|
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% (find-LATEX "2022-1-C2-der-fun-inv.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-1-C2-der-fun-inv.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-1-C2-der-fun-inv.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-der-fun-inv.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-der-fun-inv.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-1-C2-der-fun-inv"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-1-C2-der-fun-inv.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-1-C2-der-fun-inv")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf
% file:///tmp/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf
% file:///tmp/pen/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-der-fun-inv.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v {UbExpr1,UbExpr2,RAng1,RAngFormulas1}.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-1-C2-der-fun-inv" "2" "c2m221dfi" "c2df")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-DFIs» (to "defs-DFIs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-1-resps» (to "exercicio-1-resps")
% «.demonstracao-complicada» (to "demonstracao-complicada")
% «.o-jogo» (to "o-jogo")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m221dfi" "2022-1-C2-der-fun-inv")
% (code-eevvideo "c2m221dfi" "2022-1-C2-der-fun-inv")
% (code-eevlinksvideo "c2m221dfi" "2022-1-C2-der-fun-inv")
% (find-c2m221dfivideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "RAngFormulas1.lua" -- (find-LATEX "RAngFormulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\rq{\ColorRed{?}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «defs-DFIs» (to ".defs-DFIs")
% (c2m221dfip 3 "defs-DFIs")
% (c2m221dfia "defs-DFIs")
\def\realeqnp#1{\overset{\scriptscriptstyle(#1)}{=}}
\def\eqnp{\realeqnp}
\def\eqnp#1{=}
\sa{DFI sem parenteses}{
\begin{array}{lrcl}
\text{Se:} & f(g(x)) &\eqnp{1}& x \\
\text{Então:} & \ddx f(g(x)) &\eqnp{2}& \ddx x \\
&&\eqnp{3}& 1 \\
& \ddx f(g(x)) &\eqnp{4}& f'(g(x))g'(x) \\
& f'(g(x))g'(x) &\eqnp{5}& 1 \\
& g'(x) &\eqnp{6}& \D \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}}
\sa{DFI com parenteses}{\left( \ga{DFI sem parenteses} \right)}
\sa{[DFI]}{\ensuremath{[\text{DFI}]}}
\sa{DFI- sem parenteses}{
\begin{array}{lrcl}
\text{Se:} & f(g(x)) &\eqnp{1}& x \\
\text{Então:} & g'(x) &\eqnp{6}& \D \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}}
\sa{DFI- com parenteses}{\left( \ga{DFI- sem parenteses} \right)}
\sa{[DFI-]}{\ensuremath{[\text{DFI}^-]}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m221dfip 1 "title")
% (c2m221dfia "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.1}
\bsk
Aula 28: a derivada
da função inversa
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m221dfip 2 "introducao")
% (c2m221dfia "introducao")
{\bf Introdução}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
No curso de Cálculo 1 você deve ter visto uma fórmula para a derivada
da função inversa, e você deve ter visto que ela é sempre apresentada
com certas ``hipóteses''... tipo: ``se as condições tais e tais são
obedecidas então a derivada da função inversa é dada por esta formula
aqui: [bla]'' --- e fica implícito que quando essas condições não são
obedecidas a fórmula pode dar resultados errados. Dê uma olhada em:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 90 "3.6 Derivada da Função Inversa")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=90
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=90}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_rule
% https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_inverse_functions
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_rule}
}
\msk
Nós vimos --- por alto --- que existe uma versão do TFC1 pra funções
contínuas e uma outra, bem mais complicada, pra funções com
descontinuidades... e vimos que o TFC2 também tem várias versões, e
vimos que em muitas situações nós podemos fazer todas as contas que
nos interessam sem dizer explicitamente quais são os domínios das
nossas funções; se for necessário dizer os domínios nós podemos
descobrir os domínios certos no final, depois de fazer todas as
contas.
\msk
Em Cálculo 2 e Cálculo 3 é comum a gente fazer as contas primeiro e só
colocar os domínios e as ``condições necessárias'' no final. Neste PDF
eu vou fazer uma versão extrema disso: eu vou considerar que vocês só
vão ser capazes de entender bem as condições necessárias quando
tiverem bastante prática com as contas, então a gente vai sempre
começar ``chutando'' que as contas funcionam e ``testando'' elas
depois.
}\anothercol{
Nós vamos usar esta versão aqui da demonstração da fórmula da
derivada da função inversa (``DFI''):
%
$$\ga{DFI sem parenteses}$$
O modo natural de numerar cada uma das igualdades dela é este:
%
$$\def\eqnp{\realeqnp}
\ga{DFI sem parenteses}
$$
Por enquanto estamos fingindo que os domínios não importam e que as
nossas funções são deriváveis ``onde precisar''.
\msk
Se $f:A→B$ e $g:B→A$ então ``$f$ e $g$ são inversas'' quer dizer:
%
$$\begin{array}{cc}
& ∀a∈A.\;g(f(a)) = a \\
\text{e} & ∀b∈B.\;f(g(b)) = b \\
\end{array}
$$
A linha ``Se: $f(g(x))=x$'' diz que a nossa única hipótese
\ColorRed{explícita} é que $∀x∈\dom(g). f(g(x))=x$...
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m221dfip 3 "exercicio-1")
% (c2m221dfia "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[DFI]} &=& \ga{DFI com parenteses} \\ \\[-5pt]
\ga{[DFI-]} &=& \ga{DFI- com parenteses} \\
\end{array}
$$
Repare que \ga{[DFI]} é a demonstração da fórmula da derivada da
função inversa e \ga{[DFI-]} é só a fórmula da derivada da função
inversa, sem a demonstração toda... e, de novo, lembre que eu vou usar
uma versão muito reduzida das condições necessárias pra essa fórmula
valer.
Diga os resultados das substituições abaixo.
\bsk
a) $\ga{[DFI]} \bmat{f(y) := e^y \\
f'(y) := e^y \\
g(x) := \ln x \\
g'(x) := \ln' x \\
} = \rq$
}\anothercol{
\def\Sqrt{\text{sqrt}}
b) $\ga{[DFI-]} \bmat{f (y) := y^2 \\
f'(y) := 2y \\
g (x) := \Sqrt(x) \\
g'(x) := \Sqrt'(x) \\
} = \rq
$
\msk
c) $\ga{[DFI-]} \bmat{f (y) := \sen y \\
f'(y) := \cos y \\
g (x) := \arcsen(x) \\
g'(x) := \arcsen'(x) \\
} = \rq
$
\msk
d) $\ga{[DFI-]} \bmat{x := s \\
f (θ) := \sen θ \\
f'(θ) := \cos θ \\
g (s) := \arcsen(s) \\
g'(s) := \arcsen'(s) \\
} = \rq
$
\msk
e) $\ga{[DFI-]} \bmat{x := c\\
f (θ) := \cos θ \\
f'(θ) := -\sen θ \\
g (c) := \cos^{-1}(c) \\
g'(c) := (\cos^{-1})'(c) \\
} = \rq
$
\bsk
Repare que no item (b) eu usei `$\Sqrt(x)$' ao
invés de `$\sqrt{x}$'... isso é porque não há uma
notação boa pra derivada da raiz quadrada.
}}
\newpage
% «exercicio-1-resps» (to ".exercicio-1-resps")
% (c2m221dfip 4 "exercicio-1-resps")
% (c2m221dfia "exercicio-1-resps")
{\bf Exercício 1: respostas}
\msk
...ainda não digitei! Mas veja este PDF:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221dp1p 3 "underbraces")
% (c2m221dp1a "underbraces")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-dicas-pra-P1.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-dicas-pra-P1.pdf}
}
\ssk
\newpage
% «demonstracao-complicada» (to ".demonstracao-complicada")
% (c2m221dfip 5 "demonstracao-complicada")
% (c2m221dfia "demonstracao-complicada")
{\bf Uma demonstração complicada}
\def\casespn#1#2{
\begin{cases}
#1 & \text{quando $0<x$}, \\
#2 & \text{quando $x<0$} \\
\end{cases}}
% (c2m212intsp 8 "dfi")
% (c2m212intsa "dfi")
\def\eqnp#1{=}
\def\eqnp{\realeqnp}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\exp(\ln(x)) &\eqnp1& x \\
\ln' x &\eqnp2& 1/\exp'(\ln(x)) \\
&\eqnp3& 1/\exp(\ln(x)) \\
&\eqnp4& 1/x \\
\ddx f(g(x)) &\eqnp5& f'(g(x))g'(x) \\
\ddx \ln(-x) &\eqnp6& \ln'(-x)·-1 \\
&\eqnp7& 1/(-x)·-1 \\
&\eqnp8& 1/x \\
\ln|x| &\eqnp9& \casespn{\ln x}{\ln -x} \\
\ddx \ln|x| &\eqnp{10}& \ddx \casespn{\ln x}{\ln -x} \\
&\eqnp{11}& \casespn{\ddx \ln x}{\ddx \ln -x} \\
&\eqnp{12}& \casespn{1/x}{1/x} \\
&\eqnp{13}& 1/x \\
1/x &\eqnp{14}& \ddx \ln|x| \\
\D \Intx{a}{b}{\frac1x}
&\eqnp{15}& \D \difx{a}{b}{\big( \ln|x| \big)} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «o-jogo» (to ".o-jogo")
% (c2m221dfip 4 "o-jogo")
% (c2m221dfia "o-jogo")
{\bf Outro jogo}
% (c2m221isp 10 "exercicio-2-dica")
% (c2m221isa "exercicio-2-dica")
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11.5cm}\firstcol{
No final de maio nós usamos um jogo pra debugar
representações gráficas... esse aqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221isp 10)
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf#page=10
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf\#page=10}
}
\ssk
Agora nós vamos fazer algo parecido pra debugar {\sl demonstrações}.
Nesse jogo novo os objetivos do jogador $O$ vão ser 1) garantir que o
jogador $P$ sabe justificar cada passo da demonstração que ele propôs,
e 2) ajudar o jogador $P$ a decobrir erros, 3) ajudar o jogador $P$ a
descobrir passos da demonstração que são saltos ``grandes demais'', e
que ficariam mais claros se fosses reescritos como vários sub-passos.
\bsk
{\sl Falta digitar isso aqui!}
\msk
Os exemplos de jogadas que eu pus no quadro em 30/jun/2022 foram
estes:
\msk
% (find-pdf-page "~/2022.1-C2/C2-quadros.pdf" 42)
$O$: Porque $\realeqnp{2}$?
$P$: Pela \ga{[DFI]}.
$O$: Qual caso particular da \ga{[DFI]}?
$P$: (Aqui o jogador $P$ responde mostrando uma substituição em
detalhes: o resultado do exercício 1a)
$O$: Porque $\realeqnp{4}$?
$P$: Por $\exp(\ln(x))=x$ --- portanto $1/\exp(\ln(x))=1/x$.
}\anothercol{
{\bf Exercício 2.}
\ssk
a) Justifique a igualdade $\realeqnp{5}$.
Obs: aqui você pode responder com o nome de uma fórmula bem conhecida.
Alguém que não lembre essa fórmula bem pode pesquisar ela pelo nome e
encontrar várias explicações grandes sobre ela, {\sl usando várias
notações diferentes}, em livros e na internet.
\ssk
b) Justifique $\realeqnp{6}$.
c) Justifique $\realeqnp{7}$.
d) Justifique $\realeqnp{12}$.
\ssk
e) Justifique $\realeqnp{15}$.
Dicas: 1) a igualdade $\realeqnp{15}$ é consequência da igualdade
$\realeqnp{14}$; 2) aqui você vai ter que usar o TFC2! Encontre um
enunciado do TFC2 em algum lugar e mostre qual é a substituição que
você tem que usar pra obter $\realeqnp{15}$ a partir de
$\realeqnp{14}$.
\bsk
\sa{RM}{\ensuremath{[\text{RM}]}}
O item (f) abaixo é bem mais difícil ---
mas os livros fazem passos desse tipo a beça... $\frown$
\ssk
f) A igualdade $\realeqnp{11}$ é consequência de uma
``regra misteriosa'', \ga{RM}, que é ``óbvia''. Digamos que:
%
$$\ga{RM} \; = \;
\left(\ddx
\begin{cases}
f(x) & \text{quando $P(x)$} \\
g(x) & \text{quando $Q(x)$} \\
\end{cases}
= \rq
\right)
$$
Descubra qual é o `$\rq$' certo e descubra qual é a substituição
$\ga{RM}\,[??] = ???$ que justifica $\realeqnp{11}$.
}}
\newpage
\sa{[DFI]}{{
\sa{Mul(fp(g(x)),gp(x))}{f'(g(x)) · g'(x)}
\sa{f(g(x))}{f(g(x))}
\sa{fp(g(x))}{f'(g(x))}
\sa{gp(x)}{g'(x)}
\sa{x}{x}
\begin{array}{lrcl}
\text{Se:} & \ga{f(g(x))} &\eqnp{1}& \ga{x} \\
\text{Então:} & \frac{d}{d\ga{x}} \ga{f(g(x))} &\eqnp{2}& \frac{d}{d\ga{x}} \ga{x} \\
&&\eqnp{3}& 1 \\
& \frac{d}{d\ga{x}} \ga{f(g(x))} &\eqnp{4}& \ga{Mul(fp(g(x)),gp(x))} \\
& \ga{Mul(fp(g(x)),gp(x))} &\eqnp{5}& 1 \\
& \ga{gp(x)} &\eqnp{6}& \D \frac{1}{\ga{fp(g(x))}} \\
\end{array}
}}
\sa{[DFI][S1]}{{
\sa{Mul(fp(g(x)),gp(x))}{f'(\ln(x)) · g'(x)}
\sa{f(g(x))}{e^{g(x)}}
\sa{fp(g(x))}{f'(\ln(x))}
\sa{gp(x)}{g'(x)}
\sa{x}{x}
\begin{array}{lrcl}
\text{Se:} & \ga{f(g(x))} &\eqnp{1}& \ga{x} \\
\text{Então:} & \frac{d}{d\ga{x}} \ga{f(g(x))} &\eqnp{2}& \frac{d}{d\ga{x}} \ga{x} \\
&&\eqnp{3}& 1 \\
& \frac{d}{d\ga{x}} \ga{f(g(x))} &\eqnp{4}& \ga{Mul(fp(g(x)),gp(x))} \\
& \ga{Mul(fp(g(x)),gp(x))} &\eqnp{5}& 1 \\
& \ga{gp(x)} &\eqnp{6}& \D \frac{1}{\ga{fp(g(x))}} \\
\end{array}
}}
$$\ga{[DFI]}$$
$$\ga{[DFI][S1]}$$
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-der-fun-inv veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-der-fun-inv pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2df"
% ee-tla: "c2m221dfi"
% End: