpage
% «gambiarras-3» (to ".gambiarras-3")
% (c2m211isp 22 "gambiarras-3")
% (c2m211isa "gambiarras-3")
{\bf Gambiarras (3)}
Essas caixinhas, como
%
$$\bmat{
\sen x = s \\
\frac{ds}{dx} = \frac{d}{dx} \sen x = \cos x \\
\cos x \, dx = ds \\
}
$$
vão ser os únicos lugares em que nós vamos permitir
esses `$dx$'s e `$ds$' ``soltos'', que não estão nem em
derivadas e nem associados a um sinal `$∫$'...
\msk
E esses `$dx$'s e `$ds$' ``soltos'' só vão aparecer em linhas
que dizem como traduzir uma expressão que termina em `$dx$'
numa integral em $x$ pra uma expressão que termina em `$ds$'
numa integral na \ColorRed{variável} $s$.
\msk
Nós vamos \ColorRed{evitar} usar $s$ como uma \ColorRed{abreviação} para $\sen x$.
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações}
Tudo numa caixinha de anotações é \ColorRed{consequência}
da primeira linha dela, que é a que define a variável
nova. Por exemplo, se definimos a variável nova como
$c=\cos x$ então $\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x = - \sen x$, e podemos
reescrever isso na ``versão gambiarra'' como:
$dc = - \sen x \, dx$, \ColorRed{e também como} $\sen x \, dx = (-1) dc$.
\msk
A caixinha vai ser:
%
$$\bmat{c = \cos x \\
\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x = - \sen x \\
dc = - \sen x \, dx \\
\sen x \, dx = (-1) \, dc \\
}
$$
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (2)}
\ColorRed{Muito importante:} cada linha das caixinhas
é uma série de igualdades --- por exemplo
$𝐬{expr}_1 = 𝐬{expr}_2 = 𝐬{expr}_3$ --- e cada uma dessas
expressões $𝐬{expr}_1, \ldots, 𝐬{expr}_n$ só pode mencionar
\ColorRed{ou} a variável antiga \ColorRed{ou} a variável nova...
\msk
Então:
\msk
\ColorRed{Bom:} $dc = - \sen x \, dx$
\ColorRed{Mau:} $\frac{1}{- \sen x} dc = dx$
\ColorRed{Bom:} $\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x$
\bsk
Truque: em $\frac{dc}{dx}$ o $c$ faz o papel de uma \ColorRed{abreviação}
para $\cos x$, não de uma variável.
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (3)}
Quando a gente faz algo como
%
$$\D \int (\und{\S}{s})^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
\;\; = \;\;
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
$$
Cada chave é como uma igualdade da caixa de anotações
``escrita na vertical''... por exemplo, ``$\und{\S}{s}$'' é $s = \sen x$.
\msk
As outras chaves correspondem a outras igualdades da
caixa de anotações --- \ColorRed{que têm que ser consequências
desse $s = \sen x$.}
\newpage
\vspace*{-0.5cm}
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (3)}
Isto aqui está errado:
%
$$\D \int %(\und{\S}{s})^5
( \S )^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
\;\; = \;\;
\D \ints{(\ColorRed{\S})^5 (1-s^2)} \\
$$
À esquerda do `$=$' a gente tem uma integral na qual
só aparece a ``variável antiga'', que é $x$, e à direita do `$=$'
a gente tem uma integral na qual aparecem tanto a variável
antiga, $x$, quanto a nova, que é $s$... \quad \frown
\msk
Lembre que tanto o truque das caixinhas quanto o truque das
chaves servem pra gente conseguir aplicar a $\pfo{S3I}$ de um jeito
mais fácil, e no $\pfo{S3I}$ uma integral usa só a variável antiga
e a outra usa só a nova.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m211isp 27 "exercicio-3")
% (c2m211isa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Leia o início da seção 6.1 do APEX Calculus
e faça os exercíos 25 até 32 da página 280 dele. Link:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 263) "6.1 Substitution")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 280) "Exercises 6.1")
% (find-twusfile "2021.1-C2/")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf}
}
\bsk
\bsk
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m211isp 27 "exercicio-4")
% (c2m211isa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Leia o início da seção 6.1 do Martins/Martins
e refaça os exercícios resolvidos 1 a 6 dele
usando ou as nossas anotações sob chaves ou
as nossas anotações em caixinhas. Link:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "martins-martins")
% (find-martinscdipage (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscditext (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf}
}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m211isp 28 "exercicio-5")
% (c2m211isa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
\msk
A questão 2 da P1 do semestre passado dizia que:
%
\begin{quote}
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de
mudanças de variável (ou: ``por uma sequência de integrações por
substituição'') pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
\end{quote}
E ela pedia pra vocês verificarem isso num caso específico.
Tente fazer essa questão olhando poucas vezes pro gabarito dela.
Link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202p1p 4)
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4}
}
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
\newpage
\sa{x}{xx}
\sa{u}{uu}
\sa{gx}{g(xx)}
\sa{nw}{F(g(x))}
\sa{ne}{f(g(x))g'(x)}
\sa{sw}{F(u)}
\sa{se}{f(u)}
\def\StwoIsetargs#1{\StwoIsetargsss#1}
\def\StwoIsetargsss#1#2#3#4#5#6#7{
\sa{x}{#1} \sa{u}{#2} \sa{gx}{#3}
\sa{nw}{#4} \sa{ne}{#5}
\sa{sw}{#6} \sa{se}{#7}
}
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
\StwoIsetargsss {xx} {uu} {gguu} {NW} {NE} {SW} {SE}
\StwoIsetargsss
{v} {w} {\sqrt{v}}
{F(\sqrt{v})} {\cos(2+\sqrt{v})·(2\sqrt{v})^{-1}}
{F(w)} {\cos(2+w)}
\def\StwoItmp{
\isubstboxTT
{\ga{nw}} {\int \ga{ne} \, d\ga{x}}
{\ph{m}}
{\ga{sw}} {\int \ga{se} \, d\ga{u}}
{Se $F'(\ga{u})=\ga{se}$ então:}
{Obs: $\ga{u}=\ga{gx}$.}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[f(u):=F'(u)] \;\;=\;\; \StwoItmp \\
\end{array}
$}
$$
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.1-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-1-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.1-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-1-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-int-subst veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-int-subst pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2is"
% ee-tla: "c2m211is"
% End: