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% (find-LATEX "2021-2-C2-intro.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-intro.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-intro.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-intro.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-intro.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-intro"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-intro.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-intro")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-intro.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-intro.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-intro.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-intro" "2" "c2m212intro" "c2i")
%
% Videos antigos:
% (c2m211introa "videos")
% (c2m202introa "video-subst")
%
% Video 0 deste semestre:
% (find-ssr-links "c2m212intro0" "2021-2-C2-intro-0" "CvCU5sMNEWc")
% (code-eevvideo "c2m212intro0" "2021-2-C2-intro-0" "CvCU5sMNEWc")
% (code-eevlinksvideo "c2m212intro0" "2021-2-C2-intro-0" "CvCU5sMNEWc")
% (find-c2m212intro0video "0:00")
% «.defs» (to "defs")
% «.firstcol-anothercol» (to "firstcol-anothercol")
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% «.cursos-tradicionais» (to "cursos-tradicionais")
% «.carlos-tomei» (to "carlos-tomei")
% «.dica-7» (to "dica-7")
% «.contexto» (to "contexto")
% «.sintaxe» (to "sintaxe")
% «.sintaxe-2» (to "sintaxe-2")
% «.linguagem» (to "linguagem")
% «.substituicao» (to "substituicao")
% «.substituicao-2» (to "substituicao-2")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-1-gab» (to "exercicio-1-gab")
% «.EDOs-chutar-testar» (to "EDOs-chutar-testar")
% «.somatorios» (to "somatorios")
% «.soma-PG» (to "soma-PG")
% «.somatorios-exercs» (to "somatorios-exercs")
% «.somatorio-expansao» (to "somatorio-expansao")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «.elisp» (to "elisp")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage{breakurl}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\asf#1{〈\textsf{#1}〉}
\def\Expr{\asf{expr}}
\def\Just{\quad\asf{justificativa}}
% «firstcol-anothercol» (to ".firstcol-anothercol")
% (find-es "tex" "firstcol-anothercol")
\def\colwidth{8cm}
\long\def\firstcol#1{\begin{minipage}[t]{\colwidth} #1 \end{minipage}}
\long\def\anothercol#1{\qquad\firstcol{#1}}
% (find-es "tex" "co")
% \co: a low-level way to typeset code; a poor man's "\verb"
\def\co#1{{%
\def\%{\char37}%
\def\\{\char92}%
\def\^{\char94}%
\def\~{\char126}%
\tt#1%
}}
\def\qco#1{`\co{#1}'}
\def\qqco#1{``\co{#1}''}
\def\pfo#1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\Rd{\ColorRed}
\def\D{\displaystyle}
% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}
\def\iequationbox#1#2{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
\end{array}
\right)
}
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxTT#1#2#3#4#5#6#7{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\multicolumn{3}{l}{\text{#7}} \\%[5pt]
\end{array}
\right)
}}
% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.
\def\TFCtwo{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
{\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
\iequationbox {\intx{F'(x)}}
{F(x)}
}
\def\Sone{
\isubstbox
{\Difmx{a}{b}{f(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
\isubstbox
{f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{f(u)} {\intu{f'(u)}}
}
\def\Stwo{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{Obs: $u=g(x)$.}
}
\def\Sthree{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
\iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\intu{f(u)}
\qquad [u=g(x)]
}
% [u=g(x)]
}
\def\Sthree{
\pmat{
\D \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
}}
\def\SthreeI{
\pmat{
\D \intx{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \intu{f(u)} \\
\text{Obs: $u=g(x)$.} \\
}}
\def\Subst#1{\bmat{#1}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212introp 1 "title")
% (c2m212introa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aulas 4 e 5: introdução ao curso
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% _____ _ _ _ _
% |_ _| __ __ _ __| (_) ___(_) ___ _ __ __ _(_)___
% | || '__/ _` |/ _` | |/ __| |/ _ \| '_ \ / _` | / __|
% | || | | (_| | (_| | | (__| | (_) | | | | (_| | \__ \
% |_||_| \__,_|\__,_|_|\___|_|\___/|_| |_|\__,_|_|___/
%
% «cursos-tradicionais» (to ".cursos-tradicionais")
% (c2m212introp 2 "cursos-tradicionais")
% (c2m212introa "cursos-tradicionais")
{\bf Cursos tradicionais vs.\ esse aqui}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Num curso ``tradicional'' de Cálculo 2 -- presencial e sem
computadores -- a gente ensinava basicamente {\sl integrais} e
{\sl equações diferenciais}, que eram duas coisas que as pessoas
iriam usar muito pouco nos cursos seguintes... só que pra resolver
integrais e equações diferenciais as pessoas tinham que resolver
contas que acabavam ficando com várias páginas, e pra não chegar
em resultados errados elas tinham que aprender a escrever essas
contas de jeitos muito claros, em que cada passo fosse muito fácil
de revisar depois, e quando os cursos eram presenciais era fácil
as pessoas trabalharem em grupo, trocarem idéias sobre o melhor
jeito de organizar as contas, e revisarem as contas umas das
outras -- e num instante as pessoas passavam a ter intimidade
suficiente umas com as outras pra poderem dizer coisas como ``não
entendi esse passo aqui'', ``me explica isso?'', ``isso aqui tá
errado'', ``acho que dá pra fazer isso aqui de um jeito melhor,
ó'', ``sua letra tá horrível aqui, dá pra escrever mais claro?'',
e coisas assim...
}\anothercol{
Eu estou participando de um grupo de pessoas de várias universidades
que estão discutindo como adaptar seus cursos de Matemática ao
contexto atual, em que o ensino é remoto e os computadores podem
fazer várias das contas que antes todo mundo tinha que fazer à mão.
Uma das apresentações que eu achei mais legais foi uma do Carlos
Tomei, da PUC-Rio -- vou colocar a link pro vídeo na próxima versão
dos slides! -- sobre como ele está dando o curso de Cálculo 1
atualmente. Os alunos da PUC têm acesso a um programa chamado Maple,
que faz contas e gráficos de muitos tipos, e que sabe calcular todas
as derivadas que aparecem em Cálculo 1. Se o que importasse no curso
fosse só fazer contas os alunos que usassem Maple resolveriam
qualquer prova antiga de Cálculo 1 em poucos minutos -- {\sl se eles
pudessem escrever na prova só o resultado de cada conta}.
}}
% «carlos-tomei» (to ".carlos-tomei")
% (find-fline "~/TH/2021aulas-por-telegram.blogme")
\newpage
% ____ _ _____
% | _ \(_) ___ __ _ |___ |
% | | | | |/ __/ _` | / /
% | |_| | | (_| (_| | / /
% |____/|_|\___\__,_| /_/
%
% «dica-7» (to ".dica-7")
% (c2m212introp 3 "dica-7")
% (c2m212introa "dica-7")
{\bf Algumas dicas de GA que valem pra C2 também}
A dica 7 é \ColorRed{INCRIVELMENTE} importante. Link:
\ssk
{\footnotesize
% (mpgp 5 "dicas")
% (mpg "dicas")
% (c2m211somas1dp 7 "dica-7")
% (c2m211somas1da "dica-7")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=5}
}
\scalebox{0.4}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
1) Aprenda a testar tudo: contas, possíveis soluções de equações,
representações gráficas de conjuntos...
2) Cada ``seja'' ou ``sejam'' que aparece nestas folhas é uma
definição, e você pode usá-los como exemplos de definições
bem-escritas (ééé!!!!) pra aprender jeitos de escrever as suas
definições.
3) Em ``matematiquês'' a gente quase não usa termos como ``ele'',
``ela'', ``isso'', ``aquilo'' e ''lá'' --- ao invés disso a gente
dá nomes curtos pros objetos ou usa expressões matemáticas pra
eles cujo resultado é o objeto que a gente quer... mas {\sl quando
a gente está discutindo problemas no papel ou no quadro} a gente
pode ser referir a determinados objetos {\sl apontando pra eles
com o dedo} e dizendo ``esse aqui''.
4) Se você estiver em dúvida sobre o que um problema quer dizer
tente escrever as suas várias hipóteses --- a prática de escrever
as suas idéias é o que vai te permitir aos poucos conseguir
resolver coisas de cabeça.
5) Muitas coisas aparecem nestas folhas escritas primeiro de um
jeito detalhado, e depois aos poucos de jeitos cada vez mais
curtos. Você vai ter que aprender a completar os detalhes.
6) Alguns exercícios destas folhas têm muitos subcasos. Nos
primeiros subcasos você provavelmente vai precisar fazer as contas
com todos os detalhes e verificá-las várias vezes pra não errar,
depois você vai aprender a fazê-las cada vez mais rápido, depois
vai poder fazê-las de cabeça, e depois você vai começar a
visualizar o que as contas ``querem dizer'' e vai conseguir chegar
ao resultado graficamente, sem contas; e se você estiver em dúvida
se o seu ``método gráfico'' está certo você vai poder conferir se
o ``método gráfico'' e o ``método contas'' dão aos mesmos
resultados.
}\anothercol{
7) Uma solução bem escrita pode incluir, além do resultado final,
contas, definições, representações gráficas, explicações em
português, testes, etc. Uma solução bem escrita é fácil de ler e
fácil de verificar. Você pode testar se uma solução sua está bem
escrita submetendo-a às seguinte pessoas: a) você mesmo logo
depois de você escrevê-la --- releia-a e veja se ela está clara;
b) você mesmo, horas depois ou no dia seguinte, quando você não
lembrar mais do que você pensava quando você a escreveu; c) um
colega que seja seu amigo; d) um colega que seja menos seu amigo
que o outro; e) o monitor ou o professor. Se as outras pessoas
acharem que ler a sua solução é um sofrimento, isso é mau sinal;
se as outras pessoas acharem que a sua solução está claríssima e
que elas devem estudar com você, isso é bom sinal. {\sl GA é um
curso de escrita matemática:} se você estiver estudando e
descobrir que uma solução sua pode ser reescrita de um jeito bem
melhor, não hesite --- reescrever é um ótimo exercício.
}}
\newpage
% «contexto» (to ".contexto")
% (c2m212introp 4 "contexto")
% (c2m212introa "contexto")
% (c2m211somas24p 12 "contexto")
% (c2m211somas24a "contexto")
{\bf Contexto}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Quase todas as expressões matemáticas que usamos em C2
\ColorRed{dependem do contexto}. Por exemplo, a interpretação
\ColorRed{default} pra esta expressão aqui:
%
$$f(x) = x-9 = 2$$
é:
%
$$\begin{tabular}{l}
\ColorRed{Para toda} função $f:\R→\R$ \\
e para todo $x∈\R$ temos: \\
$f(x) = x-9 = 2$
\end{tabular}
$$
Se você só escreve ``$f(x) = x-9 = 2$'' e mostra isso pro ``colega
que seja seu amigo'' ele vai levar meia hora tentando adivinhar
qual foi o contexto que você estava pensando mas não escreveu...
...e se ele descobrir em menos de, digamos, 50 tentativas, ele
vai dizer ``ok, jóia, tá certo!''.
}\anothercol{
O ``colega que seja menos seu amigo'' vai fazer menos tentativas,
e os personagens ``o monitor'' e ``o professor'' da Dica 7 vão
checar se o que você escreveu vai ser entendido corretamente por
qualquer pessoa que saiba as convenções de como escrever
matemática.
\msk
Lembre que \ColorRed{quase todo mundo} pára de ler um texto matemático
quando vê uma besteira muito grande escrita nele. Imagine
que um ``colega que seja menos seu amigo'' te mostra a
solução dele pra um problema e te pergunta se está certa.
A solução dele começa com:
%
$$\text{Sabemos que $2=3$. Então...}$$
O que você faria?
}}
\newpage
% ____ _ _
% / ___|(_)_ __ | |_ __ ___ _____
% \___ \| | '_ \| __/ _` \ \/ / _ \
% ___) | | | | | || (_| |> < __/
% |____/|_|_| |_|\__\__,_/_/\_\___|
%
% «sintaxe» (to ".sintaxe")
% (c2m212introp 5 "sintaxe")
% (c2m212introa "sintaxe")
{\bf Sintaxe}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Em Prog 1 você aprendeu a usar uma linguagem -- o C -- com uma
sintaxe que era totalmente nova pra você, e a cada aula você
aprendia mais algumas construções sintáticas -- ou, pra encurtar,
``sintaxes'' -- que o compilador entendia. E você deve ter dado
uma olhada de relance, durante poucos segundos, na sintaxe
completa do C em BNF, que é o apêndice A do Kernighan \&
Ritchie... na versão do K\&R que eu tenho esse apêndice A tem 9
páginas. É algo parecido com isso aqui:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://www.csci-snc.com/ExamplesX/C-Syntax.pdf}
\href{https://www2.cs.arizona.edu/~debray/Teaching/CSc453/DOCS/cminusminusspec.html}
{\tt https://www2.cs.arizona.edu/\~\ debray/Teaching/}
\href{https://www2.cs.arizona.edu/~debray/Teaching/CSc453/DOCS/cminusminusspec.html}
{\tt \ CSc453/DOCS/cminusminusspec.html}
}
\ssk
O pessoal de computação tem duas matérias sobre isso. Em
Linguagens Formais eles aprendem a definir matematicamente as
linguagens que um computador possa entender, e em Compiladores ele
aprendem a fazer programas que entendem certas ``linguagens
formais'' e ``compilam'' ``programas'' escritos nessas linguagens.
}\anothercol{
{\sl Quase} tudo nessas duas matérias é bem difícil de entender, mas
algumas poucas idéias são fáceis e a gente vai usar elas pra
entender algumas sintaxes que vão ser usadas em C2 e que devem ser
novas pra quase todo mundo... por exemplo estas,
$$\D \sum_{\asf{var} = \asf{expr}}^{\asf{expr}} \asf{expr}$$
$$\D \int
^{\asf{var} = \asf{expr}}
_{\asf{var} = \asf{expr}}
\asf{expr}
\,d\asf{var}
$$
$$\D \left. \asf{expr} \right|
^{\asf{var} = \asf{expr}}
_{\asf{var} = \asf{expr}}
$$
$$\D ∀\asf{var}{∈}\asf{expr}. \; \asf{expr}$$
$$\D ∃\asf{var}{∈}\asf{expr}. \; \asf{expr}$$
e as notações de ``set comprehensions'' daqui:
{\footnotesize
% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga "comprehension")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=8}
}
}}
\newpage
% «sintaxe-2» (to ".sintaxe-2")
% (c2m212introp 6 "sintaxe-2")
% (c2m212introa "sintaxe-2")
{\bf Sintaxe (2)}
{\footnotesize
Veja se você consegue entender isto. É adaptado de:
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Context-free_grammar}
}
\bsk
\bsk
\def\NT<#1>{〈\textsf{#1}〉}
\def\T#1{\ColorRed{\tt#1}}
\def\T#1{\mathstrut \ColorRed{\tt#1}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\textstyle#2}}
\def\BurUnd{
\und{\T{if}
\;\;
\T{(}
\und{\und{\und{\T{x}
}{\NT<Id>}
}{\NT<Expr>}
\und{\T{>}
}{\NT<Optr>}
\und{\und{\T{9}
}{\NT<Num>}
}{\NT<Expr>}
}{\NT<Expr>}
\T{)}
\;
\und{\und{\T{\{}
\und{\und{\und{\T{x}
}{\NT<Id>}
\T{=}
\und{\und{\T{0}
}{\NT<Num>}
}{\NT<Expr>}
\T{;}
}{\NT<Stmt>}
}{\NT<StmtList>}
\und{\und{\T{y}
}{\NT<Id>}
\T{=}
\und{\und{\T{y}
}{\NT<Expr>}
\und{\T{+}
}{\NT<Optr>}
\und{\T{1}
}{\NT<Expr>}
}{\NT<Expr>}
\T{;}
}{\NT<Stmt>}
\;
\T{\}}
}{\NT<StmtList>}
}{\NT<Stmt>}
}{\NT<Stmt>}
}
\vspace*{-0.25cm}
$\scalebox{0.55}{$
\begin{array}[t]{rcl}
\NT<Stmt> &→& \NT<Id> \; \T{=} \; \NT<Expr> \; \T{;} \\
\NT<Stmt> &→& \T{\{} \; \NT<StmtList> \; \T{\}} \\
\NT<Stmt> &→& \T{if} \; \T{(} \; \NT<Expr> \; \T{)} \; \NT<Stmt> \\
\NT<StmtList> &→& \NT<Stmt> \\
\NT<StmtList> &→& \NT<StmtList> \NT<Stmt> \\
\NT<Expr> &→& \NT<Id> \\
\NT<Expr> &→& \NT<Num> \\
\NT<Expr> &→& \NT<Expr> \; \NT<Optr> \; \NT<Expr> \\
\NT<Id> &→& \T{x} \\
\NT<Id> &→& \T{y} \\
\NT<Num> &→& \T{0} \\
\NT<Num> &→& \T{1} \\
\NT<Num> &→& \T{9} \\
\NT<Optr> &→& \T{>} \\
\NT<Optr> &→& \T{+} \\
\end{array}
\qquad
\BurUnd
$}
$
\newpage
% _ _
% | | (_)_ __ __ _ _ _ __ _ __ _ ___ _ __ ___
% | | | | '_ \ / _` | | | |/ _` |/ _` |/ _ \ '_ ` _ \
% | |___| | | | | (_| | |_| | (_| | (_| | __/ | | | | |
% |_____|_|_| |_|\__, |\__,_|\__,_|\__, |\___|_| |_| |_|
% |___/ |___/
%
% «linguagem» (to ".linguagem")
% (c2m212introp 7 "linguagem")
% (c2m212introa "linguagem")
{\bf A linguagem de Cálculo 2}
\scalebox{0.4}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
A linguagem de Cálculo 2 não tem uma gramática totalmente definida,
como o C. Cada livro usa convenções um pouco diferentes, e
\ColorRed{TODOS ELES} supõem que o leitor vai aprender a sintaxe certa
só lendo o livro e estudando -- não há um compilador no qual a gente
possa digitar expressões de Cálculo 2 e que vá dizer ``Syntax error''
onde a gente errar. O máximo que a gente tem são alguns programas que
entendem {\sl algumas} expressões de Cálculo 2 escritas em ascii e que
sabem converter essas expressões pra formatos mais bonitos. Por
exemplo:
\ssk
{\footnotesize
\url{https://docs.sympy.org/latest/tutorial/printing.html}
}
\msk
Existem programas que entendem demonstrações e que são capazes de
checar cada passo de uma demonstração pra ver se ele está correto.
Eles geralmente precisam de um monte de dicas sobre qual é a
justificativa de cada passo -- essas dicas são {\sl mais ou menos}
como a parte à direita dessa demonstração aqui, que aparece na página
370 do livro do Thomas:
% (find-latexscan-links "C2" "thomas11-p370-example-3")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-2-C2/thomas11-p370-example-3.pdf")
$$\includegraphics[width=9cm]{2021-2-C2/thomas11-p370-example-3.pdf}$$
Eu comecei a aprender um desses ``programas que entendem
demonstrações'' nas férias -- o Lean:
\ssk
{\footnotesize
\url{https://www.ma.imperial.ac.uk/~buzzard/xena/}
}
\ssk
Ele é considerado muito mais fácil de usar que os ``proof assistants''
anteriores a ele mas ele ainda é bem difícil. Existem tutoriais pra
ele nos quais os usuários têm que demonstrar na linguagem do Lean
montes de exercícios de Matemática Discreta e Cálculo 1, mas acho que
ainda falta bastante pra alunos de primeiro período conseguirem
resolver os seus exercícios na linguagem do Lean.
}\anothercol{
Eu vou fazer algumas referências ao Lean no curso, meio como
curiosidade e meio por conta de uma coisa cuja explicação é meio
longa. Lá vai.
\bsk
Uma das coisas que me dá mais ódio é ter que lidar com alunos que
escrevem um monte de contas totalmente sem pé nem cabeça nas provas e
depois juram que ``tava tudo certo, caramba'' e que eu só dei nota
baixa pra eles porque eu tava de marcação com eles. E tem uma coisa
que me dá tipo 1/100 desse ódio, que é lidar com alunos que fazem
demonstrações nos quais eles pulam montes de passos e juram que tudo
que eles fizeram ``é óbvio''.
Neste curso nós vamos ver as definições \ColorRed{precisas} de {\sl
alguns tipos} de ``passos óbvios'' que aparecem em demonstrações e
contas que são comuns de Cálculo 2. A maioria das demonstrações que
nós vamos ver são por sequências de igualdades, e vão ter este
formato:
$$\begin{array}{rcll}
\Expr &=& \Expr & \Just \\
&=& \Expr & \Just \\
&=& \Expr & \Just \\
&=& \Expr & \Just \\
\end{array}
$$
A operação de substituição que eu vou explicar nos próximos slides vai
servir pra \ColorRed{ZILHÕES} de coisas durante o curso -- entre elas
pra gente entender quais passos da forma abaixo são ``óbvios'':
%
$$\begin{array}{rcll}
\Expr &=& \Expr & \Just \\
\end{array}
$$
}}
% (find-thomas11-1page (+ 58 344) "Notation and existence of the definite integral")
% (find-thomas11-1page (+ 61 370) "Example 2")
% (find-thomas11-1page (+ 61 371) "Example 3")
% https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus#Substitution
\newpage
% ____ _ _ _ _ _
% / ___| _ _| |__ ___| |_(_) |_ _ _(_) ___ __ _ ___
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% ___) | |_| | |_) \__ \ |_| | |_| |_| | | (_| (_| | (_) |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__|_|\__|\__,_|_|\___\__,_|\___/
%
% «substituicao» (to ".substituicao")
% (c2m212introp 8 "substituicao")
% (c2m212introa "substituicao")
{\bf Substituição: introdução}
\scalebox{0.4}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Você deve ter alguma prática de substituições de variáveis ``em
português''... por exemplo,
% (c2m211substp 3 "subst-box")
% (c2m211substa "subst-box")
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Se substituirmos $x$ por $10a+b$
e $y$ por $3c+4d$ em:
%
$$x^y + 2x$$
%
obtemos:
%
$$(10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)$$
\end{minipage}}
\end{center}
E você também deve ter saber substituir funções ``usando português'':
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Digamos que $f(x)=x^2$. Então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(200) &=& 200^2 \\
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 \\
f(42x^3+99) &=& (42x^3+99)^2 \\[5pt]
f'(x) &=& 2x \\
f'(200) &=& 2·200 \\
f'(3u+4) &=& 2(3u+4) \\
f'(42x^3+99) &=& 2(42x^3+99) \\
\end{array}
$$
\end{minipage}}
\end{center}
Como o que você aprendeu em Prog 1 você provavelmente sabe fazer uma
função que recebe um string qualquer e substitui todas as letras
\qco{a} no string por \qqco{oo}s; se essa função receber o string
\qqco{banana} ela retorna \qqco{boonoonoo}. A gente diz que uma função
dessas é ``puramente sintática'' porque ela não se importa com o {\sl
significado} dos strings \qqco{banana} ou \qqco{boonoonoo}.
}\anothercol{
A nossa operação `$[:=]$' vai servir pra substituir tanto variáveis
quanto funções em expressões matemáticas. No caso mais básico a
sintaxe dela é esta aqui:
%
\def\Expro{\asf{expressão original}}
\def\Exprn{\asf{expressão nova}}
\def\Subst{\asf{substituição}}
\def\Var {\asf{var}}
\def\Expr {\asf{expr}}
%
$$\begin{array}{rcl}
\Expro \Subst &=& \Exprn \\[2.5pt]
\Expro [\Var := \Expr] &=& \Exprn \\
\end{array}
$$
Ela vai agir da forma mais sintática possível. Essa regra aqui vai ser
\ColorRed{MUITO IMPORTANTE}:
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
O `$=$' depois de uma substituição tem um significado especial
(...) a pronúncia dele é ``o resultado da substituição à esquerda
é a expressão à direita''.
\end{minipage}}
\end{center}
Eu não estou definindo {\sl precisamente} o que isso quer dizer, mas
olhe estes exemplos:
%
$$\begin{array}{rcl}
(2 = 3 + a·4) \, [a:=5] &=& (2 = 3 + 5·4) \\
(2 = 3 + a·4) \, [a:=5+6] &=& (2 = 3 + (5+6)·4) \\
(2 = 3 + a·4) \, [a:=10] &=& (2 = 3 + 40) \\
\end{array}
$$
As duas primeiras linhas seguem a idéia de que ``o resultado da
substituição à esquerda é a expressão à direita'' mas a terceira linha
não -- na terceira a gente tranformou o $10·4$ em 40, e nisso a gente
fez algo a mais além de simplesmente substituir o `$a$' por `10'.
Aqui as duas primeiras linhas são verdadeiras mas a terceira não,
%
$$\begin{array}{rcl}
(x^x) \, [x:=2+3] &=& (2+3)^{(2+3)} \\
(x^x) \, [x:=2+3] &=& (2+3)^{2+3} \\
(x^x) \, [x:=2+3] &=& 2+3^{2+3} \\
(x^x) \, [x:=2+3] &=& x^{2+3} \\
\end{array}
$$
%
porque na terceira a gente omitiu parênteses de um jeito que muda o
significado da expressão original. A quarta linha também é falsa,
porque ``$[x:=2+3]$'' quer dizer ``substitua \ColorRed{TODAS} as
ocorrências da variável $x$ por $2+3$ ou $(2+3)$'', e teve um `$x$'
que a gente não substituiu.
}}
% (c2m211substp 9 "igual-depois-de-subst")
% (c2m211substa "igual-depois-de-subst")
\newpage
% ____ _ _ _ _ _ ____
% / ___| _ _| |__ ___| |_(_) |_ _ _(_) ___ __ _ ___ |___ \
% \___ \| | | | '_ \/ __| __| | __| | | | |/ __/ _` |/ _ \ __) |
% ___) | |_| | |_) \__ \ |_| | |_| |_| | | (_| (_| | (_) | / __/
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%
% «substituicao-2» (to ".substituicao-2")
% (c2m212introp 9 "substituicao-2")
% (c2m212introa "substituicao-2")
{\bf Substituição: introdução (2)}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
A nossa operação `$[:=]$' também vai servir pra substuir funções.
Lembre que:
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Digamos que $f(x)=x^2$. Então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(200) &=& 200^2 \\
f(3u+4) &=& (3u+4)^2 \\
f(42x^3+99) &=& (42x^3+99)^2 \\[5pt]
f'(x) &=& 2x \\
f'(200) &=& 2·200 \\
f'(3u+4) &=& 2(3u+4) \\
f'(42x^3+99) &=& 2(42x^3+99) \\
\end{array}
$$
\end{minipage}}
\end{center}
Isto aqui vai ser verdade:
%
$$\D \left( \frac{f(200)+5}{f(3u+4)} \right)
\, \left[ f(x) := x^2 \right]
\;\; = \;\;
\left( \frac{200^2+5}{(3u+4)^2} \right)
$$
Agora eu vou introduzir uma gambiarra. A motivação pra ela é a
seguinte: se $f(x) = x^2 \sen x$ então temos dois jeitos equivalentes
de escrever $f'(x)$:
%
$$\begin{array}{rcl}
f'(x) &=& 2x·\sen x + x^2 \cos x \\
f'(x) &=& x^2 \cos x + 2x·\sen x \\
\end{array}
$$
Se a gente não decide de antemão qual das duas expressões pra $f'(x)$
a gente vai usar fica muito mais difícil -- pelo menos pra mim, que
sou péssimo em contas -- calcular o resultado de uma substituição como
esta:
%
$$\D \left( \frac{42+f(x)}{f'(x)} \right)
\, \left[ f(x) := x^2 \sen x \right]
\;\; = \;\;
\ColorRed{?}
$$
}\anothercol{
A gambiarra é que em substituições como a acima, em que tanto $f(x)$
quanto $f'(x)$ vão ter que ser substituídos, a gente sempre vai
escrever linhas novas na caixinha das substituições pra ajudar, e
essas linhas novas vão ser \ColorRed{consequências das linhas de
cima}. Por exemplo, a substituição acima pode virar isto,
%
$$\D \left( \frac{42+f(x)}{f'(x)} \right)
\, \bmat{ f(x) := x^2 \sen x \\ f'(x) := 2x·\sen x + x^2 \cos x }
\;\; = \;\;
\ColorRed{?}
$$
%
mas também poderíamos ter usado o $f'(x)$ na outra ordem.
\bsk
Uma das vantagens do `$[:=]$' ser uma operação ``puramente sintática''
é que podemos aplicar o `$[:=]$' a expressões cujo significado a gente
ainda não entende. Nós vamos usar isto muitas vezes no curso pra
entender definições que parecem complicadas porque são muito gerais. O
`$[:=]$' nos permite obter casos particulares que são fáceis de
entender.
\bsk
\bsk
\bsk
\ColorRed{\bf Exercício 1.}
Quando eu corrigi as P1s do semestre passado eu vi que muitas pessoas
ainda tinham muita dificuldade com o `$[:=]$', e aí depois de fazer o
gabarito dela eu pus um apêndice no PDF da P1 com exercícios baseados
no gabarito. Tente fazer o exercício da página 17; a definição da
fórmula $[\textsf{S2I}]$ está na página 7. Link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211p1p 14 "apendice")
% (c2m211p1a "apendice")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf#page=14
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf\#page=14}
}
}}
\newpage
% _____ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ / |
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%
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m212introp 10 "exercicio-1")
% (c2m212introa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\def\StwoIsetargs #1{\StwoIsetargss #1}
\def\StwoIsetargss#1#2#3#4#5#6{
\sa{x}{#1} \sa{u}{#2} \sa{gx}{#3} \sa{g'x}{#4}
\sa{nw}{F(\ga{gx})} \sa{ne}{#5}
\sa{sw}{F(\ga{u})} \sa{se}{#6}
}
\def\StwoItmp{
\isubstboxTT
{\ga{nw}} {\int \ga{ne} \, d\ga{x}}
{\ph{m}}
{\ga{sw}} {\int \ga{se} \, d\ga{u}}
{Se $F'(\ga{u})=\ga{se}$ então:}
{Obs: $\ga{u} =\ga{gx}$.}
}
\def\StwoIsubsts{
\bmat{x:=\ga{x} \\
u:=\ga{u} \\
f(\ga{u}):=\ga{se} \\
g(\ga{x}):=\ga{gx} \\
g'(\ga{x}):=\ga{g'x} \\
}
}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Este é o ``Exercício 1'' do apêndice do gabarito da P1 do semestre
passado, ligeiramente rearrumado e incluindo as dicas.
No semestre passado nós definimos a \pfo{S2I} -- que é uma
demonstração! -- deste jeito:
%
$$ \pfo{S2I} \;\;=\;\; \StwoI $$
Nós vamos usar ``\pfo{S2I}'' como uma {\sl abreviação} pra essa
coisa grandona entre parênteses.
Copie a \pfo{S2I} -- a versão ``por extenso'' dela, à direita do
`$=$' -- pra uma folha de papel e \ColorRed{recorte isso} pra você
poder reusar essa \pfo{S2I} ``por extenso'' sem precisar
copiá-la várias vezes. É sério, esse tuque da \pfo{S2I}
recortada vai te poupar muito tempo! Depois encontre os resultados
das quatro substituições da coluna da direita e compare-os com o
gabarito do próximo slide.
}\anothercol{
\def\eqq{\;\; = \;\; \Rd{?}}
$$\scalebox{1.0}{$
\begin{array}{l}
\StwoIsetargs{ {x} {u} {3x} {3}
{\frac{\cos(2+\sqrt{3x+4})}{2\sqrt{3x+4}}·3}
{\frac{\cos(2+\sqrt{ u+4})}{2\sqrt{ u+4}} } }
a) \;\; \pfo{S2I} \StwoIsubsts \eqq
%
\\[40pt]
%
\StwoIsetargs{ {u} {v} {u+4} {1}
{\frac{\cos(2+\sqrt{u+4})}{2\sqrt{u+4}}·1}
{\frac{\cos(2+\sqrt{ v })}{2\sqrt{ v }}} }
b) \;\; \pfo{S2I} \StwoIsubsts \eqq
%
\\[40pt]
%
\StwoIsetargs{ {v} {w} {\sqrt{v}} {(2\sqrt{v})^{-1}}
{\cos(2+\sqrt{v}) ·(2\sqrt{v})^{-1}}
{\cos(2+w)} }
c) \;\; \pfo{S2I} \StwoIsubsts \eqq
%
\\[40pt]
%
\StwoIsetargs{ {w} {y} {2+w} {1}
{\cos(2+w)·1}
{\cos(y)} }
d) \;\; \pfo{S2I} \StwoIsubsts \eqq
\\
\end{array}
$}
$$
}}
\newpage
% _____ _ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ / | __ _ __ _| |__
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ | | / _` |/ _` | '_ \
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | | | | (_| | (_| | |_) |
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_| \__, |\__,_|_.__/
% |___/
% «exercicio-1-gab» (to ".exercicio-1-gab")
% (c2m212introp 11 "exercicio-1-gab")
% (c2m212introa "exercicio-1-gab")
{\bf Gabarito do Exercício 1}
\ssk
$\scalebox{0.45}{$
\begin{array}{l}
\StwoIsetargs{ {x} {u} {3x} {3}
{\frac{\cos(2+\sqrt{3x+4})}{2\sqrt{3x+4}}·3}
{\frac{\cos(2+\sqrt{ u+4})}{2\sqrt{ u+4}} } }
\StwoI \StwoIsubsts \;\;=\;\; \StwoItmp
%
\\[55pt]
%
\StwoIsetargs{ {u} {v} {u+4} {1}
{\frac{\cos(2+\sqrt{u+4})}{2\sqrt{u+4}}·1}
{\frac{\cos(2+\sqrt{ v })}{2\sqrt{ v }}} }
\StwoI \StwoIsubsts \;\;=\;\; \StwoItmp
%
\\[55pt]
%
\StwoIsetargs{ {v} {w} {\sqrt{v}} {(2\sqrt{v})^{-1}}
{\cos(2+\sqrt{v}) ·(2\sqrt{v})^{-1}}
{\cos(2+w)} }
\StwoI \StwoIsubsts \;\;=\;\; \StwoItmp
%
\\[55pt]
%
\StwoIsetargs{ {w} {y} {2+w} {1}
{\cos(2+w)·1}
{\cos(y)} }
\StwoI \StwoIsubsts \;\;=\;\; \StwoItmp
\\
\end{array}
$}
$
\newpage
% _____ ____ ___ _ _
% | ____| _ \ / _ \ ___ ___| |__ _ _| |_ __ _ _ __
% | _| | | | | | | / __| / __| '_ \| | | | __/ _` | '__|
% | |___| |_| | |_| \__ \ | (__| | | | |_| | || (_| | |
% |_____|____/ \___/|___/ \___|_| |_|\__,_|\__\__,_|_|
%
% «EDOs-chutar-testar» (to ".EDOs-chutar-testar")
% (c2m212introp 12 "EDOs-chutar-testar")
% (c2m212introa "EDOs-chutar-testar")
{\bf EDOs por chutar e testar}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
Eu costumava começar o curso por este exercício aqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202introp 4 "EDOs")
% (c2m202introa "EDOs")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-intro.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-intro.pdf\#page=4}
}
\msk
Considere estas equações:
%
$$
\begin{array}{rll}
1) & x+2 = 5 \\
2) & x^2+3 = 7 \\
3) & x^2+x = 6 \\[5pt]
4) & f'(x) = x^4 \\
5) & f'(x) = 2f(x) \\
6) & f''(x) + f'(x) = 6f(x) \\
7) & f'(x) = -1/f(x) \\
8) & f'(x) = -x/f(x) \\
\end{array}
$$
As equações 1--3 são equações ``comuns'' em que temos que encontrar
valores de $x$ que satisfaçam a igualdade e as equação 4--8 são EDOs
em que temos que encontrar \ColorRed{funções} $f$ que satisfaçam a
igualdade \ColorRed{para todo $x$ no domínio de $f$}. A sugestão pros
exercícios 4--8 é: \ColorRed{comece} testando as `$f$'s abaixo...
%
$$\begin{array}{rll}
f(x) &=& x^3, \\
f(x) &=& x^5, \\
f(x) &=& 200x^5 + 42, \\
f(x) &=& e^x, \\
f(x) &=& e^{42x}, \\
f(x) &=& e^{2x}, \\
f(x) &=& e^{3x}, \\
f(x) &=& \sqrt{1-x^2}, \\
f(x) &=& \sqrt{4-x^2}. \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
Normalmente esses testes são feitos usando Português. Por exemplo:
\begin{quote}
Vamos tentar encontrar soluções para a EDO $f'(x) = x^4$ por
chutar-e-testar. Vamos ver se $f(x) = x^3$ é uma solução para esta
EDO. Substituindo $f(x)$ por $f(x) = x^3$ na EDO $f'(x) = x^4$
obtemos $3x^2 = x^4$; esta igualdade não é verdadeira para todo
$x$, então a função $f(x) = x^3$ não é uma solução para a EDO
$f'(x) = x^4$.
\end{quote}
A parte em que todo mundo se enrola é o ``Substituindo $f(x)$ por
$f(x) = x^3$ na EDO $f'(x) = x^4$ obtemos...''. Como o `$[:=]$' nós
podemos escrever esse passo como:
%
$$(f'(x) = x^4) \; \Subst{f(x) := x^3 \\ f'(x) := 3x^2}
\;\; = \;\; (3x^2 = x^4)
$$
%
e temos
%
$$(∀x∈\R.\; 3x^2 = x^4) \;\;=\;\; \False.$$
O domínio da função $f(x) = x^3$ é $\R$, e por isso eu usei
``$∀x∈\R$'' logo acima. Em Cálculo 2 muitos detalhes, como os
domínios das funções, ou só são preenchidos no final ou são deixados
implícitos (``a cargo do leitor'')... aí os livros normalmente vão
dizer só algo como ``$3x^2 = x^4$ é falso'' e você vai ter que
descobrir os detalhes por si mesmo.
\bsk
{\bf \ColorRed{Exercício 2.}}
Encontre soluções das EDOs 4--8 por chutar-e-testar. Use as `$f$'s
sugeridas à esquerda.
}}
\newpage
% ____ _ _
% / ___| ___ _ __ ___ __ _| |_ ___ _ __(_) ___ ___
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` | __/ _ \| '__| |/ _ \/ __|
% ___) | (_) | | | | | | (_| | || (_) | | | | (_) \__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|\__\___/|_| |_|\___/|___/
%
% «somatorios» (to ".somatorios")
% (c2m212introp 13 "somatorios")
% (c2m212introa "somatorios")
{\bf Somatórios}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
O material desta página foi adaptado daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211substp 19 "somatorios")
% (c2m211substa "somatorios")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf#page=19
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf\#page=19}
}
\bsk
Antigamente somatórios eram matéria de ensino médio, mas hoje em
dia muita gente chega em Cálculo 2 sem nunca ter visto
somatórios...
As fórmulas para somas de progressões aritméticas (PAs) e para
somas de progressões geométricas (PGs) usam `$\sum$'s. Veja:
\bsk
{\footnotesize
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress\%C3\%A3o_aritm\%C3\%A9tica}
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress\%C3\%A3o_geom\%C3\%A9trica}
% https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio
\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat\%C3\%B3rio}
}
% «soma-PG» (to ".soma-PG")
% (c2m212introp 13 "soma-PG")
% (c2m212introa "soma-PG")
% (c2m211substp 13 "soma-PG")
% (c2m211substa "soma-PG")
\bsk
Relembre:
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\
&=& 100 + 1000 + 10000 + 100000 \\
&=& 111100 \\
(1-10) \sum_{k=2}^{5} 10^k &=& (1-10)(100 + 1000 + 10000 + 100000) \\
&=& (100 + 1000 + 10000 + 100000) \\
&& - (1000 + 10000 + 100000 + 1000000) \\
&=& 100 - 1000000 \\
&=& 10^2 - 10^{5+1} \\
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& \D \frac{10^2 - 10^{5+1}}{1-10} \\
\end{array}
$}
$$
A fórmula geral é: \quad
%
$\D \sum_{k=a}^{b} x^k
\; = \;
\D \frac{x^a - x^{b+1}}{1 - x}
\; = \;
\D \frac{x^{b+1}- x^a}{x - 1}
$
\;.
}\anothercol{
% «somatorio-expansao» (to ".somatorio-expansao")
% (c2m212introp 13 "somatorio-expansao")
% (c2m212introa "somatorio-expansao")
Repare que dá pra calcular o somatório do início do slide anterior
em mais passos usando o `$[:=]$'...
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\[5pt]
\sum_{k=2}^{5} 10^k &=& (10^k) [k:=2] \\
&+& (10^k) [k:=3] \\
&+& (10^k) [k:=4] \\
&+& (10^k) [k:=5] \\[2.5pt]
&=& 10^2 + 10^3 + 10^4 + 10^5 \\
\end{array}
$}
$$
Às vezes a gente vai usar esse passo intermediário com `$[:=]$'s pra
não se enrolar em somatórios de expressões complicadas... Por
exemplo aqui, e nas páginas seguintes:
\ssk
% (c2m211somas1p 12 "partition-sum")
% (c2m211somas1a "partition-sum")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf#page=12
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-1.pdf\#page=12}
}
\bsk
% «somatorios-exercs» (to ".somatorios-exercs")
% (c2m212introp 13 "somatorios-exercs")
% (c2m212introa "somatorios-exercs")
% (c2m211substp 22 "somatorios-exercs")
% (c2m211substa "somatorios-exercs")
{\bf \ColorRed{Exercício 3:}}
\ssk
Expanda e calcule:
a) $\sum_{n=1}^5 (2n-1)$
\ssk
b) $\sum_{n=0}^4 (2n+1)$
\msk
c) $\sum_{k=0}^2 (k+1)$
\msk
d) $\sum_{k=0}^2 k + 1$
\msk
e) $\left( \sum_{k=0}^2 k \right) +1$
\msk
Expanda e calcule/simplifique até onde der:
f) $\sum_{n=1}^5 (2k-1)$
\ssk
g) $\sum_{k=1}^5 (2n-1)$
\ssk
h) $\sum_{n=4}^6 f(10n)$
\ssk
i) $\sum_{n=4}^6 f(10n)$, onde $f(x) = 10x$
}}
% (c2m211p1p 14 "apendice")
% (c2m211p1a "apendice")
% (c2m211p1p 17 "exercicio")
% (c2m211p1a "exercicio")
% (c2m211substp 28 "depoimento-pessoal")
% (c2m211substa "depoimento-pessoal")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf#page=28
%\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-subst.pdf\#page=28}
% (c2m211substp 9 "dicas-subst")
% (c2m211substa "dicas-subst")
% Tipos de =
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f thomas11-p370-example-3
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-intro veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-intro pdf
% «elisp» (to ".elisp")
(defun cols () (interactive) (insert "
\\scalebox{0.6}{\\def\\colwidth{9cm}\\firstcol{
}\\anothercol{
}}
"))
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2i"
% ee-tla: "c2m212intro"
% End: