% (find-LATEX "2021-2-C2-fracoes-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-fracoes-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-fracoes-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-fracoes-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-fracs-parcs.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-fracoes-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2021-2-C2-fracoes-parciais")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf
%               file:///tmp/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf
%           file:///tmp/pen/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-fracoes-parciais" "2" "c2m212fp" "c2fp")

% «.defs»	(to "defs")
% «.title»	(to "title")
%
% «.djvuize»	(to "djvuize")

% «.defs»		(to "defs")
% «.title»		(to "title")
% «.deriv-ln»		(to "deriv-ln")
% «.exercicio-1»	(to "exercicio-1")
% «.exercicio-3»	(to "exercicio-3")
% «.exercicio-3-maxima»	(to "exercicio-3-maxima")
% «.exercicio-3c»	(to "exercicio-3c")
% «.exercicio-3d»	(to "exercicio-3d")
% «.contas-sem-vai-um»	(to "contas-sem-vai-um")
% «.div-polis»		(to "div-polis")
% «.exercicio-4»	(to "exercicio-4")
% «.together»		(to "together")
% «.P1-2020.1»		(to "P1-2020.1")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")


% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m212fp" "2021-2-C2-fracoes-parciais")
% (code-eevvideo      "c2m212fp" "2021-2-C2-fracoes-parciais")
% (code-eevlinksvideo "c2m212fp" "2021-2-C2-fracoes-parciais")
% (find-c2m212fpvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
%   style=alphabetic]{biblatex}            % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib}        % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%
% %L dofile "2021pict2e.lua"           -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
% %L Pict2e.__index.suffix = "%"
% \pu
% \def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
% \def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}

\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

\def\together   {\mathsf{together}}
\def\togetherp#1{\mathsf{together}\left(#1\right)}
\def\apart   {\mathsf{apart}}



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m212fpp 1 "title")
% (c2m212fpa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}

\bsk

Aula nn: frações parciais

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}

\end{center}

\newpage




% (c2m201fracparcp 1 "title")
% (c2m201fracparc    "title")

% «deriv-ln»  (to ".deriv-ln")
% (c2m202fpp 2 "deriv-ln")
% (c2m202fp    "deriv-ln")
% (c2m201fracparcp 2 "2020_deriv_ln.mp4")
% (c2m201fracparc    "2020_deriv_ln.mp4")

Na aula passada nós vimos que $\frac{d}{dx} \ln x = \frac 1x$,

e portanto $\intx{\frac 1x} = \ln x$ \ColorRed{para $x>0$}.

Nós vamos deixar pra ver \ColorRed{depois}

como integrar $\intx{\frac 1x}$ em $x<0$.

\msk

% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c2m202fpp 2 "exercicio-1")
% (c2m202fp    "exercicio-1")

{\bf Exercício 1.}

\msk

a) $\D \intx{\frac{1}{3x}} = \ColorRed{?}$

\ssk

b) $\D \intx{\frac{1}{3x+4}} = \ColorRed{?}$

\ssk

c) $\D \intx{\frac{2}{3x+4}} = \ColorRed{?}$

\ssk

d) $\D \intx{\frac{a}{bx+c}} = \ColorRed{?}$


\newpage

% «together»  (to ".together")
% (c2m212fpp 3 "together")
% (c2m212fpa   "together")
% (c2m202fpp 3 "together")
% (c2m202fp    "together")
% (find-fline       "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf}

\newpage

{\bf Exercício 2.}

\msk

a) $\D \togetherp{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}} = \ColorRed{?}$ 

\ssk

b) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}} = \ColorRed{?}$ 

\ssk

c) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c}} = \ColorRed{?}$ 

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf")
%\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf}



%  (eepitch-vterm)
%  (eepitch-kill)
%  (eepitch-vterm)
% isympy3
% f = 1/(x+1) + 1/(x-1)
% f
% together(f)


\newpage

% «exercicio-3»  (to ".exercicio-3")
% (c2m212fpp 5 "exercicio-3")
% (c2m212fpa   "exercicio-3")

{\bf Exercício 3.}

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf")
\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf}

\newpage

% «exercicio-3-maxima»  (to ".exercicio-3-maxima")
% (c2m212fpp 6 "exercicio-3-maxima")
% (c2m212fpa   "exercicio-3-maxima")
% (find-es "maxima" "partial-fractions")

{\bf Exercício 3: uma solução pro item (a)}

% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T  (eepitch-maxima)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-maxima)
%T f1 : A/(x-a) + B/(x-b);
%T f2 : ratsimp(f1);
%T (f1 = f2);
%T f3 : (c*x+d) / (x^2+e*x+f); 
%T fs : [e=-a-b, f=a*b, c=A+B, d=-A*b-a*B];
%T f4 : subst(fs, f3);
%T f2 - f4;
%T 
%T g1 : (2*x + 3) / (x^2 - 7*x + 10)$
%T g2 : partfrac(g1, x)$
%T (g1 = g2);
%T g2;
%T f1;
%T gs : [b=5, B=13/3, a=2, A=-7/3];
%T subst(gs, f1);
%T ratsimp(subst(gs, f1) - g1);

\sa{f1}{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}}
\sa{f1.5}{\frac{A(x-b)}{(x-a)(x-b)} + \frac{B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f1.6}{\frac{A(x-b) +                    B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f2}{\frac {(A+B)x + (-Ab-Ba)} {x^2 + (-a-b)x + ab}}
\sa{f3}{\frac {cx+d} {x^2+ex+f}}
\sa{g1}{\frac {2x+3} {x^2-7x+10}}
\sa{g2}{\frac {2x+3} {(x-2)(x-5)}}
\sa{g3}{\frac {A(x-2)} {(x-2)(x-5)} + \frac {B(x-5)} {(x-2)(x-5)}}

\msk

a) $\scalebox{1.0}{$
    \begin{array}[t]{rcl}
      \ga{f1} &=& \ga{f3}   \\[7pt]
      \ga{f1} &=& \ga{f1.5} \\[6pt]
              &=& \ga{f1.6} \\[6pt]
              &=& \ga{f2}   \\[7pt]
            c &=& A+B    \\
            d &=& -Ab-Ba \\
            e &=& -a-b   \\
            f &=& ab     \\[15pt]
    \end{array}
    $}
   $

\newpage

{\bf Exercício 3: uma solução pro item (a), cont...}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Dá pra gente reescrever isso usando o `$[:=]$':
%
$$\begin{array}{l}
  \left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \right)
    \bsm{ c:=A+B \\ d:=-Ab-Ba \\ e:=-a-b \\ f:=ab} \\[15pt]
  = \left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2} \right),
 \end{array}
$$

e sabemos que esta igualdade é verdade:
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2}$$

então isto aqui
%
$$\begin{array}{rcl}
    c &=& A+B \\
    d &=& -Ab-Ba \\
    e &=& -a-b \\
    f &=& ab \\
  \end{array}
$$

é \ColorRed{uma} solução para a equação
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \;\; ...$$

mas não sabemos se é a \ColorRed{única} solução!

}\anothercol{

Sempre dá pra escrever soluções de equações

usando o `$[:=]$'. Por exemplo, as duas soluções

da equação
%
$$ (x-2)(x-5) = 0:$$

São:
%
$$\begin{array}{l}
    \left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=2] \; = \\
    \left( (2-2)(2-5)=0 \right)             \\
    \left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=5] \; = \\
    \left( (5-2)(5-5)=0 \right)             \\
  \end{array}
$$

\ColorRed{Nenhum} livro ``\ColorRed{básico}'' define

``solução de uma equação'' desse jeito ---

como ``a substituição que transforma a

equação numa igualdade verdadeira'' ---

mas eu acho isso um bom modo de

entender o que são ``equações'' e

``soluções''...

\msk

Ah, note que eu não fiquei repetindo a

condição ``as suas fórmulas para $c,d,e,f$

não podem conter `$x$'\,'' o tempo todo...

eu deixei isso implícito. \quad \smile


}}


\newpage

{\bf Exercício 3: uma solução pro item (b)}


\scalebox{1.0}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Temos duas soluções para
%
$$(x-a)(x-b) = x^2-7x+10:$$

uma é $a=2$ e $b=5$, e a outra é $a=5$ e $b=2$.

Lembre que Cálculo 2 é sobre \ColorRed{chutar} e \ColorRed{testar}.

A gente pode chutar que $a=5$, $b=2$, e que

$c,d,e,f$ são os que a gente obtém pelo

item (a), e aí ver se isso nos leva a uma

solução...

\msk

(Obs: isso funciona!!!) 

}\anothercol{
}}





\newpage

% «exercicio-3c»  (to ".exercicio-3c")
% (c2m212fpp 9 "exercicio-3c")
% (c2m212fpa   "exercicio-3c")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 246 "8.1.2 Fatores quadráticos")
% (find-dmirandacalcpage 251 "Exercícios")

{\bf Exercício 3: item c}

Seja [PFP] esta igualdade aqui -- o

``princípio por trás das frações parciais'':
%
$$\text{[PFP]} \;\;=\;\;
  \left(\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f1.6}
  \right)
$$

\msk

c) Resolva o exercício 8.7.2 do livro do Miranda --

\ssk

{\scriptsize

\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=251}

}

\ssk

\def\rq{\ColorRed{?}}

e depois mostre qual é a substituição da forma
%
$$\text{[PFP]} \bsm{a:=\rq \\ b:=\rq \\ A:=\rq \\ B:=\rq}
$$

que ``está por trás'' da sua solução.


\newpage

% «exercicio-3d»  (to ".exercicio-3d")
% (find-dmirandacalcpage 205 "Exercícios")

{\bf Exercício 3: item d}


\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Agora sejam [PIP1] e [PIP2] estas fórmulas --

os ``princípios por trás da integração por partes''.

Repare que cada uma delas é um par de igualdades.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \text{[PIP1]} &=& 
    \pmat{ \intx{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)} \;\;=\;\; f(x)g(x) \\
           \intx{f'(x)g(x)} \;\; = f(x)g(x) - \intx{f(x)g'(x)}  
    }
  \\[10pt]
  \text{[PIP2]} &=&
    \pmat{ \intx{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)} \;\;=\;\; f(x)g(x) \\
           \intx{f(x)g'(x)} \;\; = f(x)g(x) - \intx{f'(x)g(x)}  
    }
  \end{array}
$$

d) Resolva o exercício 6.10.3 do livro do Miranda:

\ssk

{\scriptsize

\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=206}

}

\ssk

Você vai precisar usar integração por partes duas vezes nele.

Depois que você resolver esse exercício mostre que em cada

um dos passos em que você usou integração por partes

você usou ou o [PIP1] ou o [PIP2], e mostre que substituições

você usou nesses ``PIP''s.

%}\anothercol{
}}






\newpage

% «contas-sem-vai-um»  (to ".contas-sem-vai-um")
% (c2m202fpp 6 "contas-sem-vai-um")
% (c2m202fp    "contas-sem-vai-um")

{\bf Slogan: contas sem ``vai um'' podem ser traduzidas

pra contas com polinômios.}

\ssk

O que mais nos interessa pra Frações Parciais

é \ColorRed{divisão com resto}. Exemplo:

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf")
\includegraphics[width=11cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf}

\newpage

% «div-polis»  (to ".div-polis")
% (c2m202fpp 7 "div-polis")
% (c2m202fp    "div-polis")

...e tradução do exemplo para polinômios:

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf")
\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf}

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf")
\includegraphics[height=3cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf}

\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c2m201fracparcp 8 "exercicio-4")
% (c2m201fracparc    "exercicio-4")

{\bf Exercício 4.}

\ssk

Use estas idéias para integrar:

$$\intx{\frac{2x^3 + 7x^2 + 7x + 3}{x+2}} \;\; = \;\; ?$$



\newpage

{\bf Exercício 5.}

\ssk

O que acontece nos casos em que ``teria vai um''?

\ssk

a) Tente fazer a divisão com resto de $x^3$ por $x+2$.

Mais precisamente, encontre um polinômios $R(x)$ e $Q(x)$ tais que

$(x^3) = Q(x) · (x+2) + R(x)$ e $R(x)$ é no máximo de grau 1.

Teste a sua resposta!

\ssk

b) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ pelo método acima.

Teste a sua resposta derivando a sua antiderivada para $\frac{x^3}{x+2}$.

\ssk

c) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ fazendo a substituição $u=x+2$.

Você deve obter o mesmo resultado que na (b).

\bsk

d) Calcule $\intx{\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}}$ por frações parciais.


\newpage

{\bf Dica importante}

\ssk

Lembre que uns dos meus slogans é

``eu só vou corrigir os sinais de igual''...

No slide 7 a igualdade mais importante é a da última linha.

Nós vamos usá-la assim, pra transformar a integral original

em algo fácil de integrar:

\msk

% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf")
\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf}


\newpage

% «P1-2020.1»  (to ".P1-2020.1")
% (c2m202fpp 11 "P1-2020.1")
% (c2m202fp     "P1-2020.1")

{\bf Uma questão da P1 do semestre passado}

A questão 3 da P1 do semestre passado,

\ssk

% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf}

\ssk

era de frações parciais, e eu pus nesse PDF um gabarito

parcial dela, que não inclui nem as contas da divisão de

polinômios nem a verificação de que a nossa integral

está certa. Faça a questão, incluindo a parte que

não está no gabarito.

% (c2m201p1p 5 "questao-3")
% (c2m201p1    "questao-3")



%\printbibliography

\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2021.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-fracoes-parciais veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-fracoes-parciais pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2fp"
% ee-tla: "c2m212fp"
% End:
