|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-def-integral.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-def-integral.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-def-integral.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-def-integral.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-def-integral.lua"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-propriedades-da-integral.tex"))
% (defun p () (interactive) (find-LATEX "2021pict2e.lua"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-def-integral"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-def-integral.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-def-integral")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-def-integral.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-def-integral.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-def-integral.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-def-integral.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-def-integral" "2" "c2m212di" "c2di")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.videos-antigos» (to "videos-antigos")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.triangle-wave» (to "triangle-wave")
% «.triangle-wave-more-defs» (to "triangle-wave-more-defs")
% «.SixApproxsAndIntegral» (to "SixApproxsAndIntegral")
% «.flutuando-4» (to "flutuando-4")
% «.flutuando-8» (to "flutuando-8")
% «.flutuando-16» (to "flutuando-16")
% «.metodos-nomes» (to "metodos-nomes")
% «.metodos-nomes-5» (to "metodos-nomes-5")
% «.particoes-preferidas» (to "particoes-preferidas")
% «.aproximacoes-por-cima» (to "aproximacoes-por-cima")
% «.aproximacoes-por-baixo» (to "aproximacoes-por-baixo")
% «.definicao-integral» (to "definicao-integral")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «video-1» (to ".video-1")
% (find-ssr-links "c2m212di" "2021-2-C2-def-integral" "GSxsbNGoUbo")
% (code-eevvideo "c2m212di" "2021-2-C2-def-integral" "GSxsbNGoUbo")
% (code-eevlinksvideo "c2m212di" "2021-2-C2-def-integral" "GSxsbNGoUbo")
% (find-c2m212divideo "0:00")
% (find-c2m212divideo "4:58" "Aqui eu pus uma apresentação")
% (find-c2m212divideo "6:20" "integral de x=2 até x=10")
% (c2m212isp 19 "exercicio-10")
% (c2m212isa "exercicio-10")
% «videos-antigos» (to ".videos-antigos")
% (c2m211somas2a "video-1")
% (c2m211somas2a "video-2")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
\directlua{dofile "2021-2-C2-def-integral.lua"}
%L -- (find-LATEX "2021-2-C2-def-integral.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictcurvestyle{\linethickness{0.7pt}}
\def\pictcurvestyle{\linethickness{1.0pt}}
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\Intover #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intunder #1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}}
\def\Intxover #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intxunder #1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\def\Intxoverunder#1#2#3{\overline{\underline{∫}}_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
\def\Io #1{\Intover {[2,10]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iu #1{\Intunder {[2,10]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[2,10]_{2^{#1}}} {f(x)}}
%
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212dip 1 "title")
% (c2m212dia "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 19: a definição da integral
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% Baseado em:
% (c2m211somas2p 37 "exercicio-16-defs")
% (c2m211somas2a "exercicio-16-defs")
% (c2m211prp 2 "introducao")
% (c2m211pra "introducao")
% (c2m211somas2p 25 "exercicio-10")
% (c2m211somas2a "exercicio-10")
\unitlength=10pt
\newpage
{\bf Introdução}
A definição formal da integral é bem complicada.
\msk
A gente primeiro tem que definir aproximações por retângulos
por cima e por baixo usando sups e infs, depois a gente tem que
definir os limites dessas aproximações por cima e por baixo
do jeito certo, depois a gente tem que comparar esses limites...
\msk
Se o limite por cima e o limite por baixo dão o mesmo
resultado então a nossa função é integrável, e a integral
dela é o resultado desses limites --- mas existem funções
que não são integráveis.
\msk
A gente vai ter que definir um monte de abreviações
pras expressões matemáticas não ficarem grandes demais,
e a gente vai ter que aprender a interpretar graficamente
cada expressão... como nos próximos dois slides:
\newpage
% «triangle-wave» (to ".triangle-wave")
% (c2m212dip 3 "triangle-wave")
% (c2m212dia "triangle-wave")
%
%L f_triangle_wave = function (x)
%L if x <= 3 then return x + 3 end
%L if x <= 8 then return 9 - x end
%L return x - 7
%L end
%L
%L pwitriw = Piecewisify.new(f_triangle_wave, 3, 8)
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,0), v(11,7))
%L :grid()
%L :add("#1")
%L :axesandticks()
%L :add("\\pictcurvestyle")
%L :add(pwitriw:pw(0, 11)) -- f
%L :bepc()
%L :def("TriW#1")
%L :output()
\pu
% Test:
%
% $\TriW{}$
%
% $\celllower=2.5pt%
% \def\cellfont{\scriptsize}%
% \TriW{%
% \put(3,6.5){\cell{(3,6)}}%
% \put(8,0.5){\cell{(8,1)}}%
% }
% $
% «triangle-wave-more-defs» (to ".triangle-wave-more-defs")
% (c2m211somas2p 37 "exercicio-16-defs")
% (c2m211somas2a "exercicio-16-defs")
% (c2m211figsa "defs-int")
% (find-LATEX "2021-1-C2-critical-points.lua" "Approxer-tests")
%L dofile "2021-1-C2-critical-points.lua"
%L appr = Approxer {
%L f = f_do_slide_8,
%L allcps = {3,8},
%L a = 2,
%L b = 10,
%L N = 4,
%L method = "supin",
%L what = "ac",
%L }
\pu
\long\def\ColorUpperA#1{{\color{red!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperB#1{{\color{Gold1!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperC#1{{\color{Green1!20!white}#1}}
\long\def\ColorUpperD#1{{\color{Blue1!20!white}#1}}
\long\def\ColorLowerA#1{{\color{red!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerB#1{{\color{Gold1!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerC#1{{\color{Green1!80!white}#1}}
\long\def\ColorLowerD#1{{\color{Blue1!80!white}#1}}
\long\def\ColorRealInt#1{{\color{Purple0!90!white}#1}}
\def\UpperA{\ColorUpperA{\expr{appr:pict(2, "supin", "c")}}}
\def\UpperB{\ColorUpperB{\expr{appr:pict(4, "supin", "c")}}}
\def\UpperC{\ColorUpperC{\expr{appr:pict(8, "supin", "c")}}}
\def\UpperD{\ColorUpperD{\expr{appr:pict(16, "supin", "c")}}}
\def\LowerD{\ColorLowerD{\expr{appr:pict(16, "infin", "c")}}}
\def\LowerC{\ColorLowerC{\expr{appr:pict(8, "infin", "c")}}}
\def\LowerB{\ColorLowerB{\expr{appr:pict(4, "infin", "c")}}}
\def\LowerA{\ColorLowerA{\expr{appr:pict(2, "infin", "c")}}}
\def\fUpperA{\TriW{\UpperA}}
\def\fUpperB{\TriW{\UpperB}}
\def\fUpperC{\TriW{\UpperC}}
\def\fUpperD{\TriW{\UpperD}}
\def\fLowerA{\TriW{\LowerA}}
\def\fLowerB{\TriW{\LowerB}}
\def\fLowerC{\TriW{\LowerC}}
\def\fLowerD{\TriW{\LowerD}}
\def\fUpperLowerA{\TriW{\UpperA\LowerA}}
\def\fUpperLowerB{\TriW{\UpperB\LowerB}}
\def\fUpperLowerC{\TriW{\UpperC\LowerC}}
\def\fUpperLowerD{\TriW{\UpperD\LowerD}}
\def\fUpperLowerABCD{\TriW{%
\UpperA%
\UpperB%
\UpperC%
\UpperD%
\LowerD%
\LowerC%
\LowerB%
\LowerA%
}}
\def\fRealInt{\TriW{\ColorRealInt{%
\polygon*(2,0)(2,5)(3,6)(8,1)(10,3)(10,0)%
}}}
\def\SixApproxsAndIntegral{
\begin{array}{ccccccccc}
\fUpperA &≥& \fUpperB &≥& \fUpperC &≥& \ldots \\
&&&&&& \rotl{≤} \\
&&&&&& \fRealInt \\
&&&&&& \rotl{≤} \\
\fLowerA &≤& \fLowerB &≤& \fLowerC &≤& \ldots \\
\end{array}
}
\def\SixApproxsAndIntegralB{{
\def\fUpperA{\mname{sup}_{[2,10]_{2^1}}}
\def\fUpperB{\mname{sup}_{[2,10]_{2^2}}}
\def\fUpperC{\mname{sup}_{[2,10]_{2^3}}}
\def\fLowerA{\mname{inf}_{[2,10]_{2^1}}}
\def\fLowerB{\mname{inf}_{[2,10]_{2^2}}}
\def\fLowerC{\mname{inf}_{[2,10]_{2^3}}}
\def\fRealInt{\D\Intx{2}{10}{f(x)}}
\SixApproxsAndIntegral
}}
\newpage
% «SixApproxsAndIntegral» (to ".SixApproxsAndIntegral")
% (c2m212dip 4 "SixApproxsAndIntegral")
% (c2m212dia "SixApproxsAndIntegral")
% (c2m211somas2p 38 "exercicio-16-fig2")
% (c2m211somas2a "exercicio-16-fig2")
\unitlength=5pt
\vspace*{0.5cm}
$\scalebox{1.0}{$
\SixApproxsAndIntegral
$}
$
\newpage
$$\scalebox{0.7}{$
\SixApproxsAndIntegral
$}
$$
$$\scalebox{0.7}{$
\SixApproxsAndIntegralB
$}
$$
\newpage
Também podemos desenhar só a diferença entre
a aproximação por cima e a por baixo...
Aí o resultado vai ser formado por retângulos
``flutuando no ar''. Se $f(x)$ é esta função
mais complicada aqui, então...
\unitlength=25pt
\def\Iou#1{\Intoverunder {[a,b]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\Iou#1{\Intoverunder {[0,8]_{2^{#1}}} {f(x)}}
\def\FIG#1{%
\ParCoWith{%
\ColorOrange{%
\expr{pwi:rects(Partition.new(0, 8):splitn(2^#1), "sup", "inf")}
}}}
\def\FFIG#1{\Iou{#1} \;\; = \;\; \FIG{#1}}
\def\FFIGzero{f(x) \;\; = \;\; \ParCoWith{}}
$$\FFIGzero$$
\newpage
% «flutuando-4» (to ".flutuando-4")
% (c2m212dip 6 "flutuando-4")
% (c2m212dia "flutuando-4")
$$\FFIG2$$
\newpage
% «flutuando-8» (to ".flutuando-8")
% (c2m212dip 7 "flutuando-8")
% (c2m212dia "flutuando-8")
$$\FFIG3$$
\newpage
% «flutuando-16» (to ".flutuando-16")
% (c2m212dip 8 "flutuando-16")
% (c2m212dia "flutuando-16")
$$\FFIG4$$
\newpage
$$\FFIG5$$
\newpage
$$\FFIG6$$
\newpage
$$\FFIG7$$
\newpage
\newpage
% «metodos-nomes» (to ".metodos-nomes")
% (c2m212dip 4 "metodos-nomes")
% (c2m212dia "metodos-nomes")
% (c2m211somas2p 27 "metodos-nomes")
% (c2m211somas2a "metodos-nomes")
{\bf Métodos de integração: nomes}
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
%
$$\scalebox{0.95}{$
\begin{array}{ccl}
\mname{L} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[2pt]
\mname{R} &=& \sumiN {f(b_i)} \\[2pt]
\mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\[2pt]
\mname{M} &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})} \\[2pt]
\mname{min} &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{max} &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{inf} &=& \sumiN {\inf(F([a_i,b_i]))} \\[2pt]
\mname{sup} &=& \sumiN {\sup(F([a_i,b_i]))} \\
\end{array}
$}
$$
Cada uma dessas fórmulas é um ``método de integração''.
Todos esses ``métodos'' aparecem na página da Wikipedia,
mas com outros nomes e usando partições em que todos os
intervalos têm o mesmo comprimento.
\newpage
% «metodos-nomes-5» (to ".metodos-nomes-5")
% (c2m211somas2p 27 "metodos-nomes-2")
% (c2m211somas2a "metodos-nomes-2")
{\bf Métodos de integração: nomes (2)}
\ssk
Todas as fórmulas do slide anterior supõem que estamos
num contexto em que a partição $P$ está definida.
Se usamos elas com uma partição em subscrito,
como em $\mname{L}_{\{4,5,7\}}$, isso vai querer dizer
que a partição $P$ vai ser indicada no subscrito.
Por exemplo:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}[t]{rcl}
\mname{L}_{\{4,5,7\}} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[5pt]
&=& f(a_1)(b_1-a_1) \\
&+& f(a_2)(b_2-a_2) \\[5pt]
&=& f(4) (5-4) \\
&+& f(5) (7-5,) \\
\end{array}
\quad
\begin{array}[t]{rcl}
\mname{L}_{\{6,7,8,9\}} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[5pt]
&=& f(a_1)(b_1-a_1) \\
&+& f(a_2)(b_2-a_2) \\
&+& f(a_3)(b_3-a_2) \\[5pt]
&=& f(6) (7-6) \\
&+& f(7) (8-7) \\
&+& f(8) (9-8). \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «particoes-preferidas» (to ".particoes-preferidas")
% (c2m212dip 7 "particoes-preferidas")
% (c2m212dia "particoes-preferidas")
% (c2m211somas2p 20 "exercicio-13")
% (c2m211somas2a "exercicio-13")
{\bf Nossas partições preferidas}
Agora eu vou definir uma notação pra partição que
divide um intervalo em $N$ subintervalos iguais:
%
\def\baN{\frac{b-a}{N}}
%
$$
\textstyle
[a,b]_N = \{a, \; a+\baN, \; a+2\baN, \; \ldots, \; b\}
$$
\msk
{\bf Exercício 1.}
Calcule:
a) $[4,6]_1$
b) $[4,6]_{2^3}$
\msk
Dicas: $2^3=8$, e releia isto aqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211somas1p 16 "exercicio-9-dicas")
% (c2m211somas1a "exercicio-9-dicas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf#page=16
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf\#page=16}
}
\bsk
Obs: mais tarde no curso você vai (ter que!)
aprender a fazer as suas próprias definições...
\newpage
% «aproximacoes-por-cima» (to ".aproximacoes-por-cima")
% (c2m212dip 15 "aproximacoes-por-cima")
% (c2m212dia "aproximacoes-por-cima")
{\bf Aproximações por cima}
Mais duas definições:
A melhor aproximação por cima para a integral de $f$
na partição $P$ é:
%
$$\Intover{P}{f(x)} = \mname{sup}_P,$$
O limite das aproximações por cima pra integral de $f$
no intervalo $[a,b]$ é:
%
$$\Intxover{a}{b}{f(x)} = \lim_{k→∞} \mname{sup}_{[a,b]_{2^k}},$$
Esse limite também é chamado de a ``integral por cima de $f$
no intervalo $[a,b]$''.
\newpage
% «aproximacoes-por-baixo» (to ".aproximacoes-por-baixo")
% (c2m212dip 16 "aproximacoes-por-baixo")
% (c2m212dia "aproximacoes-por-baixo")
{\bf Aproximações por baixo}
Mais duas definições:
A melhor aproximação por baixo para a integral de $f$
na partição $P$ é:
%
$$\Intunder{P}{f(x)} = \mname{inf}_P,$$
O limite das aproximações por baixo pra integral de $f$
no intervalo $[a,b]$ é:
%
$$\Intxunder{a}{b}{f(x)} = \lim_{k→∞} \mname{inf}_{[a,b]_{2^k}},$$
Esse limite também é chamado de a ``integral por baixo de $f$
no intervalo $[a,b]$''.
\newpage
% «definicao-integral» (to ".definicao-integral")
% (c2m212dip 17 "definicao-integral")
% (c2m212dia "definicao-integral")
% (c2m211somas2p 34 "definicao-integral")
% (c2m211somas2a "definicao-integral")
{\bf A definição de integral}
\ssk
\def\eqa{\overset{\ColorRed{\Downarrow}}{=}}
A nossa definição de $\Intx{a}{b}{f(x)}$ vai ser:
%
$$\Intx {a}{b}{f(x)} \;\;=\;\;
\Intxover {a}{b}{f(x)} \;\; \eqa \;\;
\Intxunder{a}{b}{f(x)}
$$
se a igualdade marcada com `$\eqa$' for verdade.
\msk
\msk
Se a igualdade `$\eqa$' for falsa vamos dizer que:
``$f(x)$ não é integrável no intervalo $[a,b]$'',
``$\Intx{a}{b}{f(x)}$ não está definida'', ou
``$\Intx{a}{b}{f(x)}$ dá erro''.
\msk
\msk
(Compare com $\frac{42}{0}$, que também ``não está definido'', ou ``dá erro''...)
\newpage
% (c2m211somas2p 35 "intoverunder")
% (c2m211somas2a "intoverunder")
% (c2m211somas2p 35 "exercicio-15")
% (c2m211somas2a "exercicio-15")
{\bf Como esses limites funcionam?}
Em Cálculo 1 você viu que algumas funções não são deriváveis.
Agora nós vamos ver que algumas funções não são integráveis.
O melhor modo de visualizar isso é usando estas definições:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intoverunder{P}{f(x)} &=&
\D \Intover {P}{f(x)} -
\Intunder {P}{f(x)}
\\[15pt]
\D \Intxoverunder{a}{b}{f(x)} &=&
\D \Intxover {a}{b}{f(x)} -
\Intxunder {a}{b}{f(x)}
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m212dip 19 "exercicio-2")
% (c2m212dia "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Faça o exercício 1 do MT1 do semestre passado.
Ele tem gabarito, mas tente fazê-lo sem olhar o gabarito.
\msk
Link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211mt1p 4 "questao-1")
% (c2m211mt1a "questao-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-MT1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-MT1.pdf#page=4}
}
\bsk
Dica: reveja o exercício 10 deste PDF:
% (c2m212isp 19 "exercicio-10")
% (c2m212isa "exercicio-10")
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212isp 19)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf#page=19
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf#page=19}
}
\newpage
(Tudo a partir daqui vai ser reescrito)
\newpage
{\bf Exercício 15.}
\def\iou#1{\Intoverunder{[2,10]_{2^#1}}{f(x)}}
a) Verifique que no exercício 14 você desenhou $\iou0$,
$\iou1$, $\iou2$, e $\iou3$.
\msk
b) Calcule a área dessas quatro diferenças. \ColorRed{Veja o vídeo!}
\newpage
% «exercicio-10» (to ".exercicio-10")
% (c2m211somas2p 25 "exercicio-10")
% (c2m211somas2a "exercicio-10")
{\bf Exercício 10.}
\ssk
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "beginpicture")
Lembre que:
\bsk
$f(x)=
\unitlength=10pt
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
%
\TriW{%
\put(3,6.5){\cell{(3,6)}}%
\put(8,0.5){\cell{(8,1)}}%
}
$
\bsk
a) Calcule $\sup(F([2,4]))$.
b) Calcule $\inf(F([2,4]))$.
c) Calcule $\sup(F([4,7]))$.
d) Calcule $\inf(F([4,7]))$.
e) Calcule $\sup(F([7,9]))$.
f) Calcule $\inf(F([7,9]))$.
\newpage
% «exercicio-11» (to ".exercicio-11")
% (c2m211somas2p 26 "exercicio-11")
% (c2m211somas2a "exercicio-11")
{\bf Exercício 11.}
\ssk
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "beginpicture")
Lembre que:
\bsk
$f(x)=
\unitlength=8pt
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
%
\TriW{%
\put(3,6.5){\cell{(3,6)}}%
\put(8,0.5){\cell{(8,1)}}%
}
$
\bsk
Digamos que $P=\{ 1, 2,4, 5,6, 7,9, 10 \}$.
Represente graficamente \ColorRed{num gráfico só}:
\msk
a) $\sum_{i=1}^{N} \sup(F([a_i,b_i])) (b_i - a_i)$,
b) a curva $y=f(x)$,
c) $\sum_{i=1}^{N} \inf(F([a_i,b_i])) (b_i - a_i)$.
\msk
e verifique que você obteve algo bem parecido
com a figura do slide 2.
\newpage
% «exercicio-12» (to ".exercicio-12")
% (c2m211somas2p 29 "exercicio-12")
% (c2m211somas2a "exercicio-12")
{\bf Exercício 12.}
\ssk
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "beginpicture")
Lembre que:
\bsk
$f(x)=
\unitlength=7pt
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
%
\TriW{
\put(3,6.5){\cell{(3,6)}}%
\put(8,0.5){\cell{(8,1)}}%
}
$
\bsk
Em cada um dos itens abaixo represente graficamente
num gráfico só a curva $y=f(x)$ e os dois somatórios pedidos.
a) $\mname{sup}_{\{1,10\}}$,
$\mname{inf}_{\{1,10\}}$
\ssk
b) $\mname{sup}_{\{1,2,5,6,9,10\}}$,
$\mname{inf}_{\{1,2,5,6,9,10\}}$
\ssk
c) $\mname{sup}_{\{1,2,4,5,6,7,9,10\}}$,
$\mname{inf}_{\{1,2,4,5,6,7,9,10\}}$
\bsk
d) $\mname{max}_{\{1,10\}}$,
$\mname{min}_{\{1,10\}}$
\ssk
e) $\mname{max}_{\{1,2,5,6,9,10\}}$,
$\mname{min}_{\{1,2,5,6,9,10\}}$
\newpage
% «exercicio-14» (to ".exercicio-14")
% (c2m211somas2p 30 "exercicio-14")
% (c2m211somas2a "exercicio-14")
{\bf Exercício 14.}
Lembre que:
\bsk
$f(x)=
\unitlength=10pt
\celllower=2.5pt%
\def\cellfont{\scriptsize}%
%
\TriW{
\put(3,6.5){\cell{(3,6)}}%
\put(8,0.5){\cell{(8,1)}}%
}
$
\bsk
Em cada um dos itens abaixo represente graficamente
num gráfico só a curva $y=f(x)$ e os dois somatórios pedidos.
a) $\mname{sup}_{[2,10]_{2^0}}$,
$\mname{inf}_{[2,10]_{2^0}}$
\ssk
b) $\mname{sup}_{[2,10]_{2^1}}$,
$\mname{inf}_{[2,10]_{2^1}}$
\ssk
c) $\mname{sup}_{[2,10]_{2^2}}$,
$\mname{inf}_{[2,10]_{2^2}}$
\ssk
d) $\mname{sup}_{[2,10]_{2^3}}$,
$\mname{inf}_{[2,10]_{2^3}}$
\newpage
% «exercicio-16» (to ".exercicio-16")
% (c2m211somas2p 36 "exercicio-16")
% (c2m211somas2a "exercicio-16")
{\bf Exercício 16.}
Identifique nas figuras dos próximos dois slides:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{cccc}
\Io1, & \Io2, & \Io3, & \Io4, \\[10pt]
\Iu1, & \Iu2, & \Iu3, & \Iu4, \\[10pt]
\Iou1, & \Iou2, & \Iou3, & \Iou4, \\[10pt]
\end{array}
$}
$$
$$%\scalebox{0.9}{$
\Intx{2}{10}{f(x)}.
%$}
$$
\msk
Dica: os ``$\Intoverunder{P}{\ldots}$''s são feitos de ``retângulos flutuando no ar'',
não de retângulos cujas bases estão em $y=0$.
\newpage
% «exercicio-16-defs» (to ".exercicio-16-defs")
% \newpage
% «exercicio-16-fig1» (to ".exercicio-16-fig1")
% (c2m211somas2p 37 "exercicio-16-fig1")
% (c2m211somas2a "exercicio-16-fig1")
\unitlength=6.5pt
$\fUpperLowerA
\quad
\fUpperLowerB
\quad
\fUpperLowerC
\quad
\fUpperLowerD
$
\bsk
\unitlength=20pt
$\fUpperLowerABCD
$
\newpage
% «exercicio-16-fig2» (to ".exercicio-16-fig2")
\newpage
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-def-integral veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-def-integral pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2di"
% ee-tla: "c2m212di"
% End: