|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-infs-e-sups.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-infs-e-sups.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-infs-e-sups.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-infs-e-sups.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-infs-e-sups.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-infs-e-sups"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-infs-e-sups.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-infs-e-sups")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-infs-e-sups.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-infs-e-sups" "2" "c2m212is" "c2is")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.set-compr» (to "set-compr")
% «.set-compr-2» (to "set-compr-2")
% «.set-compr-traducao» (to "set-compr-traducao")
% «.fa-e-ex-traducao» (to "fa-e-ex-traducao")
% «.programa-1» (to "programa-1")
% «.programa-2» (to "programa-2")
% «.eixo-y» (to "eixo-y")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.uma-figura» (to "uma-figura")
% «.exercicios-23» (to "exercicios-23")
% «.exercicios-4567» (to "exercicios-4567")
% «.exercicio-10» (to "exercicio-10")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m212is" "2021-2-C2-infs-e-sups" "{naoexiste}")
% (code-eevvideo "c2m212is" "2021-2-C2-infs-e-sups")
% (code-eevlinksvideo "c2m212is" "2021-2-C2-infs-e-sups")
% (find-c2m212isvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
\directlua{dofile "2021verbatim.lua"} % (find-LATEX "2021verbatim.lua")
\directlua{dofile "2021pict2e.lua"} % (find-LATEX "2021pict2e.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212isp 1 "title")
% (c2m212isa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 17: infs e sups
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% ___ _ _
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___ __| |_ _ ___ __ _ ___
% | || '_ \| __| '__/ _ \ / _` | | | |/ __/ _` |/ _ \
% | || | | | |_| | | (_) | (_| | |_| | (_| (_| | (_) |
% |___|_| |_|\__|_| \___/ \__,_|\__,_|\___\__,_|\___/
%
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m212isp 2 "introducao")
% (c2m212isa "introducao")
{\bf Introdução}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Infs e sups são um dos assuntos secundários de Cálculo 2 que vão
ser mais úteis para as matérias seguintes. Infs e sups vão
aparecer {\sl explicitamente} nas próximas matérias muito poucas
vezes, mas pra aprender infs e sups a gente vai ter que aprender
as quatro coisas absurdamente úteis abaixo. Vamos ter que:
\begin{itemize}
\item aprender um certa linguagem formal pra descrever conjuntos
-- chamada de ``set comprehensions'' em inglês. Vou adaptar o
material daqui:
{\footnotesize
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=8}
}
\item aprender a visualizar certas operações -- usando ``tipos'' e
os truques com bolinhas brancas e pretas que nós começamos a ver
nas páginas 11 até 20 deste PDF daqui:
{\footnotesize
% (c2m212somas2p 11 "tipos")
% (c2m212somas2a "tipos")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf}
}
\end{itemize}
}\anothercol{
\begin{itemize}
\item aprender a lidar com contas que à primeira vista exigiriam um
número infinito de operações e portanto um número infinito de
páginas. Lembre que \ColorRed{Cálculo 2 não é Cálculo 1} -- em
Cálculo 1 a gente aprende a fazer contas que chegam direto na
solução, mas Cálculo 2 é baseado em \ColorRed{chutar e testar}, e
nesta parte da matéria nós vamos usar o ``chutar e testar'' pra
reconhecer padrões... aí ao invés da gente fazer as contas pra
infinitos casos um de cada vez a gente vai começar fazendo elas
pra, digamos, 5 casos, e ver se com esses 5 casos a gente consegue
entender visualmente o que as nossas contas ``querem dizer''.
\item aprender a fazer argumentos informais, com desenhos e explicaões
em português, que todo mundo entenda. Releia este PDF aqui:
{\footnotesize
% (c2m212somas24p 1 "title")
% (c2m212somas24a "title")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2-4.pdf}
}
\end{itemize}
}}
\newpage
% «set-compr» (to ".set-compr")
% (c2m212isp 3 "set-compr")
% (c2m212isa "set-compr")
{\bf Set comprehensions}
Quando eu dava Geometria Analítica e as aulas eram presenciais eu
começava o curso com uns exercícios de ``set comprehensions'' -- os
das páginas 8 a 12 deste PDF:
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
\ssk
{\footnotesize
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=8}
}
\ssk
Eu dividia a turma em grupos de 5 pessoas e dizia: ``tentem entender
isso aqui a partir dos exemplos e das poucas explicações em português.
Vocês {\sl provavelmente} vão conseguir entender quase tudo só
discutindo entre vocês, tentando fazer os exercícios -- inclusive os
que têm umas pegadinhas difíceis -- e comparando os resultados de
vocês com os dos colegas, mas qualquer coisa me chamem''... e eu
ficava circulando pela sala ajudando os grupos. Isso funcionava super
bem, e geralmente em uma aula só de duas horas quase todo mundo
conseguia fazer os exercícios.
\newpage
% «set-compr-2» (to ".set-compr-2")
% (c2m212isp 4 "set-compr-2")
% (c2m212isa "set-compr-2")
{\bf Set comprehensions (2)}
Como 1) as turmas estão meio desanimadas, com pouca gente participando
das discussões e 2) todo mundo já fez Prog 1, eu vou usar um método
diferente. Eu vou complementar a parte de ``set compreensions'' do
``Material para GA'' mostrando como traduzir as notações dele pra um
pseudocódigo bem parecido com {\tt C}, e a gente vai seguir direto
pros exercícios com mais cara de Cálculo 2 e de infs e sups.
\msk
Basicamente:
\vspace*{-0.35cm}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{-0.5ex}
\item cada ``gerador'' vira um {\tt for},
\item cada ``filtro'' vira um {\tt if},
\item a ``expressão'' que aparece depois do ponto e vírgula na notação
$\setofsc{\ldots}{\ldots}$ vira um {\tt printf},
\item a tradução pra pseudo-{\tt C} fica bem mais fácil se a gente
primeiro traduzir as duas notações $\setofst{\ldots}{\ldots}$ pra
notação $\setofsc{\ldots}{\ldots}$.
\end{itemize}
\newpage
% «set-compr-traducao» (to ".set-compr-traducao")
% (c2m212isp 5 "set-compr-traducao")
% (c2m212isa "set-compr-traducao")
{\bf Set comprehensions: um exemplo de tradução}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
$$\setofsc{
\und{a∈\{1,2,3,4\}} {gerador},
\; \und{a≠3} {filtro},
\; \und{b∈\{5,6,7\}}{gerador}
}{
\und{10a + b}{expressão}
}
$$
\msk
Vira:
\bsk
%V for(a=1; a<=4; a++) {
%V if (a!=3) {
%V for(b=5; b<=7; b++) {
%V printf("%d\n", 10*a + b);
%V }
%V }
%V }
%L
%L defvbt "??"
$\pu
\vbt{??}
$
\newpage
% «fa-e-ex-traducao» (to ".fa-e-ex-traducao")
% (c2m212isp 6 "fa-e-ex-traducao")
% (c2m212isa "fa-e-ex-traducao")
{\bf Traduzindo `$∀$' e `$∃$'}
%V for(α) {
%V if (β) {
%V return γ;
%V }
%V }
%V return δ;
%L
%L defvbt "pseudo-fa-ex"
\pu
\def\tradFaEx#1#2#3#4{{
\defα{$#1$}
\defβ{$#2$}
\defγ{$#3$}
\defδ{$#4$}
\scalebox{1.0}{$
\myvcenter{\vbt{pseudo-fa-ex}}
$}
}}
Também dá pra gente traduzir pra \ColorRed{pseudo}-{\tt C}
expressões com `$∀$' e `$∃$'. Elas viram funções:
$$\begin{array}{ccc}
∀a∈A.P(a) &⇝& \tradFaEx{a∈A}{¬P(a)}{\False}{\True} \\
∃b∈B.Q(b) &⇝& \tradFaEx{b∈B}{ Q(b)}{\True}{\False} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «programa-1» (to ".programa-1")
% (c2m212isp 6 "programa-1")
% (c2m212isa "programa-1")
\def\Rinftys{\R∪\{-∞,+∞\}}
\def\CDLUdefs#1{
\begin{array}{c}
\begin{array}{rcl}
#1
C &=& \setofst {(b,f(b))} {b∈B}, \\
D &=& \setofst {f(b)} {b∈B}, \\
D' &=& \setofst {d∈\R} {∃b∈B.f(b)=d}, \\
L &=& \setofst {ℓ∈\Rinftys} {∀d∈D.ℓ≤d}, \\
U &=& \setofst {u∈\Rinftys} {∀d∈D.d≤u}, \\
\end{array}
\\
[35pt]
\begin{array}{rcrcl}
𝐛L &:& \Rinftys &→& \{\True, \False\} \\
&& y &↦& (y∈L \text{ e } ∀ℓ∈L.ℓ≤y) \\
[7.6pt]
𝐛U &:& \Rinftys &→& \{\True, \False\} \\
&& y &↦& (y∈U \text{ e } ∀u∈U.y≤u) \\
\end{array}
\end{array}
}
\def\eoinfde#1#2{#1 \text{ é o inf de } #2}
\def\eosupde#1#2{#1 \text{ é o inf de } #2}
\def\LULUdefs#1{
\begin{array}{c}
\begin{array}{rcl}
#1
L &=& \setofst {ℓ∈\Rinftys} {∀d∈D.ℓ≤d}, \\
U &=& \setofst {u∈\Rinftys} {∀d∈D.d≤u}, \\
\end{array}
\\
[15pt]
\begin{array}{rcrcl}
𝐛L &:& \Rinftys &→& \{\True, \False\} \\
&& y &↦& (y∈L \text{ e } ∀ℓ∈L.ℓ≤y) \\
[7.6pt]
𝐛U &:& \Rinftys &→& \{\True, \False\} \\
&& y &↦& (y∈U \text{ e } ∀u∈U.y≤u) \\
\end{array}
\\
[30pt]
\begin{array}{ccc}
(\eoinfde{α}{D}) &↔& 𝐛L(α) \\
(\eosupde{β}{D}) &↔& 𝐛U(β) \\
\end{array}
\hspace*{2cm}
\end{array}
}
Nos próximos exercícios nós vamos tentar entender
a sequência de definições abaixo como uma espécie de
\ColorRed{programa} em que cada linha calcula o valor de uma
variável nova a partir das variáveis anteriores...
%
$$\CDLUdefs{}
$$
\newpage
% «programa-2» (to ".programa-2")
% (c2m212isp 8 "programa-2")
% (c2m212isa "programa-2")
% (c2m212somas2p 8 "imagens-de-intervalos")
% (c2m212somas2a "imagens-de-intervalos")
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,0), v(11,7))
%L :grid()
%L :axesandticks()
%L :add(pictpiecewise("(0,3)--(3,6)--(8,1)--(11,4)")) -- f
%L :add("#1")
%L :bepc()
%L :def("Aroundf#1")
%L :output()
\pu
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(-1,0), v(11,7))
%L :grid()
%L :axesandticks()
%L :add(pictpiecewise("(-1,2)--(3,6)--(8,1)--(11,4)")) -- f
%L :add(pictpiecewise("(0,-2)--(0,-3)c (0,9)--(0,10)c")) -- inftys
%L :put(v(1.6, -3 -0.2), "\\cell{-\\infty}")
%L :put(v(1.6, 10 -0.2), "\\cell{+\\infty}")
%L :add("#1")
%L :setbounds(v(-2,-3.5), v(11,10.5))
%L :bepc()
%L :def("Aroundfwithinftys#1")
%L :output()
\pu
\unitlength=10pt
Essa sequência de definições supõe que $f$ e $B$
são conhecidas, e que $f:\R→\R$ e $B⊂\R$.
Nós vamos começar com um monte de exercícios
nos quais $f$ é a função que estávamos usando
no último PDF -- esta aqui,
%
$$f(x) \;\; = \;\; \Aroundf{} \;\; =
\begin{cases}
x+3 & \text{quando $x≤3$}, \\
9-x & \text{quando $3<x<8$}, \\
x-7 & \text{quando $8≤x$} \\
\end{cases}
$$
e o conjunto $B$ vai ser diferente em cada exercício.
\newpage
% «eixo-y» (to ".eixo-y")
% (c2m212isp 8 "eixo-y")
% (c2m212isa "eixo-y")
Nós vamos usar algumas gambiarras pra representar
subconjuntos de $\Rinftys$ no eixo vertical...
Vamos representar o $-∞$ e o $+∞$ muito mais perto
do que onde eles deveriam estar e vamos desenhar
alguns subconjuntos um pouco à esquerda do eixo $y$:
\bsk
\def\closeddot{{\circle*{0.4}}}
\def\opendot {{\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.25}}}
$[-∞,1)∪(4,+∞) \;\; = \;\;
\scalebox{0.9}{$
\Aroundfwithinftys{
{\color{orange}
\expr{pictpiecewise("
(-.4,-3)c--(-.4,1)o
(-.4,4)o--(-.4,10)o
")}}}
$}
$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m212isp 9 "exercicio-1")
% (c2m212isa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Sejam $B = \{7,8,9\}$, $f$ a função do slide 8, e:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\CDLUdefs{}
$}
$$
a) Calcule $C$, $D$, $D'$, $L$ e $U$ e represente-os graficamente.
b) Calcule $𝐛L(0), 𝐛L(1), 𝐛L(2), 𝐛L(3)$.
c) Calcule $𝐛U(0), 𝐛U(1), 𝐛U(2), 𝐛U(3)$.
d) Represente graficamente $𝐛L$ e $𝐛U$ usando ``infinitas''
bolinhas pretas e brancas pra cada um.
\msk
Dica: preste atenção no que é minúsculo e maiúsculo e nas fontes...
$L$, $ℓ$ e $𝐛L$ são coisas completamente diferentes. Use uma pronúncia
diferente pra cada um -- por exemplo ``élezão'', ``élezinho'' e ``éle bold''.
Pronuncie $\Rinftys$ como ``$\R$ estendido''.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «uma-figura» (to ".uma-figura")
% (c2m212isp 11 "uma-figura")
% (c2m212isa "uma-figura")
{\bf Uma figura}
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
\def\colorpw#1#2{{\color{#1}\expr{pictpiecewise("#2")}}}
Se $B=[1,2]$ temos:
%
$$\scalebox{1.25}{$
\Aroundfwithinftys{
\linethickness{1.5pt}%
\colorpw {red} {(1,0)c--(2,0)c}%
\colorpw {orange} {(1,4)c--(2,5)c}%
\colorpw {green} {(0,4)c--(0,5)c}%
\colorpw {SpringDarkHard} {(-0.4,4)c--(-0.4,5)c}%
\colorpw {blue} {(-0.8,-3)c--(-0.8,4)c}%
\colorpw {violet} {(-1.0,5)c--(-1.0,10)c}%
}
$}
$$
\newpage
% «exercicios-23» (to ".exercicios-23")
% (c2m212isp 12 "exercicios-23")
% (c2m212isa "exercicios-23")
{\bf Exercício 2.}
Itens a, b, c, d: Faça a mesma coisa que você fez
no exercício 1, mas agora com $B=[7,9]$.
\msk
Agora os conjuntos $B$, $C$, $D$ e $D'$ vão ser infinitos e isso
vai fazer alguns passos serem bem mais complicados.
\msk
e) A interseção $L∩D$ é vazia? E a interseção $L∩U$?
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 3.}
Itens a, b, c, d: Faça a mesma coisa que você fez
no exercício 1, mas agora com $B=\ColorRed{(7,9)}$.
\msk
e) A interseção $L∩D$ é vazia? E a interseção $L∩U$?
\newpage
{\bf A definição de sup e inf}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Aqui:
%
$$\LULUdefs{}$$
\ColorRed{Isto é verdade mas é difícil de demonstrar:}
a) $∀D⊂(\Rinftys). \; ∃!α∈(\Rinftys). \; (\eoinfde{α}{D})$
b) $∀D⊂(\Rinftys). \; ∃!β∈(\Rinftys). \; (\eosupde{β}{D})$
\bsk
...e é por isso que nós vamos poder tratar o sup e o inf como \ColorRed{funções}
que recebem como input \ColorRed{qualquer subconjunto de $\R$ estendido}
e retornam como output \ColorRed{algum elemento de $\R$ estendido}.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicios-4567» (to ".exercicios-4567")
% (c2m212isp 10 "exercicios-4567")
% (c2m212isa "exercicios-4567")
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
{\bf Exercício 4.}
Seja $D = \Rinftys$.
a) Calcule $L$, $U$, $𝐛L$, $𝐛U$, $\inf(D)$ e $\sup(D)$ e represente-os graficamente.
b) É verdade que $\inf(D)∈D$?
c) É verdade que $\sup(D)∈D$?
\bsk
{\bf Exercício 5.}
Seja $D = (2,3)∪(4,5)$.
a) Calcule $L$, $U$, $𝐛L$, $𝐛U$, $\inf(D)$ e $\sup(D)$ e represente-os graficamente.
b) É verdade que $\inf(D)∈D$?
c) É verdade que $\sup(D)∈D$?
\bsk
{\bf Exercício 6.}
Seja $D = \R$.
a) Calcule $L$, $U$, $𝐛L$, $𝐛U$, $\inf(D)$ e $\sup(D)$ e represente-os graficamente.
b) É verdade que $\inf(D)∈D$?
c) É verdade que $\sup(D)∈D$?
\bsk
{\bf Exercício 7.}
Seja $D = ∅$.
a) Calcule $L$, $U$, $𝐛L$, $𝐛U$, $\inf(D)$ e $\sup(D)$ e represente-os graficamente.
b) É verdade que $\inf(D)∈D$?
c) É verdade que $\sup(D)∈D$?
d) É verdade que $\inf(D)≤\sup(D)$?
% }\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Exercício 8.}
O slogan é ``sups e infs dão as melhores aproximações
por retângulos por cima e por baixo''. Neste exercício
e no próximo nós vamos entender o que isso quer dizer.
\msk
Sejam $f$ a função do slide 8, $a=2$, $b=10$, $B=[a,b]$.
\ssk
a) Desenhe num gráfico só: $f, a, b, B=[a,b], C, D=F(B)$,
$\inf(F([a,b])), \min(f(a),f(b)), \max(f(a),f(b)), \sup(F([a,b]))$.
\bsk
Obs: quando escrevemos ``$D=F(B)$'' na lista de itens
ao invés de ``$D, F(B)$'' isso quer dizer ``é fácil ver
que $D$ e $F(B)$ vão dar o mesmo resultado''.
\msk
Obs 2: a definição de $F(B)$ está aqui:
% \ssk
{\footnotesize
% (c2m212somas2p 5 "imagens-de-conjuntos")
% (c2m212somas2a "imagens-de-conjuntos")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-somas-2.pdf#page=5}
}
\newpage
{\bf Exercício 9.}
O próximo slogan importante é este (duplo!):
\begin{quote}
``o retângulo $\sup(F([a,b]))·(b-a)$ é o retângulo \\
mais baixo que está todo acima do gráfico da $f$, \\
e o retângulo $\inf(F([a,b]))·(b-a)$ é o retângulo \\
mais alto que está todo abaixo do gráfico da $f$.''
\end{quote}
Sejam $f$ a função do slide 8, $a=2$, $b=10$.
\msk a) Desenhe num gráfico só: $f$,
$\sup(F([a,b]))·(b-a)$,
$\inf(F([a,b]))·(b-a)$.
\msk
Isto é parecido com o que você fez no MT1:
%\ssk
{\footnotesize
% (c2m212mt1p 5 "gabarito")
% (c2m212mt1a "gabarito")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-MT1.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-MT1.pdf#page=5}
}
\newpage
{\bf Exercício 9 (cont.)}
\msk
b) Interprete visualmente esta expressão:
%
$$∀x∈[a,b].\; f(x)≤\sup(F([a,b]))$$
Dica: você vai precisar de infinitos passos como este aqui:
\begin{quote}
Compare a altura dos pontos $(2.34,f(2.34))$ e \\
$(2.34, \sup(F([a,b])))$. Se o ponto $(2.34,f(2.34))$ \\
estiver abaixo do ponto $(2.34, \sup(F([a,b])))$ \\
então $f(2.34)≤\sup(F([a,b]))$ é verdade e \\
desenhamos uma bolinha preta em $x=2.34$; senão \\
desenhamos uma bolinha branca em $x=2.34$.
\end{quote}
\newpage
{\bf Exercício 9 (cont.)}
\msk
Agora verifique -- visualmente! --
se cada uma das expressões abaixo é
verdadeira ou falsa:
\bsk
c) $∀x∈[a,b].\; f(x)≤\sup(F([a,b]))$
d) $∀x∈[a,b].\; \inf(F([a,b]))≤ f(x)$
\msk
e) $∀x∈[a,b].\; f(x)≤\sup(F([a,b])) - 0.1$
f) $∀x∈[a,b].\; \inf(F([a,b])) + 0.1 ≤ f(x)$
\newpage
% «exercicio-10» (to ".exercicio-10")
% (c2m212isp 19 "exercicio-10")
% (c2m212isa "exercicio-10")
{\bf Exercício 10.}
\ssk
Agora que você entendeu visualmente o que
$\sup(F([a,b]))$ e $\inf(F([a,b]))$ querem dizer
faça duas cópias à mão do desenho abaixo, e...
%
% (find-latexscan-links "C2" "20211217_infs_e_sups_ex10")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-2-C2/20211217_infs_e_sups_ex10.pdf")
$$\includegraphics[height=5cm]{2021-2-C2/20211217_infs_e_sups_ex10.pdf}$$
\msk
\newpage
{\bf Exercício 10 (cont.)}
\msk
a) desenhe sobre a primeira delas
%
$$\sup(F([x_0,x_1]))·(x_1-x_0) + \sup(F([x_1,x_2]))·(x_2-x_1),$$
b) desenhe sobre a segunda delas
%
$$\inf(F([x_0,x_1]))·(x_1-x_0) + \inf(F([x_1,x_2]))·(x_2-x_1).$$
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
% (c2m212somas2p 23 "exercicio-6")
% (c2m212somas2a "exercicio-6")
% (c2m212somas2p 24 "exercicio-7")
% (c2m212somas2a "exercicio-7")
% (c2m212somas2p 25 "exercicio-7-figura")
% (c2m212somas2a "exercicio-7-figura")
% (c2m212somas2p 26 "dois-jeitos-imagens")
% (c2m212somas2a "dois-jeitos-imagens")
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20211217_infs_e_sups_ex10
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-infs-e-sups veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-infs-e-sups pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2is"
% ee-tla: "c2m212is"
% End: