|
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% (find-LATEX "2022-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-1-C2-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-1-C2-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-P1.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-1-C2-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-1-C2-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-1-C2-P2")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-1-C2-P2.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/2022-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/pen/2022-1-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Lazy2.lua Lazy3.lua Lazy4.lua Verbatim1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Lazy5.lua Pict2e1.lua Verbatim1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-1-C2-P2" "2" "c2m221p2" "c2p2")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.title» (to "title")
% «.lazy-defs» (to "lazy-defs")
% «.subst-trig» (to "subst-trig")
% «.edovs» (to "edovs")
% «.direcoes» (to "direcoes")
% «.edovs-defs» (to "edovs-defs")
% «.edo-2a-ordem» (to "edo-2a-ordem")
% «.edo-2a-ordem-cont» (to "edo-2a-ordem-cont")
% «.subst-trig-gab» (to "subst-trig-gab")
% «.edovs-gab-a» (to "edovs-gab-a")
% «.direcoes-gab» (to "direcoes-gab")
% «.edo-2a-ordem-gab» (to "edo-2a-ordem-gab")
% «.links» (to "links")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m221p2" "2022-1-C2-P2")
% (code-eevvideo "c2m221p2" "2022-1-C2-P2")
% (code-eevlinksvideo "c2m221p2" "2022-1-C2-P2")
% (find-c2m221p2video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L -- dofile "Lazy4.lua" -- (find-LATEX "Lazy4.lua")
%L dofile "Lazy5.lua" -- (find-LATEX "Lazy5.lua")
%L dofile "2022-1-C2-P2.lua" -- (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua")
%L dofile "Pict2e1.lua" -- (find-LATEX "Pict2e1.lua")
%L dofile "Pict2e1-1.lua" -- (find-LATEX "Pict2e1-1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
% (c3m202p1p 6 "questao-2")
% (c3m202p1a "questao-2")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m221p2p 1 "title")
% (c2m221p2a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.1}
\bsk
P2 (Segunda prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «lazy-defs» (to ".lazy-defs")
% (find-angg "LUA/Lazy4.lua" "EDOVSG")
%L -- output(out)
\pu
\newpage
% ____ _ _ _ _
% / ___| _ _| |__ ___| |_ | |_ _ __(_) __ _
% \___ \| | | | '_ \/ __| __| | __| '__| |/ _` |
% ___) | |_| | |_) \__ \ |_ | |_| | | | (_| |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__| \__|_| |_|\__, |
% |___/
% «subst-trig» (to ".subst-trig")
% (c2m221p2p 2 "subst-trig")
% (c2m221p2a "subst-trig")
{\bf Questão 1}
% (c2m202sta "title")
% (c2m202sta "title" "Aula nn: substituição trigonométrica")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-angg ".emacs" "c2-2020-2")
%L namedang("STRIGintro", nil, [[
%L \begin{array}{rcl}
%L <MV2_> &=& <MV2> \\ \\[-5pt]
%L <RC_> &=& \D <RC> \\
%L \end{array}
%L ]])
%L STRIGintro:sa("STRIG"):output()
%L MV2_:sa("[MV2]"):output()
\pu
\def\S{\senθ}
\def\C{\cosθ}
\def\PS{(\S)}
\def\PC{(\C)}
\def\eqnp {\eqnpfull}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
\hbox{\T(Total: 2.5 pts)}
Isto é um exemplo de substituição trigonométrica:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{s^4 \sqrt{1-s^2}^{10}}
&\eqnp{1}& \D \intth{\PS^4 \sqrt{1-\PS^2}^{10} \C} \\
&=& \D \intth{\PS^4 \sqrt{\PC^2}^{10} \C} \\
&=& \D \intth{\PS^4 \PC^{10} \C} \\
&=& \D \intth{\PS^4 \PC^{11}} \\
\end{array}
$$
Alguns livros justificam essa mudança de variável dizendo só algo
como: ``seja $s=\senθ$; então $ds = \cosθ\,dθ$''.
Note que a gente não chega a resolver a integral -- a gente só
transforma a integral original, $\ints{s^4 \sqrt{1-s^2}^{10}}$, em
algo que é um pouco mais fácil de integrar.
\bsk
Justifique a igualdade \qeqnp{1} usando o $\ga{[MV2]}$.
Fórmulas:
%
$$\ga{STRIG}$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ ____ _____ ______
% | ____| _ \ / _ \ \ / / ___|
% | _| | | | | | | \ \ / /\___ \
% | |___| |_| | |_| |\ V / ___) |
% |_____|____/ \___/ \_/ |____/
%
% «edovs-defs» (to ".edovs-defs")
% (c2m221p2p 2 "edovs")
% (c2m221p2a "edovs")
% (c2m211edovsp 4 "campos-dirs")
% (c2m211edovsa "campos-dirs")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "trench")
% (find-trenchpage (+ 10 45) "2.2 Separable Equations")
%L namedang("EDOVSintro", "", [[
%L \begin{array}{rcl}
%L <EDOVSG_> &=& <EDOVSG> \\ \\[-5pt]
%L <SE1_> &=& <SE1:bmat()> \\
%L \end{array}
%L ]])
%L EDOVSintro:sa("FOO"):output()
\pu
% «edovs» (to ".edovs")
% (c2m221p2p 3 "edovs")
% (c2m221p2a "edovs")
{\bf Questão 2}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
\hbox{\T(Total: 3.5 pts)}
Todos os métodos pra resolver EDOs que eu conheço direito podem ser
expressos usando o `$[:=]$'. Por exemplo, digamos que a nossa EDO é:
%
$$f'(x) = \D -\frac{x}{f(x)} \qquad (*)$$
Se traduzirmos a $(*)$ pra notação antiga -- a que eu chamo de
``notação de físicos'' (sempre entre aspas!) no curso de Cálculo 3 --
ela vira:
%
$$\D \dydx = \D -\frac{x}{y},$$
Uma EDO com variáveis separáveis (obs: vou abreviar isso pra
``EDOVS''; obs 2: eu nunca vi ninguém mais usando essa abreviação) é
uma em que ``$\dydx$ pode ser expresso na forma $\frac{g(x)}{h(y)}$
com $g(x)$ dependendo só de $x$ e $h(y)$ dependendo só de $y$''. Pra
pegar um exemplo concreto, vamos definir $g(x)$ como $-2x$ e $h(y)$
como $2y$; aí temos
$\dydx = -\frac{x}{y} = \frac{-2x}{2y} = \frac{g(x)}{h(y)}$. O método
pra encontrar soluções de uma EDOVSs pode ser resumido na
``demonstração'' \ga{(EDOVSG)} à direita. Os passos desse método que
ficam implícitos são: 1) escolha uma primitiva $G(x)$ para $g(x)$; 2)
escolha uma primitiva $H(y)$ para $h(y)$; 3) escolha as constantes
$C_1$ e $C_2$; 4) defina $C_3$ como $C_2-C_1$; 4) escolha uma inversa
$H^{-1}(x)$ para a função $H(y)$ -- ela tem que obedecer
$H^{-1}(H(x)) = x$.
}\anothercol{
a) \B (1.0 pts) Qual é o resultado da substituição
$\ga{(EDOVSG)}\ga{[SE1]}$? Dica: ele deve terminar com algo como
$y = -\sqrt{25-x^2}$.
\ssk
b) \B (1.0 pts) Verifique que a função $f(x) = -\sqrt{25-x^2}$ é uma
solução para a EDO $\dydx = -\frac xy$.
\ssk
c) \B (1.0 pts) Verifique que essa solução passa pelos pontos
$(0,-5)$, $(3,-4)$ e $(4,-3)$.
\ssk
d) \B (0.5 pts) Verifique que se estivermos trabalhando só com
números reais então $f(10)$ não está definida -- ou seja, o domínio
dessa solução não é o $\R$ todo.
$$\scalebox{0.8}{$
\ga{FOO}
$}
$$
}}
\newpage
\newpage
% ____ _
% | _ \(_)_ __ ___ ___ ___ ___ ___
% | | | | | '__/ _ \/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | |_| | | | | __/ (_| (_) | __/\__ \
% |____/|_|_| \___|\___\___/ \___||___/
%
% «direcoes» (to ".direcoes")
% (c2m221p2p 4 "direcoes")
% (c2m221p2a "direcoes")
% (c2m221dp2p 2 "campos-de-direcoes")
% (c2m221dp2a "campos-de-direcoes")
{\bf Questão 3.}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\hbox{\T(Total: 1.0 pts)}
\ssk
Desenhe os campos de direções para as EDOs abaixo. Mais precisamente:
para cada um dos 25 pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$ calcule o valor
de $\dydx$ naquele ponto, interprete esse valor como um coeficiente
angular, e faça um tracinho com esse coeficiente angular centrado
naquele ponto $(x,y)$.
\msk
a) \B (0.5 pts) Faça isso para a EDO
%
$$\D \dydx = \frac 1 x.$$
b) \B (0.5 pts) Faça isso para a EDO
%
$$\D \dydx = \frac {x+y}{2}.$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ _ ____ _
% | ____|__| | ___ |___ \ __ _ ___ _ __ __| | ___ _ __ ___
% | _| / _` |/ _ \ __) / _` | / _ \| '__/ _` |/ _ \ '_ ` _ \
% | |__| (_| | (_) | / __/ (_| | | (_) | | | (_| | __/ | | | | |
% |_____\__,_|\___/ |_____\__,_| \___/|_| \__,_|\___|_| |_| |_|
%
{\bf Questão 4}
% «edo-2a-ordem» (to ".edo-2a-ordem")
% (c2m221p2p 5 "edo-2a-ordem")
% (c2m221p2a "edo-2a-ordem")
% (c2m212introp 12 "EDOs-chutar-testar")
% (c2m212introa "EDOs-chutar-testar")
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
\hbox{\T(Total: 3.0 pts)}
EDOs {\sl parecidas} com essa aqui
%
$$f''(x) + 7f'(x) + 10f(x) = 0 \qquad (*)$$
vão ser incrivelmente importantes nos cursos de Física. Algumas delas
descrevem ``oscilações amortecidas'', como esta figura:
\vspace*{-0.25cm}
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2/osc-amort.pdf")
$$\includegraphics[width=4cm]{2022-1-C2/osc-amort.pdf}$$
\vspace*{-0.25cm}
A maioria dos livros ``normais'' de EDOs ensinam um modo de resolver a
$(*)$ que eu acho muito árido. Nesta questão você vai ver um método
pra resolver EDOs desse tipo que eu acho bem mais legal, e que eu
aprendi num curso de Álgebra Linear. Nesse método a gente trata
funções como vetores (de dimentão infinita) e a derivada como uma
transformação linear (uma ``matriz de dimensão infinita''). Quando eu
precisar enfatizar que estou ``em Álgebra Linear'' eu vou escrever $f$
e $D$ ao invés de $f(x)$ e $\ddx$.
}\anothercol{
Isto aqui é uma demonstração quase completa do modo rápido de
encontrar as ``soluções básicas'' e a ``solução geral'' da EDO
$(*)$... ela é ``quase completa'' no sentido de que ela é o que as
pessoas escrevem no quadro quando explicam esse método, mas sem a
parte falada.
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
f''(x)+7f'(x)+10f(x) &=& 0 \\
\ddx \ddx f(x) + 7 \ddx f(x)+10f(x) &=& 0 \\
(\ddx \ddx + 7 \ddx + 10) f(x) &=& 0 \\
(D^2 + 7D + 10)f &=& 0 \\
(D^2 + (2+5)D + (2·5))f &=& 0 \\
(D+2)(D+5)f &=& 0 \\
(D+2)(D+5)e^{-5x} &=& (D+2)(De^{-5x}+5e^{-5x}) \\
&=& (D+2)(-5e^{-5x}+5e^{-5x}) \\
&=& (D+2)0 \\
&=& 0 \\
(D+5)(D+2)f &=& 0 \\
(D+5)(D+2)e^{-2x} &=& (D+5)(De^{-2x}+2e^{-2x}) \\
&=& (D+5)(-2e^{-2x}+2e^{-2x}) \\
&=& (D+5)0 \\
&=& 0 \\
(D^2 + 7D + 10)(γe^{-2x} + δe^{-5x}) &=& 0 \\
\end{array}
$}
$$
(Continua...)
}}
\newpage
% «edo-2a-ordem-cont» (to ".edo-2a-ordem-cont")
% (c2m221p2p 6 "edo-2a-ordem-cont")
% (c2m221p2a "edo-2a-ordem-cont")
% (c2m212introp 12 "EDOs-chutar-testar")
% (c2m212introa "EDOs-chutar-testar")
{\bf Questão 4 (cont.)}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
...e isto aqui é uma versão mais curta da demonstração da página
anterior:
$$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
f''(x)+7f'(x)+10f(x) &=& 0 \\
(D^2 + 7D + 10)f &=& 0 \\
(D^2 + (2+5)D + (2·5))f &=& 0 \\
(D^2 + 7D + 10)(γe^{-2x} + δe^{-5x}) &=& 0 \\
\end{array}
$}
$$
Aqui que você já tem uma certa prática com problemas de ``encontre
a substituição certa'' você vai fazer um problema de ``encontre a
generalização certa''. Vou explicar ele em português.
\msk
Você vai definir [EDOLP] -- de ``EDO linear, caso particular'' --
como sendo o bloco de quatro igualdades acima. Faça isso na
notação certa, que é algo como ``[EDOLP] = ?''.
\msk
Depois disso você vai procurar a ``generalização certa'' da
[EDOLP], e na ``substituição certa'' que transforma ela na
[EDOLP]. O seu objetivo é chegar em algo da forma [EDOLG][S] =
[EDOLP]; o nome ``[EDOLG]'' vem de ``EDO linear, caso geral''. É
difícil chegar na [EDOLG] direto, então vou dar instruções pra
você chegar lá por chutar-e-testar.
}\anothercol{
Chame as suas tentativas de [EDOLG1], [EDOLG2], etc, e as suas
substituições de [S1], [S2], etc. O seu objetivo é chegar numa
[EDOLG${}_n$] que não tenha mais os números 2, 5, 7 e 10; eles devem
ter sido substuídos ou por variáveis ou por expressões que dependem
dessas variáveis.
\msk
O seu objetivo {\sl final} é chegar num caso em que [S] seja só isto
aqui:
%
$$\text{[S]} = \bmat{α:=2 \\ β:=5}$$
E isto valha:
%
$$\text{[EDOLG]} \bmat{α:=2 \\ β:=5} \text{``=''} \text{[EDOLP]}$$
Eu pus o \text{``=''} entre aspas porque você vai não chegar a algo
exatamente igual à [EDOLP], só em algo equivalente à EDOLP... como o
que a gente fez nos exercícios de ``justifique esse passo''.
\msk
Quem for fazer a VS vai ver como nos últimos semestres a gente usou
essa técnica pra aprender a demonstrar algumas fórmulas das tabelas
de integração dos livros -- a gente começava com um caso particular
e ``generalizava ele do jeito certo'' depois.
}}
\newpage
% ____ _____ _ _ _
% / ___|_ _| |_ _ __(_) __ _ __ _ __ _| |__
% \___ \ | | | __| '__| |/ _` | / _` |/ _` | '_ \
% ___) || | | |_| | | | (_| | | (_| | (_| | |_) |
% |____/ |_| \__|_| |_|\__, | \__, |\__,_|_.__/
% |___/ |___/
%
% «subst-trig-gab» (to ".subst-trig-gab")
% (c2m221p2p 7 "subst-trig-gab")
% (c2m221p2a "subst-trig-gab")
{\bf Questão 1: gabarito}
{\footnotesize (Com vários chutes e testes)}
% (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua" "subst-trig")
%L TRIGSOLUTION:sa("TRIGSOLUTION"):output()
\pu
\bsk
$\scalebox{0.6}{$\ga{TRIGSOLUTION}$}$
\newpage
% _____ ____ _____ ______ _
% | ____| _ \ / _ \ \ / / ___| __ _ __ _| |__
% | _| | | | | | | \ \ / /\___ \ / _` |/ _` | '_ \
% | |___| |_| | |_| |\ V / ___) | | (_| | (_| | |_) |
% |_____|____/ \___/ \_/ |____/ \__, |\__,_|_.__/
% |___/
%
% «edovs-gab-a» (to ".edovs-gab-a")
% (c2m221p2p 8 "edovs-gab-a")
% (c2m221p2a "edovs-gab-a")
{\bf Questão 2: gabarito do item a}
% (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua" "edovs")
%L EDOVSa:sa("EDOVSa"):output()
\pu
\bsk
$\scalebox{0.5}{$\ga{EDOVSa}$}$
\newpage
% ____ _ _
% | _ \(_)_ __ ___ ___ ___ ___ ___ __ _ __ _| |__
% | | | | | '__/ _ \/ __/ _ \ / _ \/ __| / _` |/ _` | '_ \
% | |_| | | | | __/ (_| (_) | __/\__ \ | (_| | (_| | |_) |
% |____/|_|_| \___|\___\___/ \___||___/ \__, |\__,_|_.__/
% |___/
% «direcoes-gab» (to ".direcoes-gab")
% (c2m221p2p 9 "direcoes-gab")
% (c2m221p2a "direcoes-gab")
{\bf Questão 3: gabarito}
% (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Tracinhos-test")
%L V.__index.norm = function (v) return (v[1]^2 + v[2]^2)^0.5 end
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-2,-2), v(2,2))
%L tr = Tracinhos.new()
%L for y=2,-2,-1 do
%L for x=-2,2 do
%L tr:tracinho(v(x,y), 1, x)
%L end
%L end
%L tr.p:pgat("pN"):sa("direcoes item a"):output()
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-2,-2), v(2,2))
%L tr = Tracinhos.new()
%L for y=2,-2,-1 do
%L for x=-2,2 do
%L tr:tracinho(v(x,y), x+y, 2)
%L end
%L end
%L tr.p:pgat("pN"):sa("direcoes item b"):output()
\pu
\unitlength=15pt
a) $\dydx = \frac 1 x$:
%
$$\ga{direcoes item a}$$
\msk
b) $\dydx = \frac {x+y}{2}$:
%
$$\ga{direcoes item b}$$
\newpage
% _____ ____ ___ ____ _ _
% | ____| _ \ / _ \ |___ \ __ _ ___ _ __ __| | __ _ __ _| |__
% | _| | | | | | | | __) / _` |/ _ \| '__/ _` | / _` |/ _` | '_ \
% | |___| |_| | |_| | / __/ (_| | (_) | | | (_| | | (_| | (_| | |_) |
% |_____|____/ \___/ |_____\__,_|\___/|_| \__,_| \__, |\__,_|_.__/
% |___/
%
% «edo-2a-ordem-gab» (to ".edo-2a-ordem-gab")
% (c2m221p2p 10 "edo-2a-ordem-gab")
% (c2m221p2a "edo-2a-ordem-gab")
%
% (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua" "edo-2a-ordem")
%L EDO2aordem_EDOLG:sa("EDO2aordem_EDOLG"):output()
\pu
{\bf Questão 4: gabarito}
\bsk
$\scalebox{0.5}{$\ga{EDO2aordem_EDOLG}$}$
% «links» (to ".links")
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-P2 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-P2 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2p2"
% ee-tla: "c2m221p2"
% End: