|
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% (find-LATEX "2021-1-C2-subst.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-1-C2-subst.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-1-C2-subst.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-subst.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-subst.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-1-C2-subst"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-1-C2-subst.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-1-C2-subst")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C2-subst.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf
% file:///tmp/2021-1-C2-subst.pdf
% file:///tmp/pen/2021-1-C2-subst.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-1-C2-subst" "2" "c2m211subst" "c2s")
%
% Video:
% (find-ssr-links "c2m211subst" "2021-1-C2-subst" "{naoexiste}")
% (code-video "c2m211substvideo" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C2-subst.mp4")
% (find-c2m211substvideo "0:00")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.corrigir-igual» (to "corrigir-igual")
% «.subst-box» (to "subst-box")
% «.subst-zoomed» (to "subst-zoomed")
% «.testar-hipoteses» (to "testar-hipoteses")
% «.regra-da-cadeia» (to "regra-da-cadeia")
% «.regra-da-cadeia-2» (to "regra-da-cadeia-2")
% «.acrescentamos» (to "acrescentamos")
% «.dicas-subst» (to "dicas-subst")
% «.igual-depois-de-subst» (to "igual-depois-de-subst")
% «.dicas-subst-2» (to "dicas-subst-2")
% «.dicas-subst-3» (to "dicas-subst-3")
% «.dicas-subst-5» (to "dicas-subst-5")
% «.dicas-subst-6» (to "dicas-subst-6")
% «.exercicios-1-e-2» (to "exercicios-1-e-2")
% «.somatorios» (to "somatorios")
% «.soma-PG» (to "soma-PG")
% «.somatorio-expansao» (to "somatorio-expansao")
% «.somatorios-exercs» (to "somatorios-exercs")
% «.para-todo-e-existe» (to "para-todo-e-existe")
% «.visualizando-fas-e-exs» (to "visualizando-fas-e-exs")
% «.visualizando-fas-e-exs-2» (to "visualizando-fas-e-exs-2")
% «.visualizando-fas-e-exs-3» (to "visualizando-fas-e-exs-3")
% «.sobre-treinar-muito» (to "sobre-treinar-muito")
% «.depoimento-pessoal» (to "depoimento-pessoal")
% «.depoimento-pessoal-2» (to "depoimento-pessoal-2")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\D {\displaystyle}
\def\V {\mathbf{V}}
\def\F {\mathbf{F}}
\def\ph#1 {\phantom{#1}}
\def\ph {\phantom}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «subst-defs» (to ".subst-defs")
% (find-LATEX "2020-1-C2-TFC2-2.tex" "subst-defs")
\def\pfo#1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\Rd{\ColorRed}
\def\D{\displaystyle}
% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}
\def\iequationbox#1#2{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
\end{array}
\right)
}
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxTT#1#2#3#4#5#6#7{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\multicolumn{3}{l}{\text{#7}} \\%[5pt]
\end{array}
\right)
}}
% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.
\def\TFCtwo{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
{\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
\iequationbox {\intx{F'(x)}}
{F(x)}
}
\def\Sone{
\isubstbox
{\Difmx{a}{b}{f(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
\isubstbox
{f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{f(u)} {\intu{f'(u)}}
}
\def\Stwo{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{Obs: $u=g(x)$.}
}
\def\Sthree{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
\iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\intu{f(u)}
\qquad [u=g(x)]
}
% [u=g(x)]
}
\def\Sthree{
\pmat{
\D \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
}}
\def\SthreeI{
\pmat{
\D \intx{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \intu{f(u)} \\
\text{Obs: $u=g(x)$.} \\
}}
\def\Subst#1{\bmat{#1}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m211substp 1 "title")
% (c2m211subst "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.1}
\bsk
% Aula nn: ponha o título aqui
Aula 1: O operador de substituição `$[:=]$'
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «corrigir-igual» (to ".corrigir-igual")
% (c2m211substp 2 "corrigir-igual")
% (c2m211substa "corrigir-igual")
{\bf ``Eu só vou corrigir os sinais de igual''}
Uma dos slogans que eu mais vou repetir quando estiver tirando dúvidas
ou corrigindo exercícios de vocês é ``\ColorRed{Eu só vou corrigir os
sinais de igual}''.
Em Cálculo 1 muita gente se enrola com a fórmula da regra da cadeia --
porque se enrola na hora de substituir os `$f$'s, `$g$'s, `$f'$'s e
`$g'$'s nela... uma das fórmulas mais importantes, e mais difíceis de
acreditar, de Cálculo 2 é a da \ColorRed{Integração por Substituição},
que é BEEEEM pior do que a Regra da Cadeia. O \ColorRed{operador de
substituição}, `$[:=]$', que não tem \ColorRed{nada a ver} com a
Integração por Substituição, vai nos ajudar bastante a aplicar essas
fórmulas passo a passo sem a gente se perder.
\newpage
% «subst-box» (to ".subst-box")
% (c2m211substp 3 "subst-box")
% (c2m211substa "subst-box")
Nós vamos reescrever isto:
\msk
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Se substituirmos $x$ por $10a+b$
e $y$ por $3c+4d$ em:
%
$$x^y + 2x$$
%
obtemos:
%
$$(10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)$$
\end{minipage}}
\end{center}
\msk
deste jeito:
$$(x^y+2x) \bmat{x:=10a+b \\ y:=3c+4d} = (10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)$$
\newpage
% «subst-zoomed» (to ".subst-zoomed")
% (c2m211substp 4 "subst-zoomed")
% (c2m211substa "subst-zoomed")
Repare: em
%
$$\scalebox{2.0}{$
\begin{array}{l}
(x^y+2x) \bmat{x:=10a+b \\ y:=3c+4d} \\[12pt]
= (10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)
\end{array}
$}
$$
a notação é
%
$$\text{(expressão original)[substituições] = (expressão nova)}$$
e cada uma das substituições é da forma:
%
$$\text{variável} := \text{expressão}$$
\newpage
% «testar-hipoteses» (to ".testar-hipoteses")
% (c2m211substp 5 "testar-hipoteses")
% (c2m211substa "testar-hipoteses")
A notação `$[:=]$' vai ser bem prática pra gente fazer hipóteses e
testá-las. Por exemplo, digamos que queremos testar se 2 e 3 são
soluções da equação $x+2=5$...
%
$$\begin{array}{rcl}
(x+2=5)[x:=2] &=& (2+2=5) \\
&=& (4=5) \\
&=& \False \\[5pt]
(x+2=5)[x:=3] &=& (3+2=5) \\
&=& (5=5) \\
&=& \True \\[5pt]
\end{array}
$$
Note que os `$=$'s das expressões entre parênteses são
\ColorRed{comparações} -- como a operação `\texttt{==}' do \texttt{C}
-- e retornam ou $\True$ (``Verdadeiro'') ou $\False$ (``Falso'').
\newpage
% «regra-da-cadeia» (to ".regra-da-cadeia")
% (c2m211substp 6 "regra-da-cadeia")
% (c2m211substa "regra-da-cadeia")
{\bf Exemplo: regra da cadeia}
Primeiro vou inventar uma abreviação para a regra da cadeia.
\ColorRed{Obs: vários dos truques que vamos usar agora são inspirados
em notações de Teoria da Computação e não são padrão!!! Não use eles
em outros cursos!!! {\bf Os professores podem não entender e podem
ficar putos!!!}}
\msk
O `$:=$' abaixo é uma \ColorRed{atribuição}, como o `\texttt{=}' do
\texttt{C}. A linha abaixo quer dizer: ``\ColorRed{a partir de agora}
o valor de $[RC]$ vai ser a \ColorRed{expressão} entre os parênteses
grandes.
%
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
\newpage
% «regra-da-cadeia-2» (to ".regra-da-cadeia-2")
% (c2m211substp 7 "regra-da-cadeia-2")
% (c2m211substa "regra-da-cadeia-2")
{\bf Exemplo: regra da cadeia (2)}
Continuando...
%
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
Então:
%
$$\begin{array}{rcl}
[RC] \bmat{f := \sen} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := \sen u} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := u^4 \\ f'(u) := 4u^3 } &=&
\left( \ddx (g(x))^4 = 4(g(x))^3g'(x) \right) \\
\end{array}
$$
Repare que agora estamos substituindo o `$f$' \ColorRed{como se ele
fosse uma variável} -- mas precisamos de gambiarras novas. No caso
do meio escrevemos $f(u) := \sen u$ ao invés de $f := \sen$, e...
\newpage
% «acrescentamos» (to ".acrescentamos")
% (c2m211substp 8 "acrescentamos")
% (c2m211substa "acrescentamos")
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
$$\begin{array}{rcl}
[RC] \bmat{f := \sen} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := \sen u} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := u^4 \\ f'(u) := 4u^3 } &=&
\left( \ddx (g(x))^4 = 4(g(x))^3g'(x) \right) \\
\end{array}
$$
%
...e no caso de baixo acrescentamos uma linha ``$f'(u) := 4u^3$'' na
lista de substituições. Essa linha é uma \ColorRed{consequencia} da
linha ``$f(u) := u^4$'', e ela está lá só pra ajudar a gente a se
enrolar menos.
\newpage
% «dicas-subst» (to ".dicas-subst")
% (c2m211substp 9 "dicas-subst")
% (c2m211substa "dicas-subst")
% (c2m202isp 6 "dicas-subst")
% (c2m202isa "dicas-subst")
% «igual-depois-de-subst» (to ".igual-depois-de-subst")
% (c2m211substp 9 "igual-depois-de-subst")
% (c2m211substa "igual-depois-de-subst")
{\bf Uma regra estranha: o `$=$' depois da operação `$[:=]$'}
\ssk
Nas duas substituições abaixo a primeira está certa
e a segunda está errada:
%
$$\begin{array}{rll}
(x + 2 = 5) \, [x:=4] &=& (4 + 2 = 5) \\
(x + 2 = 5) \, [x:=4] &=& (6 = 5) \\
\end{array}
$$
O `$=$' depois de uma substituição tem um significado especial: a
pronúncia dele é ``o resultado da substituição à esquerda é a
expressão à direita'', e na segunda linha a gente fez mais coisas além
de só substituir todos os `$x$'s por `4's.
Note que isto aqui está certo:
%
$$\begin{array}{rll}
(x + 2 = 5) \, [x:=4] &=& (4 + 2 = 5) \\
&=& (6 = 5) \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf A explicação pra regra estranha}
Vocês já devem ter visto em Prog que vocês podem definir as funções de
vocês, e nas matérias de Matemática vocês também vão aprender a fazer
definições de vários tipos. A operação `$[:=]$' que nós estamos usando
é uma operação \ColorRed{que eu defini} baseada em operações parecidas
com ela que aparecem em muitos lugares, mas que geralmente ficam meio
disfarçadas --- e que ficam disfarçadas de ``óbvias''.
Então, esse nosso `$[:=]$' é uma operação nova, e a gente tem que
definir todas as regras de como ela vai funcionar. Tem vários detalhes
em que a gente poderia definir se ela iria funcionar de um jeito ou de
outro, e eu \ColorRed{escolhi} que ela vai funcionar do jeito que vai
nos ajudar mais a fazer contas fáceis de entender...
\ColorRed{...e eu vi que a restricão do slide anterior faz com que as
pessoas (incluindo eu!) se enrolem muito menos nas contas.}
\newpage
{\bf A explicação pra regra estranha (2)}
No primeiro vídeo deste semestre eu mostrei que o SymPy, que e' um
programa de computação simbólica, tem uma espécie de `$[:=]$', que ele
chama de `{\tt subs}'. A definição do {\tt subs} no SymPy é MUITO mais
difícil do que a gente vai precisar aqui em Cálculo 2 --- ela envolve
recursão, ela tem um truque pra lidar do jeito ``certo'' com variáveis
livres, e ela tem um truque complicadíssimo --- que o Bruno Macedo,
que foi monitor no semestre passado, descobriu e me mostrou --- pra
substituir coisas que não são só variáveis.
\newpage
% «dicas-subst-2» (to ".dicas-subst-2")
% (c2m211substp 10 "dicas-subst-2")
% (c2m211substa "dicas-subst-2")
{\bf Outro exemplo de uso errado do `$[:=]$'}
Aqui a primeira substituição está certa e a segunda está errada...
Na segunda um `$u$' foi substituido por `$e^{2x}$'!!!!!!!! $\;\;\;=\!($
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\SthreeI [g(x):=e^{2x}] & = &
\pmat{ \D \intx{f(2^{2x})(2e^{2x})} \\
\veq \\
\D \intu{f(u)} \\
\text{Obs: $u=e^{2x}$.} \\
}
\\
\\
\SthreeI [g(x):=e^{2x}] & = &
\pmat{ \D \intx{f(2^{2x})(2e^{2x})} \\
\veq \\
\D \intu{f(\ColorRed{e^{2x}})} \\
\text{Obs: $u=e^{2x}$.} \\
}
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «dicas-subst-3» (to ".dicas-subst-3")
% (c2m211substp 11 "dicas-subst-3")
% (c2m211substa "dicas-subst-3")
{\bf Mais dicas sobre a operação `$[:=]$' (3)}
No primeiro PDF do curso nós usamos a operação `$[:=]$' para testar
EDOs como $f'(x)=x^4$ em vários ``valores'' de $f$, pra tentar
resolver EDOs por chutar-e-testar... Em
%
$$(f'(x)=x^4)\, [f(x):=x^2] = (2x = x^4)$$
%
na expressão original, $(f'(x)=x^4)$, o símbolo $f$ faz o papel de uma
função qualquer, ou de uma variável cujo valor é uma função; a
substiuição ``$[f(x):=x^2]$'' diz como substituir a $f$ original,
genérica, pela $f$ que tem esta {\sl definição} aqui: $f(x)=x^2$... e
nós já temos bastante prática com obter consequências de uma definição
como $f(x)=x^2$. Por exemplo:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(200) &=& 200^2 && f'(x) &=& 2x \\
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 && f'(3u+4) &=& 2(3u+4) \\
f(42x^3+99) &=& (42x^3+99)^2 && f'(42x^3+99) &=& 2(42x^3+99) \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Mais dicas sobre a operação `$[:=]$' (4)}
No slide anterior eu disse que
%
$$f(x)=x^2$$
tem estas consequências, entre muitas outras:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(200) &=& 200^2 && f'(x) &=& 2x \\
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 && f'(3u+4) &=& 2(3u+4) \\
f(42x^3+99) &=& (42x^3+99)^2 && f'(42x^3+99) &=& 2(42x^3+99) \\
\end{array}
$$
Vamos entender isso em português.
Se $f(x)=x^2$ é verdade para todo $x$
então $f'(x)=2x$ para todo $x$.
Obs: aqui você também pode pensar graficamente!
A curva $y=f(x)$ é uma parábola, e $f'(x)$
é o coeficiente angular dela.
\newpage
% «dicas-subst-5» (to ".dicas-subst-5")
% (c2m211substp 13 "dicas-subst-5")
% (c2m211substa "dicas-subst-5")
{\bf Mais dicas sobre a operação `$[:=]$' (5)}
Continuando: temos
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& x^2 \quad \text{e} \\
f'(x) &=& 2x, \\
\end{array}
$$
então no ponto $x=200$ temos $f(x)=200^2$ e $f'(x)=2·200$,
e em $x=3u+4$ temos
%
$$\begin{array}{rcl}
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 \quad \text{e}\\
f'(3u+4) &=& 2(3u+4). \\
\end{array}
$$
para todo $u∈\R$.
Muitos livros fingem que isso é óbvio ---
eles dizem só ``podemos substituir $x$ por $3u+4$'' ---
mas eu acho que não é óbvio não... quando eu estava na
graduação eu tive que pensar vários dias pra entender isso.
\newpage
% «dicas-subst-6» (to ".dicas-subst-6")
% (c2m211substp 14 "dicas-subst-6")
% (c2m211substa "dicas-subst-6")
{\bf Mais dicas sobre a operação `$[:=]$' (6)}
A operação `$[:=]$' nos permite fazer a substituição
de $x$ por $3u+4$ ``mecanicamente'' ---
ou melhor: ``sintaticamente'' ---
sem a gente ter que pensar muito em {\sl porque} essa
substituição faz sentido. Por exemplo:
\def\prcl#1{ \left( \begin{array}{rcl} #1 \end{array} \right) }
$$\begin{array}{c}
\prcl{
f(x) &=& x^2 \quad \text{e} \\
f'(x) &=& 2x
}
\;
[x:=3u+4]
\\[10pt]
= \prcl{
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 \quad \text{e}\\
f'(3u+4) &=& 2(3u+4) \\
}
\end{array}
$$
O fato é que \ColorRed{variáveis são feitas para serem substituídas}.
Um modo da gente se acostumar com como isso funciona é
testando \ColorRed{muitos} casos particulares --- como no exercício
do próximo slide.
\newpage
% «exercicios-1-e-2» (to ".exercicios-1-e-2")
% (c2m211substp 15 "exercicios-1-e-2")
% (c2m211substa "exercicios-1-e-2")
{\bf Exercício 1}
Digamos que $f(x)=x^2$...
a) e que $u=0$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
b) e que $u=1$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
c) e que $u=10$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
\msk
{\bf Exercício 2}
Digamos que $f(x)=42$...
a) e que $u=0$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
b) e que $u=1$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
c) e que $u=10$. Neste caso é verdade que $f(3u+4) = (3u+4)^2$?
\bsk
Note que nós não testamos todos os valores possíveis de $u$,
nem todos as funções `$f$' possíveis, e nem usamos
a notação `$[:=]$'...
\newpage
A operação `$[:=]$' nos permite fazer substituições como
`$[x:=10x+2]$', que parecem bem estranhas à primeira vista.
\bsk
{\bf Exercício 3.}
Calcule o resultado das substituições abaixo --- ou seja,
calcule o que você deve pôr no lugar do `$\ColorRed{?}$' em cada item.
\bsk
(Ooops -- ainda não terminei de escrever esse exercício)
\newpage
% ____ _ _
% / ___| ___ _ __ ___ __ _| |_ ___ _ __(_) ___ ___
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` | __/ _ \| '__| |/ _ \/ __|
% ___) | (_) | | | | | | (_| | || (_) | | | | (_) \__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|\__\___/|_| |_|\___/|___/
%
% «somatorios» (to ".somatorios")
% (c2m211substp 19 "somatorios")
% (c2m211substa "somatorios")
{\bf Somatórios}
Antigamente somatórios eram matéria de ensino médio,
mas hoje em dia muita gente chega em Cálculo 2 sem
nunca ter visto somatórios...
\ssk
As fórmulas para somas de progressões aritméticas (PAs) e para
somas de progressões geométricas (PGs) usam `$\sum$'s. Veja:
\bsk
{\footnotesize
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress\%C3\%A3o_aritm\%C3\%A9tica}
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress\%C3\%A3o_geom\%C3\%A9trica}
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat\%C3\%B3rio}
}
\newpage
% «soma-PG» (to ".soma-PG")
% (c2m211substp 13 "soma-PG")
% (c2m211substa "soma-PG")
Relembre:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\
&=& 100 + 1000 + 10000 + 100000 \\
&=& 111100 \\
(1-10) \sum_{k=2}^{5} 10^k &=& (1-10)(100 + 1000 + 10000 + 100000) \\
&=& (100 + 1000 + 10000 + 100000) \\
&& - (1000 + 10000 + 100000 + 1000000) \\
&=& 100 - 1000000 \\
&=& 10^2 - 10^{5+1} \\
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& \D \frac{10^2 - 10^{5+1}}{1-10} \\
\end{array}
$}
$$
A fórmula geral é: \quad
%
$\D \sum_{k=a}^{b} x^k
\; = \;
\D \frac{x^a - x^{b+1}}{1 - x}
\; = \;
\D \frac{x^{b+1}- x^a}{x - 1}
$
\;.
\newpage
% «somatorio-expansao» (to ".somatorio-expansao")
Repare que dá pra calcular o somatório do início
do slide anterior em mais passos usando o `$[:=]$'...
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\[5pt]
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& (10^k) [k:=2] \\
&+& (10^k) [k:=3] \\
&+& (10^k) [k:=4] \\
&+& (10^k) [k:=5] \\[2.5pt]
&=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\
\end{array}
$}
$$
Às vezes a gente vai usar esse passo intermediário com `$[:=]$'s
pra não se enrolar em somatórios de expressões complicadas...
Por exemplo aqui, e nas páginas seguintes:
\ssk
% (c2m211somas1p 12 "partition-sum")
% (c2m211somas1a "partition-sum")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf#page=12
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf\#page=12}
}
\newpage
% «somatorios-exercs» (to ".somatorios-exercs")
% (c2m211substp 22 "somatorios-exercs")
% (c2m211substa "somatorios-exercs")
{\bf Exercícios básicos de somatórios}
\msk
Expanda e calcule:
a) $\sum_{n=1}^5 (2n-1)$
\ssk
b) $\sum_{n=0}^4 (2n+1)$
\msk
c) $\sum_{k=0}^2 (k+1)$
\msk
d) $\sum_{k=0}^2 k + 1$
\msk
e) $\left( \sum_{k=0}^2 k \right) +1$
\msk
Expanda e calcule/simplifique até onde der:
f) $\sum_{n=1}^5 (2k-1)$
\ssk
g) $\sum_{k=1}^5 (2n-1)$
\ssk
h) $\sum_{n=4}^6 f(10n)$
\ssk
i) $\sum_{n=4}^6 f(10n)$, onde $f(x) = 10x$
\newpage
% «para-todo-e-existe» (to ".para-todo-e-existe")
% (c2m211substp 23 "para-todo-e-existe")
% (c2m211substa "para-todo-e-existe")
% (lodp 5 "dm-layer-1")
% (loda "dm-layer-1")
{\bf ``Para todo'' ($∀$) e ``existe'' ($∃$)}
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
(∀a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∧ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∧
(3^2<10) ∧
(4^2<10) \\
&=& (4<10) ∧
(9<10) ∧
(16<10) \\
&=& \V ∧ \V ∧ \F \\
&=& \F \\[5pt]
(∃a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=3] \;∨ \\&&
(a^2<10)[a:=5] \\
&=& (2^2<10) ∨
(3^2<10) ∨
(4^2<10) \\
&=& (4<10) ∨
(9<10) ∨
(16<10) \\
&=& \V ∨ \V ∨ \F \\
&=& \V \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs» (to ".visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substp 24 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s}
Repare...
\msk
{
\def\V {\mathbf{V}}
\def\F {\mathbf{F}}
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mm}x<4) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmm}x=6) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨ x=6) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\msk
...que dá pra {\sl visualizar} o que a expressão
$(∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨x=6)$
``quer dizer'' visualizando os `$\V$'s e `$\F$'s
de expressões mais simples, e combinando
esses ``mapas'' de `$\V$'s e `$\F$'s.
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs-2» (to ".visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m211substp 20 "visualizando-fas-e-exs-2")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs-2")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s (2)}
Às vezes vai valer a pena \ColorRed{definir proposições}
como nomes mais curtos, como $F(x) = (2≤x)$,
$G(x) = (x≤4)$, $H(x) = (x=6)$... Aí:
\msk
{
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\F {\mbc{\mathbf{F}}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\msk
É isso que a gente vai fazer pra analisar expressões
como $(∀x∈A.▁▁▁)$ e $(∃x∈A.▁▁▁)$ e descobrir quais
são verdadeiras e quais não --- \ColorRed{mesmo quando o conjunto
$A$ é um conjunto infinito}, como $\N$, $\R$ ou $[2,10]$.
\newpage
% «visualizando-fas-e-exs-3» (to ".visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m211substp 26 "visualizando-fas-e-exs-3")
% (c2m211substa "visualizando-fas-e-exs-3")
{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s (3)}
Às vezes vamos ter que fazer figuras com muitos `$\V$'s e `$\F$'s,
e vai ser mais fácil visualizar onde estão os `$\V$'s e `$\F$'s
delas se usarmos sinais mais fáceis de distinguir...
\msk
Por exemplo, se $•:=\V$ e $∘:=\F$ então:
\msk
{
\def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
\def\V {\mbc{\mathbf{V}}}
\def\V {\mbc{•}}
\def\F {\mbc{∘}}
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{lcl}
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x)) &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
(∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x)) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
\end{array}
$}
$
}
\bsk
Você \ColorRed{pode} fazer as suas próprias definições ---
como o meu ``$•:=\V$ e $∘:=\F$'' acima --- mas elas
têm que ficar claras o suficiente... lembre desta dica:
% (c2m211somas1dp 7 "dica-7")
% (c2m211somas1da "dica-7")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1-dicas.pdf#page=7
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1-dicas.pdf\#page=7}
}
\newpage
% «sobre-treinar-muito» (to ".sobre-treinar-muito")
% (c2m211substp 27 "sobre-treinar-muito")
% (c2m211substa "sobre-treinar-muito")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.5cm}
\begin{tabular}{c}
{\bf \Large Sobre treinar muito} \\
{\bf \Large e chorar várias} \\
{\bf \Large vezes por dia} \\
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
% «depoimento-pessoal» (to ".depoimento-pessoal")
% (c2m211substp 28 "depoimento-pessoal")
% (c2m211substa "depoimento-pessoal")
\vspace*{-0.5cm}
{\bf Um depoimento pessoal}
Em várias partes do curso ---
principalmente nesta aqui:
\ssk
{\scriptsize
% (c2m211isp 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-int-subst.pdf}
}
\msk
a gente vai precisar fazer substituições que são muito difíceis
de fazer de cabeça. Quando eu estava na graduação o único jeito
de lidar com elas era treinar muitas horas por dia até a gente
aprender a fazer elas de cabeça tão rápido que a gente conseguia
revisar todas as contas no olho, e a gente conseguia ajustar os
detalhes e refazer as contas várias vezes --- de cabeça! --- até
até a gente chegar exatamente na substituição certa que
funcionava pro que a gente queria...
\msk
Depois no mestrado e no doutorado eu tive que aprender a
lidar com muitos tipos de contas que eu não conseguia fazer
de cabeça \ColorRed{de jeito nenhum}.
\newpage
% «depoimento-pessoal-2» (to ".depoimento-pessoal-2")
% (c2m211substp 29 "depoimento-pessoal-2")
% (c2m211substa "depoimento-pessoal-2")
{\bf Um depoimento pessoal (2)}
Hoje em dia eu acredito que o melhor jeito de lidar
com substituições difíceis é usando o `$[:=]$'.
\msk
Com ele dá pra gente escrever a fórmula original
à esquerda, depois os detalhes da substituição,
depois um `$=$', depois o resultado da substituição ---
que {\it deve ser} o caso particular que estamos procurando...
e aí a gente consegue checar todos os detalhes visualmente,
e levando poucos minutos ao invés de tardes inteiras.
\msk
Toda vez que a gente tiver que lidar com uma substituição
que algumas pessoas acham difícil no curso eu vou usar
a operação `$[:=]$' pra ajudar a visualizar os detalhes,
e eu recomendo que vocês treinem ela e recorram a ela
toda vez que o ``tentar fazer de cabeça'' não funcionar.
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-int-subst.pdf#page=7
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf#page=9
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf#page=14
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.1-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-1-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.1-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-1-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-subst veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C2-subst pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m211subst"
% End: