|
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% (find-LATEX "2022-1-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-1-C3-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-1-C3-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-VSB.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-1-C3-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-1-C3-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-1-C3-P1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-1-C3-P1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf
% file:///tmp/2022-1-C3-P1.pdf
% file:///tmp/pen/2022-1-C3-P1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-1-C3-P1" "3" "c3m221p1" "c3p1")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.barranco-defs» (to "barranco-defs")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-1-gab» (to "questao-1-gab")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m221p1" "2022-1-C3-P1")
% (code-eevvideo "c3m221p1" "2022-1-C3-P1")
% (code-eevlinksvideo "c3m221p1" "2022-1-C3-P1")
% (find-c3m221p1video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=4pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
% (c3m202p1p 6 "questao-2")
% (c3m202p1a "questao-2")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m221p1p 1 "title")
% (c3m221p1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.1}
\bsk
P1 (Primeira prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «barranco-defs» (to ".barranco-defs")
% (c3m221p1p 3 "barranco-defs")
% (c3m221p1a "barranco-defs")
% (c3m221nfp 26 "barranco")
% (c3m221nfa "barranco")
%\printbibliography
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(9,9))
%L barranco = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L 4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L 4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L 3 3 3 3 4 4 4 4 4
%L 2 2 2 2 3 4 4 4 4
%L 1 1 1 1 2 3 4 4 4
%L 0 0 0 0 1 2 3 4 4
%L 0 0 0 0 0 1 2 2 2
%L 0 0 0 0 0 0 1 1 1
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L barranco_spec0 = [[
%L (0,7)--(3,7)--(7,3)--(8,3)
%L (3,7)--(3,3) (6,0)--(6,2) (7,2)--(8,2)
%L (0,3)--(3,3)--(6,0)--(8,0) ]]
%L barranco_spec = barranco_spec0 -- .. [[ (7,3)--(6,2) ]]
%L barranco_spec = barranco_spec0 .. [[ (7,3)--(6,2)--(7,2) ]]
%L barranco_spec2 = barranco_spec0 .. [[ (7,2)--(6,3)--(6,2) (6,3)--(7,3)--(7,2) ]]
%L barranco:topict( ):sa("barranco"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec ):sa("barranco com linhas"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec2):sa("barranco com linhas 2"):output()
%L
%L barranco_Fa = [[ (3,3)--(3,7)--(7,3)--(6,2)--(6,0)--(3,3) ]]
%L barranco_Fb = [[ (8,2)--(6,2)--(7,3)--(8,3) ]]
%L barranco:topict(barranco_Fa):sa("barranco Fa"):output()
%L barranco:topict(barranco_Fb):sa("barranco Fb"):output()
%L
%L makedv = function (...)
%L return PictList({"\\def\\closeddot{\\circle*{0.4}}"})
%L :adddv(...)
%L :prethickness("1.0pt"):precolor("Blue4")
%L end
%L dv_item_d = makedv(
%L {6, 2.5, 1,1},
%L {6.5,2.5,},
%L {7, 2.5, 0,2})
%L dv_item_e = makedv(
%L {6.5, 2.5},
%L {8.0, 1.0},
%L {7.5, 1.5},
%L {7.0, 2.0},
%L {6.75, 2.25},
%L {5.0, 4.0},
%L {5.5, 3.5},
%L {6.0, 3.0},
%L {6.25, 2.75}
%L )
%L dv_item_f = makedv(
%L {2,1},
%L {2,5, 0,1},
%L {5,3, 1,1},
%L {6,6},
%L {7,1, 0,1},
%L {7,2.5, 0,2})
%L barranco:topict(barranco_spec, dv_item_d)
%L :sa("barranco item d"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec, dv_item_e)
%L :sa("barranco item e"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec, dv_item_f)
%L :sa("barranco item f"):output()
\pu
\def\barra {\ga{barranco}}
\def\barra {\scalebox{0.9}{$\ga{barranco}$}}
\def\barrl {\scalebox{0.9}{$\ga{barranco com linhas}$}}
\def\barrFa{\scalebox{0.9}{$\ga{barranco Fa}$}}
\def\barrFb{\scalebox{0.9}{$\ga{barranco Fb}$}}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c3m221p1p 99 "questao-1")
% (c3m221p1a "questao-1")
{\bf Questão 1.}
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa "variaveis-novas")
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa "derivada-direcional")
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
\T(Total: 7.0 pts)
Quando nós fizemos os exercícios do barranco -- reproduzido na próxima
página -- nós vimos que as duas faces mais complicadas dele eram a) a
face que continha os pontos $(3,5,2)$, $(4,5,3)$ e $(3,6,3)$ e b) a
face que continha os pontos $(7,2,2)$, $(8,2,2)$ e $(7,3,4)$. Vou
chamar essas faces de $F_a$ e $F_b$ e usar os mesmos símbolos pras
funções dos planos associados a elas: quando $(x,y)∈F_a$ temos
$z(x,y)=F_a(x,y)$ e quando $(x,y)∈F_b$ temos $z(x,y)=F_b(x,y)$.
\msk
a) \B(0.2 pts) Dê a equação do plano $F_a(x,y)$.
\ssk
b) \B(0.2 pts) Dê a equação do plano $F_b(x,y)$.
\ssk
c) \B(2.0 pts) Mostre em qual região do barranco os numerozinhos obedecem
$z=F_a(x,y)$ e em qual região eles obedecem $z=F_b(x,y)$. As faces
$F_a$ e $F_b$ têm uma aresta em comum?
\ssk
d) \B(0.6 pts) Sejam $P_0=(6,2.5)$, $P_1=(6.5,2.5)$ e $P_2=(7,2.5)$.
Descubra - no olhômetro mesmo - quem são $z_x$ e $z_y$ nos pontos
$P_0$, $P_1$ e $P_2$.
\ssk
e) \B(2.0 pts) O Bortolossi define a derivada direcional por essa
fórmula aqui:
%
$$\frac{∂f}{∂𝐛v}(𝐛p) =
\lim_{t→0} \frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}
$$
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa "derivada-direcional")
}\anothercol{
Calcule
%
$$\frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}
$$
\msk
quando $𝐛p=P_1$ e $𝐛v=\VEC{0.5,-0.5}$, para os seguintes valores de
$t$: $t=3$, $t=2$, $t=1$, $t=0.5$, $t=-3$, $t=-2$, $t=-1$, $t=-0.5$.
\msk
f) \B(2.0 pts) Lembre que o gradiente de uma função de $\R^2$ em $\R$
é definido como $\Vec{∇}G(x,y) = \VEC{G_x(x,y), G_y(x,y)}$. Em
``notação de físicos'' isso vira $\Vec{∇}z = \VEC{z_x,z_y}$, e a nossa
convenção pra notação pra desenhar vetores gradientes é que cada
$\Vec{∇}G(x,y)$ é desenhado como $G(x,y) + \Vec{∇}G(x,y)$. Represente
em um dos diagramas de numerozinhos da próxima página $\Vec{∇}F$ para
estes valores de $(x,y)$: $(2,1)$, $(2,5)$, $(5,3)$, $(6,6)$, $(7,1)$,
$(7,2.5)$.
}}
\newpage
\def\barra{\ga{barranco}}
\def\barra{\scalebox{0.9}{$\ga{barranco}$}}
\def\barrl{\scalebox{0.9}{$\ga{barranco com linhas}$}}
$\begin{array}{rcl}
\barra & \barra & \barra \\
\barra & \barra & \barra \\
\end{array}
$
\newpage
% «questao-1-gab» (to ".questao-1-gab")
% (c3m221p1p 4 "questao-1-gab")
% (c3m221p1a "questao-1-gab")
% (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test6")
{\bf Questão 1: gabarito (muito incompleto)}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Dois modos de dividir o barranco em faces:
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\ga{barranco com linhas} &
\ga{barranco com linhas 2} \\
\end{array}
$}
$
\msk
Eu prefiro o primeiro modo porque ele tem
uma face a menos, mas vou aceitar respostas
que usavam o segundo modo.
As faces $F_a$ e $F_b$ são:
\msk
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{rcl}
\ga{barranco Fa} &
\ga{barranco Fb} \\
\end{array}
$}
$
\msk
a) $F_a(x,y) = x+y-6$
b) $F_b(x,y) = 2y-2$
c) Veja as figuras acima.
d) Em $P_0=(6,2.5)$ temos $z=2.5$, $z_x=1$, $z_y=1$;
Em $P_1=(6.5,2.5)$ temos $z=3$, e nesse ponto $z_x$ e $z_y$ não
existem;
Em $P_2=(7,2.5)$ temos $z=3$, $z_x=0$, $z_y=2$.
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
Item d: $\ga{barranco item d}$
Item e: $\ga{barranco item e}$
Item f: $\ga{barranco item f}$
}}
\newpage
{\bf Questão 2.}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa "variaveis-novas")
% (find-sthompsonpage (+ 11 66) "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-sthompsontext (+ 11 66) "INTRODUCING A USEFUL DODGE")
\vspace*{-0.5cm}
\T(Total: 3.0 pts)
No capítulo VI o Thompson calcula $\ddx((x^2 + c) + (ax^4 + b))$
organizando as contas mais ou menos desta forma:
$$\begin{array}{rcl}
y &=& (x^2 + c) + (ax^4 + b) \\
\frac{dy}{dx} &=& \frac{d((x^2+c) + (ax^4+b))}{dx} \\
&=& \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\
&=& 2x + 4ax^3 \\
\end{array}
$$
E no capítulo IX -- ``Introducing a useful dodge'' -- o Thompson
mostra como a gente pode simplificar contas como essa introduzindo
``variáveis dependentes'' novas... por exemplo, $w = x^2+c$. Além
disso ele trata $dy$ e $dw$ como variáveis que dependem de $x$ e $dy$.
Use estes truques pra calcular $\frac{dy}{dx}$ quando:
%
$$ y = \sqrt { \D \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} }
\sqrt[3]{ \D \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2} }
$$
}\anothercol{
{\bf Gabarito}
Veja o livro do Thompson! Ó:
\ssk
{\footnotesize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 66) "IX. Introducing a Useful Dodge")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=81
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=81}
}
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C3-P1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C3-P1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3p1"
% ee-tla: "c3m221p1"
% End: