|
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% (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C3-diag-nums.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C3-diag-nums.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.lua"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-curvas-de-nivel.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C3-diag-nums"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C3-diag-nums.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C3-diag-nums")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C3-diag-nums.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf
% file:///tmp/2021-2-C3-diag-nums.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C3-diag-nums.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C3-diag-nums" "3" "c3m212dn" "c3dn")
% «.videos» (to "videos")
% «.video-diagonal» (to "video-diagonal")
% «.videos-antigos» (to "videos-antigos")
%
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.minecraft» (to "minecraft")
% «.postes» (to "postes")
% «.eq-da-superficie» (to "eq-da-superficie")
% «.figuras-3D» (to "figuras-3D")
% «.exercicios-12» (to "exercicios-12")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-2-maxima» (to "exercicio-2-maxima")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.diag-sinais-em-R» (to "diag-sinais-em-R")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.signif-geom-ztt» (to "signif-geom-ztt")
% «.exercicio-8» (to "exercicio-8")
% «.cabos-na-diagonal» (to "cabos-na-diagonal")
% «.sups-quadrs» (to "sups-quadrs")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
%
% «.PDFs-antigos» (to "PDFs-antigos")
% «.links» (to "links")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «videos» (to ".videos")
% «video-diagonal» (to ".video-diagonal")
% (c3m212dna "video-diagonal")
% (find-ssr-links "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevvideo "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevlinksvideo "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (find-yttranscript-links "c3cd" "nxsIK0tPWAI")
% (find-c3cdvideo "0:00")
% (find-c3cdvideo "04:38" "a gente não sabe direito o que que tem no")
% (find-c3cdvideo "04:39" "miolo desse quadrado e tem duas coisas naturais")
% (find-c3cdvideo "06:58" "se a gente vê começa a mudar o ângulo dessa")
% (find-c3cdvideo "07:01" "curva pra gente ver ela desse jeito")
% (find-c3cdvideo "13:10" "uma parte do quadrado tá horizontal e a")
% (find-c3cdvideo "13:13" "outra parte sobe bem rápido")
% «videos-antigos» (to ".videos-antigos")
% (c3m211cna "video-1")
% (c3m211cna "video-2")
% (c3m211qa "video-1")
% (c3m211qa "video-2")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m212dn" "2021-2-C3-diag-nums")
% (code-eevvideo "c3m212dn" "2021-2-C3-diag-nums")
% (code-eevlinksvideo "c3m212dn" "2021-2-C3-diag-nums")
% (find-c3m212dnvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L dofile "2021-1-C3-3D.lua" -- (find-LATEX "2021-1-C3-3D.lua")
%L
%L V3.__index.tostring = function (v) return v:v2string() end
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\pictgray#1{{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}#1}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m212dnp 1 "title")
% (c3m212dna "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2021.2}
\bsk
Aula 16: diagramas de numerozinhos
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «minecraft» (to ".minecraft")
% (c3m212dnp 2 "minecraft")
% (c3m212dna "minecraft")
{\bf Minecraft}
Aqui tem um vídeo sobre o Minecraft que eu achei muito bom:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://www.youtube.com/watch?v=fjZAgoxFKiQ}
}
\ssk
Assistam o trecho entre 3:00 e 8:30 dele.
\bsk
O mundo do Minecraft é feito de cubos, e se não fosse
pelas árvores, cavernas, nuvens, castelos e umas outras
coisas complicadas nós poderíamos descrever a superfície
desse mundo só dizendo a altura dela em cada ponto $(x,y)$
--- onde esses $x$ e $y$ são inteiros e a altura também é um
número inteiro.
% (find-youtubedl-links "/sda5/videos/Math/" nil "fjZAgoxFKiQ" nil "minecraft")
% (code-video "minecraftvideo" "/sda5/videos/Math/Why_Minecraft_is_a_Technical_Feat_Explaining_the_Engineering_Behind_an_Indie_Icon-fjZAgoxFKiQ.webm")
% (find-minecraftvideo "3:03")
% (find-minecraftvideo "3:55" "triangulos")
% (find-minecraftvideo "5:00")
% (find-minecraftvideo "8:00")
\newpage
% «postes» (to ".postes")
% (c3m212dnp 3 "postes")
% (c3m212dna "postes")
{\bf Diagramas de numerozinhos: postes}
Nós vamos usar um método de representar superfícies por poucos números
que eu chamo de ``diagramas de numerozinhos''. Cada número escrito
sobre um ponto do plano $(x,y)$ num diagrama de numerozinhos vai ser
interpretado como a altura de um poste apoiado naquele ponto; se a
gente escreveu ``5'' no ponto $(3,4)$ isso quer dizer que temos um
poste de altura 5 no ponto $(3,4)$ do $\R^2$, e quando consideramos
que esse poste está em $\R^3$ a base do poste é o ponto $(3,4,0)$ e o
topo dele é o ponto $(3,4,5)$.
Nós geralmente vamos colocar postes só em pontos que têm coordenadas
$x$ e $y$ inteiras, e vamos ligar o topo de cada poste aos topos dos
postes vizinhos usando cabos que são segmentos de retas.
\newpage
{\bf Dois vídeos antigos}
Comece assistindo estes dois vídeos do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211cna "video-1")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-curvas-de-nivel.mp4}
\url{http://www.youtube.com/watch?v=mrNyBAMOyqo}
\msk
% (c3m211cna "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-curvas-de-nivel-2.mp4}
\url{http://www.youtube.com/watch?v=usBNtNyZRCA}
}
\msk
No semestre passado eu apresentei curvas de nível primeiro e diagramas
de numerozinhos depois, mas neste semestre nós vamos ver isso na ordem
oposta... então não se preocupe muito com as partes dos vídeos que
falam de curvas de nível.
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m212dnp 5 "exercicio-1")
% (c3m212dna "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Faça este exercício aqui do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211cnp 3 "exercicio-1")
% (c3m211cna "exercicio-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf#page=3
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf#page=3}
}
\ssk
Repare que ele tem gabarito! $\smile$
\bsk
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m212dnp 5 "exercicio-2")
% (c3m212dna "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Trate isto aqui como um item extra do exercício 1:
Sejam: $q(t) = \max(0, t-2)$, $r(t) = \min(q(t), 2)$,
$S(x,y) = \max(r(x), r(y))$.
\msk
a) Desenhe os gráficos de $q(t)$ e $r(t)$.
b) Faça o diagrama de numerozinhos de $S(x,y)$ --
use os pontos com $x,y∈\{0, \ldots, 6\}$ (49 pontos).
c) Represente a superfície $z=S(x,y)$ em 3D.
Faça o desenho à mão usando perspectiva improvisada.
% «exercicio-2-maxima» (to ".exercicio-2-maxima")
% (c3m212dnp 5 "exercicio-2-maxima")
% (c3m212dna "exercicio-2-maxima")
% (find-es "maxima" "2021-2-C3-diag-nums")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%M ")
%
%M * (eepitch-maxima)
%M * (eepitch-kill)
%M * (eepitch-maxima)
%M max(2, 4);
%M min(2, 4);
%M q(t) := max(0, t-2);
%M r(t) := min(q(t), 2);
%M S(x,y) := max(r(x), r(y));
%M plot2d (q(t), [t, 0, 6]);
%M plot2d (r(t), [t, 0, 6]);
%M plot3d (S(x,y), [x, 0, 6], [y, 0, 6]);
\newpage
% ____ _ _
% | _ \(_) __ _ __ _ ___ _ __ __ _| |
% | | | | |/ _` |/ _` |/ _ \| '_ \ / _` | |
% | |_| | | (_| | (_| | (_) | | | | (_| | |
% |____/|_|\__,_|\__, |\___/|_| |_|\__,_|_|
% |___/
%
% «cabos-na-diagonal» (to ".cabos-na-diagonal")
% (c3m212dnp 5 "cabos-na-diagonal")
% (c3m212dna "cabos-na-diagonal")
% (find-minecraftvideo "3:55" "triangulos")
% (find-es "maxima" "cabos-na-diagonal")
% (c3m211cnp 15 "figura-piramide")
% (c3m211cna "figura-piramide")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf /tmp/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C3-diag-nums.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf /tmp/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf")
{\bf Cabos na diagonal}
Aqui tem um vídeo sobre algumas situações em que a gente
obtém figuras ambíguas se a gente só ligar cada poste aos
seus quatro vizinhos, e em que a gente consegue figuras
bem melhores se a gente desenhar alguns cabos na diagonal:
\msk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-2-c3-cabos-na-diagonal.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=nxsIK0tPWAI}
}
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 3.}
Assista o vídeo acima e descubra em quais lugares
do seu exercício 2 você precisa acrescentar cabos
na diagonal.
\newpage
% «sups-quadrs» (to ".sups-quadrs")
% (c3m212dnp 7 "sups-quadrs")
% (c3m212dna "sups-quadrs")
{\bf Algumas superfícies quadráticas}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi3page (+ -78 81) "3.2. Funções de duas variáveis")
% (find-bortolossi3page (+ -78 86) "Vamos tentar outros cortes. (Figs: pp.90-95)")
% (find-bortolossi3page (+ -78 93) "Exemplo 3.2. Sela de cavalo.")
Dê uma olhada nas páginas 81 a 96 do Bortolossi ---
\msk
Ele apresenta superfícies quadráticas de um jeito que supõe
que a pessoa que está lendo 1) tem acesso a um computador
pra fazer gráficos, e 2) que ela lembra a matéria do final de GA
mais ou menos bem. Não tem nada a ver com a nossa situação...
\msk
Agora nós vamos ver um jeito de usar os diagramas de
numerozinhos e as ``variáveis dependentes'' do Thompson pra
visualizar certas superfícies quadráticas fazendo bem poucas
contas --- e depois vamos usar essas superfícies quadráticas
pra um montão de coisas diferentes.
% (c3m211planosp 1 "title")
% (c3m211planosa "title")
% (c3m211qp 1 "title")
% (c3m211qa "title")
\newpage
% «eq-da-superficie» (to ".eq-da-superficie")
% (c3m212dnp 8 "eq-da-superficie")
% (c3m212dna "eq-da-superficie")
{\bf A equação da superfície}
Nós vamos usar esta equação pra nossa superfície:
%
$$\begin{array}{rcl}
z &=& z(x,y) \\
&=& z(x_1,y_1) \\
&=& a + b·(x_1-x_0) + c·(y_1-y_0) \\
&+& d·(x_1-x_0)^2 + e·(x_1-x_0)(y_1-y_0) \\
&+& f·(y_1-y_0)^2 \\
&=& a + bΔx + cΔy + dΔx^2 + eΔxΔy + fΔy^2 \\
\end{array}
$$
Repare que vamos usar $x=x_1$ e $y=y_1$ pra podermos
usar as convenções $Δx=x_1-x_0$ e $Δy=y_1-y_0$ sem
precisamos definir nada extra.
\msk
Nas figuras dos próximos slides vamos sempre usar
$x_0=3$ e $y_0=2$.
\newpage
% «point-of-view» (to ".point-of-view")
% (c3m212dnp 9 "point-of-view")
% (c3m212dna "point-of-view")
% (c3m211qp 4 "point-of-view")
% (c3m211qa "point-of-view")
% (find-LATEX "2021-1-C3-3D.lua" "QuadraticFunction-tests")
%L
%L V3.__index.p1 = V{2, -0.5}
%L V3.__index.p2 = V{1, 1.5}
%L V3.__index.p3 = V{0, 2}
%L
%L V3.__index.p1 = V{2, -0.5}
%L V3.__index.p2 = V{0.5, 1.7}
%L V3.__index.p3 = V{0, 0.5}
%L
%L setsrf = function (tbl)
%L tbl.x0 = 3
%L tbl.y0 = 2
%L qf = QuadraticFunction(tbl)
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
%L end
\pu
\def\setsrf#1{\directlua{setsrf({#1})}}
\def\QuadraticInPerspective#1{
\myvcenter{
\beginpicture(0,-3)(10,6)
\pictgray{\expr{v3():xygrid(4,3) }}
\expr {v3():axeswithticks(4,3,3) }
\expr {#1:diagonals(8, "c") }
\expr {#1:square (8, "0") }
\pictgray{\expr{#1:square (2, "p") }}
\expr {#1:square (8, "c") }
\end{picture}}}
% ----------------------------------------
% «figuras-3D» (to ".figuras-3D")
% (c3m212dnp 9 "figuras-3D")
% (c3m212dna "figuras-3D")
% (c3m211qp 4 "figuras-3D")
% (c3m211qa "figuras-3D")
\unitlength=8pt
\def\QP#1#2{
\begin{array}{c}
\setsrf {#1}
\QuadraticInPerspective{srf} \\
#2
\end{array}
}
\pu
$$\begin{array}{c}
\QP {a=2} {z = 2}
\quad
\QP {a=2, Dx=1} {z = 2+Δx}
\quad
\QP {a=2, Dxx=1} {z = 2+Δx^2}
\\
\\
\QP {a=2} {z = 2}
\quad
\QP {a=2, Dy=1} {z = 2+Δy}
\quad
\QP {a=2, Dyy=1} {z = 2+Δy^2}
\end{array}
$$
\newpage
$$\begin{array}{c}
\QP {a=2, Dx=1, Dy=1} {z = 2 + (Δx + Δy)}
\quad
\QP {a=2, Dxx=1, Dyy=1, Dxy=2} {z = 2 + (Δx + Δy)^2}
\\
\\
\QP {a=2, Dx=-1, Dy=1} {z = 2 + (Δy - Δx)}
\quad
\QP {a=2, Dxx=1, Dyy=1, Dxy=-2} {z = 2 + (Δy - Δx)^2}
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m212dnp 11 "exercicio-4")
% (c3m212dna "exercicio-4")
% (c3m211qp 6 "exercicio-1")
% (c3m211qa "exercicio-1")
{\bf Exercício 4.}
Faça o diagram de numerozinhos de cada uma das superfícies
abaixo. Considere que os pontos que nos interessam são só
os em que $x∈\{x_0-1, x_0, x_0+1\}$ e $y∈\{y_0-1, y_0, y_0+1\}$.
Veja este vídeo pra entender:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211qa "video-1")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=2noSv8hyNIk}
}
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
a) $z = 2$ \\
b) $z = x$ \\
c) $z = Δx$ \\
d) $z = Δx^2$ \\
e) $z = Δx^2 + 2$ \\
\end{tabular}
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
f) $z = y$ \\
g) $z = Δy$ \\
h) $z = Δy^2$ \\
i) $z = Δy^2 + 2$ \\
j) $z = Δx^2+Δy^2$ \\
k) $z = Δx^2+Δy^2 + 2$ \\
\end{tabular}
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
l) $z = Δx+Δy$ \\
m) $z = (Δx+Δy)^2$ \\
n) $z = (Δx+Δy)^2 + 2$ \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% «diag-sinais-em-R» (to ".diag-sinais-em-R")
% (c3m212dnp 12 "exercicio-5")
% (c3m212dna "exercicio-5")
% (c3m211qp 7 "exercicio-2")
% (c3m211qa "exercicio-2")
{\bf Exercício 5.}
Relembre o que era o ``estudo do sinal de uma função''
que você deve ter visto em Cálculo 1, e faça um diagramas
indicando em que intervalos cada uma das funções abaixo
é positiva, negativa, ou zero.
\ssk
Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}
}
\msk
a) $x$
b) $x+1$
c) $x(x+1)$
d) $4-x$
e) $x(x+1)(4-x)$
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c3m212dnp 13 "exercicio-6")
% (c3m212dna "exercicio-6")
% (c3m211qp 8 "exercicio-3")
% (c3m211qa "exercicio-3")
{\bf Exercício 6.}
Agora adapte essa idéia do diagrama do sinal para $\R^2$,
no quadrado com $x∈[x_0-1,x_0+1]$ e $y∈[y_0-1,y_0+1]$,
e faça o diagrama do sinal para cada uma das funções abaixo.
Dica: veja este vídeo, sobre diagramas de sinais em $\R^2$:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m211qa "video-2")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}
}
\msk
\begin{tabular}[t]{l}
a) $Δx$ \\
b) $Δx^2$ \\
c) $Δy$ \\
d) $ΔxΔy$ \\
e) $Δx+Δy$ \\
f) $Δx-Δy$ \\
g) $(Δx+Δy)^2$ \\
h) $(Δx-Δy)^2$ \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{l}
i) $(Δx+Δy)(Δx-Δy)$ \\
j) $(Δx+Δy)Δx$ \\
k) $-(Δx+Δy)^2$ \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c3m212dnp 14 "exercicio-7")
% (c3m212dna "exercicio-7")
% (c3m211qp 9 "exercicio-4")
% (c3m211qa "exercicio-4")
{\bf Exercício 7.}
A partir de agora vamos considerar que:
%
$$\begin{array}{rcl}
x &=& x(t) \\
&=& x(t_1) \\
&=& x_0 + α·(t_1-t_0) \\
&=& x_0 + αΔt \\
y &=& y(t) \\
&=& y(t_1) \\
&=& y_0 + β·(t_1-t_0) \\
&=& y_0 + βΔt \\
\end{array}
$$
Onde $t_0=5$; $x_0$ e $y_0$ continuam os mesmos de antes,
e $α$ e $β$ são constantes cujos valores podem depender
do contexto.
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
A trajetória $(x(t), y(t))$ é sempre um movimento
retilíneo uniforme pra quaisquer valores de $α$ e $β$.
\ssk
a) Calcule $\VEC{x_t, y_t}$.
\bsk
Cada escolha de valores para $α$ e $β$ dá uma trajetória
diferente. Nos itens abaixo você vai visualizar algumas
dessas trajetórias e vai desenhá-las no papel --- desta
forma aqui: você vai marcar no plano os pontos
$(x(t_0+Δt), y(t_0+Δt))$ para $Δt=-1,0,1$, vai escrever
``$Δt=-1$'', ``$Δt=0$'' e ``$Δt=1$'' do lado dos pontos
correspondentes a esses valores de $Δt$, e ao lado de
cada desenho você vai escrever os valores de $α$ e $β$.
\msk
b) Desenhe a trajetória associada a $α=1$, $β=0$.
c) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=1$.
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
...e além disso você vai escrever algo como ``Leste'' (ou ``E''),
``Noroeste'' (ou ``NW'') do lado de cada um dos seus desenhos
de trajetórias pra indicar em que direção o ponto $(x,y)$ está
andando. Use a convenção que costuma ser usada em mapas,
matemática e videogames, em que o Leste é pra direita e o
Norte é pra cima:
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210813_direcoes")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf")
$$\includegraphics[height=3.5cm]{2021-1-C3/20210813_direcoes.pdf}
$$
\newpage
{\bf Exercício 7 (cont.)}
\ssk
d) Desenhe a trajetória associada a $α=0$, $β=-1$
e diga o nome da direção dela.
\ssk
e) Desenhe a trajetória associada a $α=-1$, $β=1$.
e diga o nome da direção dela.
\ssk
f) Quais são os valores mais simples de $α$ e $β$ ---
onde ``simples'' quer dizer ``$0$, $1$ ou $-1$'' --- que fazem
a trajetória ir pro nordeste? E pro sudoeste?
\bsk
\bsk
Nos próximos exercícios eu vou me referir a essas
trajetórias em que $α$ e $β$ são números ``simples''
pelos \ColorRed{nomes das direções} delas.
\newpage
% «zt-e-ztt-intro» (to ".zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qp 13 "zt-e-ztt-intro")
% (c3m211qa "zt-e-ztt-intro")
{\bf O significado geométrico de $z_t$}
Nós sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ a partir de $t$,
e sabemos calcular $z$, $z_t$ e $z_{tt}$ em $t_0$.
\ssk
Com um pouquinho de esforço você deve ser
capaz de visualizar o que acontece perto de $t_0$...
o valor da primeira derivada, $(z_t)(t_0)$, diz o seguinte:
\def\LR{$\Longleftrightarrow$}
\msk
\begin{tabular}{lll}
$z$ aumenta quando $t$ aumenta (``crescente'') &\LR& $(z_t)(t_0)>0$ \\
$z$ ``fica horizontal'' quando $t$ aumenta &\LR& $(z_t)(t_0)=0$ \\
$z$ diminui quando $t$ aumenta (``decrescente'') &\LR& $(z_t)(t_0)<0$ \\
\end{tabular}
\bsk
\bsk
\ColorRed{
Veja o vídeo!!!
}
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211qa "video-3")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-3.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=VwowES6EM3Y}
}
\newpage
% «signif-geom-ztt» (to ".signif-geom-ztt")
% (c3m212dnp 19 "signif-geom-ztt")
% (c3m212dna "signif-geom-ztt")
{\bf O significado geométrico de $z_{tt}$}
Nos casos em que $z$ ``fica horizontal'' nós vamos usar
a segunda derivada, $(z_{tt})(t_0)$, pra ver se o gráfico de
$z(t)$ ``parece uma parábola'' ao redor de $t_0$, e se essa
parábola tem concavidade pra cima ou pra baixo:
\msk
\begin{tabular}{lll}
concavidade pra cima &\LR& $(z_{tt})(t_0)>0$ \\
``parece horizontal'' &\LR& $(z_{tt})(t_0)=0$ \\
concavidade pra baixo &\LR& $(z_{tt})(t_0)<0$ \\
\end{tabular}
\bsk
Eu usei muitos termos informais de propósito.
No \ColorRed{próximo exercício} você vai tentar descobrir
\ColorRed{sem fazer contas} qual é o comportamento da $z$
em torno de $t_0$, e no \ColorRed{outro exercício} você vai
\ColorRed{fazer as contas} e vai ver se o seu olhômetro
funcionou direito.
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c3m212dnp 20 "exercicio-8")
% (c3m212dna "exercicio-8")
% (c3m211qp 15 "exercicio-5")
% (c3m211qa "exercicio-5")
{\bf Exercício 8.}
\unitlength=20pt
Em cada um dos desenhos dos próximos slides diga
o que acontece quando a trajetória $(x(t),y(t))$ anda
em uma das oito direções simples, que são:
\msk
norte, nordeste, leste, sudeste,
sul, sudoeste, oeste, noroeste.
\bsk
Use estas categorias na suas respostas:
\msk
$z$ cresce
$z$ decresce
$z$ faz uma parábola com concavidade pra cima
$z$ faz uma parábola com concavidade pra baixo
$z$ é ``muito horizontal''
%L qf = QuadraticFunction {x0=3, y0=2, a=2, Dx=0, Dy=0, Dxx=1, Dyy=1, Dxy=0}
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
\pu
$$\QuadraticInPerspective{srf}
$$
\newpage
%L qf = QuadraticFunction {x0=3, y0=2, a=2, Dx=0, Dy=0, Dxx=1, Dyy=-1, Dxy=0}
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
\pu
$$\QuadraticInPerspective{srf}
$$
\newpage
% (c3m211cna "video-1")
% (c3m211cna "video-2")
% (c3m212dnp 3 "links")
% (c3m212dna "links")
% (c3m211cnp 2 "links")
% (c3m211cna "links")
PDFs antigos:
\msk
Sobre ``adivinhar trajetórias'':
{\footnotesize
% (c3m211vtp 6 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vta "sobre-adivinhar-trajetorias")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-vetor-tangente.pdf#page=6
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-vetor-tangente.pdf\#page=6}
}
\msk
Diagramas de numerozinhos (2020.2):
{\footnotesize
% (c3m202rcadeia1p 14 "exercicio-6")
% (c3m202rcadeia1a "exercicio-6")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-rcadeia1.pdf#page=14
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-rcadeia1.pdf\#page=14}
}
\msk
Mini-teste sobre cortes em superfícies no olhômetro (2020.2):
{\footnotesize
% (c3m202mt1p 4 "figura-intro")
% (c3m202mt1a "figura-intro")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-MT1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-MT1.pdf\#page=4}
}
\msk
Questão 1 da P1 de 2020.2:
{\footnotesize
% (c3m202p1p 8 "gabarito-1")
% (c3m202p1a "gabarito-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-P1.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-P1.pdf\#page=8}
}
\msk
Curvas de nível e diagramas de numerozinhos (2021.1):
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211cnp 3 "exercicio-1")
% (c3m211cna "exercicio-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf#page=3
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-curvas-de-nivel.pdf#page=3}
}
\ssk
\newpage
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-diag-nums veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-diag-nums pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3dn"
% ee-tla: "c3m212dn"
% End: