|
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% (find-LATEX "2022-2-C2-fracoes-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C2-fracoes-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C2-fracoes-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-fracoes-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-fracoes-parciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C2-fracoes-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C2-fracoes-parciais")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% file:///tmp/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-fracoes-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C2-fracoes-parciais" "2" "c2m222fp" "c2fp")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.lua» (to "lua")
% «.contas-sem-vai-um» (to "contas-sem-vai-um")
% «.div-polis» (to "div-polis")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.derivadas-formais» (to "derivadas-formais")
% «.together» (to "together")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-4a» (to "exercicio-4a")
% «.exercicio-4a-2» (to "exercicio-4a-2")
% «.exercicio-4b» (to "exercicio-4b")
% «.exercicio-4c» (to "exercicio-4c")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m222fp" "2022-2-C2-fracoes-parciais")
% (code-eevvideo "c2m222fp" "2022-2-C2-fracoes-parciais")
% (code-eevlinksvideo "c2m222fp" "2022-2-C2-fracoes-parciais")
% (find-c2m222fpvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\together {\mathsf{together}}
\def\togetherp#1{\mathsf{together}\left(#1\right)}
\def\apart {\mathsf{apart}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m222fpp 1 "title")
% (c2m222fpa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.2}
\bsk
Aula 9: Frações Parciais
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% _ _ _
% | | (_)_ __ | | _____
% | | | | '_ \| |/ / __|
% | |___| | | | | <\__ \
% |_____|_|_| |_|_|\_\___/
%
% «links» (to ".links")
% (c2m222fpp 2 "links")
% (c2m222fpa "links")
% (c2m212fpa "title")
% (c2m212fpa "title" "Aula nn: frações parciais")
{\bf Links}
% (c2m202itp 2 "div-polis")
% (c2m202it "div-polis")
% (c2m221dfip 5 "demonstracao-complicada")
% (c2m221dfia "demonstracao-complicada")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "frações parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Frações Parciais")
Tanto o Leithold quanto o Daniel Miranda
têm seções sobre frações parciais.
A seção do Leithold é a 9.5.
A do Miranda é a 8.1:
\ssk
{\scriptsize
% (find-dmirandacalcpage 240 "8.1 Frações Parciais")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=240
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=240}
}
\msk
A idéia de frações parciais que vai ser
mais importante pra outras matérias é que
operações como polinômios são como
operações sobre números ``sem vai um''.
Tem figuras (manuscritas) sobre isso aqui:
% (find-angg ".emacs" "c2q191")
% (find-angg ".emacs" "c2q191" "Frações parciais")
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% (find-angg ".emacs" "c2q192" "funções racionais")
% (c2q191 26 "20190517" "Frações parciais; truques com polinômios")
% (c2q192 43 "20190913 gde aula 9: ...parte 2: truques com polinômios, Heaviside")
\ssk
{\scriptsize
% http://angg.twu.net/2019.1-C2/2019.1-C2.pdf#page=26
\url{http://angg.twu.net/2019.1-C2/2019.1-C2.pdf\#page=26}
% http://angg.twu.net/2019.2-C2/2019.2-C2.pdf#page=43
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C2/2019.2-C2.pdf\#page=43}
}
% «lua» (to ".lua")
% (c2m202itp 2 "div-polis")
% (c2m202it "div-polis")
\newpage
% «contas-sem-vai-um» (to ".contas-sem-vai-um")
% (c2m222fpp 3 "contas-sem-vai-um")
% (c2m222fpa "contas-sem-vai-um")
% (c2m202fpp 6 "contas-sem-vai-um")
% (c2m202fp "contas-sem-vai-um")
{\bf Slogan: contas sem ``vai um'' podem ser traduzidas
pra contas com polinômios.}
\ssk
O que mais nos interessa pra Frações Parciais
é \ColorRed{divisão com resto}. Exemplo:
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf")
\includegraphics[width=11cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_1.pdf}
\newpage
% «div-polis» (to ".div-polis")
% (c2m222fpp 4 "div-polis")
% (c2m222fpa "div-polis")
% (c2m202fpp 7 "div-polis")
% (c2m202fp "div-polis")
...e tradução do exemplo para polinômios:
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf")
\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_2.pdf}
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf")
\includegraphics[height=3cm]{2020-1-C2/20201118_C2_div_com_resto_3.pdf}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m222fpp 5 "exercicio-1")
% (c2m222fpa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\sa{[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa {RC} {\ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)}
\sa{(RC)}{\left(\ga{RC}\right)}
Algumas consequências da regra da cadeia...
%
$$\ga{[RC]} \;=\; \ga{(RC)}$$
Obtenha os seguintes casos particulares da \ga{[RC]}:
\msk
a) $g(x) = 2x$
b) $g(x) = 2x+3$
c) $g(x) = x+3$
d) $g(x) = x+3$, $f(x)=\ln x$
e) $g(x) = -x$
f) $g(x) = -x$, $f(x) = \ln x$
g) $g(x) = -x+200$, $f(x) = \ln x$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m222fpp 6 "exercicio-2")
% (c2m222fpa "exercicio-2")
% (c2m201fracparcp 1 "title")
% (c2m201fracparc "title")
% (c2m202fpp 2 "exercicio-1")
% (c2m202fp "exercicio-1")
{\bf Exercício 2.}
\msk
a) $\D \intx{\frac{1}{3x}} = \ColorRed{?}$
\ssk
b) $\D \intx{\frac{1}{3x+4}} = \ColorRed{?}$
\ssk
c) $\D \intx{\frac{2}{3x+4}} = \ColorRed{?}$
\ssk
d) $\D \intx{\frac{a}{bx+c}} = \ColorRed{?}$
\newpage
% «derivadas-formais» (to ".derivadas-formais")
% (c2m222fpp 7 "derivadas-formais")
% (c2m222fpa "derivadas-formais")
{\bf Derivadas formais (de novo)}
Todas estas igualdades são verdadeiras,
mas se tentarmos formalizar elas com
todos os detalhes vamos ver que várias delas
falam de funções com domínios diferentes...
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
\ddx \ln x &=& \frac1x \\
\ddx \ln (-x) &=& \frac1x \\
\ddx \ln |x| &=& \frac1x \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{rcl}
\intx{\frac1x} &=& \ln(x) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(x) + C \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(-x) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(-x) + C \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(|x|) \\
\intx{\frac1x} &=& \ln(|x|) + C \\
\intx{\frac1x} &=&
\begin{cases}
\ln(-x) + C_1 & \text{quando $x<0$}, \\
\ln(x) + C_2 & \text{quando $x>0$} \\
\end{cases} \\
\end{array}
$$
\newpage
% _____ _ _
% |_ _|__ __ _ ___| |_| |__ ___ _ __
% | |/ _ \ / _` |/ _ \ __| '_ \ / _ \ '__|
% | | (_) | (_| | __/ |_| | | | __/ |
% |_|\___/ \__, |\___|\__|_| |_|\___|_|
% |___/
%
% «together» (to ".together")
% (c2m222fpp 8 "together")
% (c2m222fpa "together")
% (c2m212fpp 3 "together")
% (c2m212fpa "together")
% (c2m202fpp 3 "together")
% (c2m202fp "together")
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_2.pdf}
% (find-es "sympy" "tut-apart")
% (find-es "sympy" "tut-together")
% (find-es "maxima" "partial-fractions")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-isympy)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-isympy)
%T f = 1/(x+1) + 1/(x-1)
%T f
%T g = together(f)
%T g
%T apart(g)
%T
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T f : 2/(x+3) + 4/(x-5);
%T g : ratsimp(f);
%T ff : partfrac(g, x);
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m222fpp 9 "exercicio-3")
% (c2m222fpa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
\msk
a) $\D \togetherp{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}} = \ColorRed{?}$
\ssk
b) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}} = \ColorRed{?}$
\ssk
c) $\D \togetherp{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c}} = \ColorRed{?}$
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf")
%\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_3.pdf}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m222fpp 10 "exercicio-4")
% (c2m222fpa "exercicio-4")
% (c2m212fpp 5 "exercicio-3")
% (c2m212fpa "exercicio-3")
{\bf Exercício 4.}
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf")
\includegraphics[height=7cm]{2020-1-C2/20201112_C2_fracoes_parciais_4.pdf}
\newpage
% «exercicio-4a» (to ".exercicio-4a")
% (c2m222fpp 11 "exercicio-4a")
% (c2m222fpa "exercicio-4a")
% (c2m212fpp 6 "exercicio-3-maxima")
% (c2m212fpa "exercicio-3-maxima")
% (find-es "maxima" "partial-fractions")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (a)}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T f1 : A/(x-a) + B/(x-b);
%T f2 : ratsimp(f1);
%T (f1 = f2);
%T f3 : (c*x+d) / (x^2+e*x+f);
%T fs : [e=-a-b, f=a*b, c=A+B, d=-A*b-a*B];
%T f4 : subst(fs, f3);
%T f2 - f4;
%T **
%T g1 : (2*x + 3) / (x^2 - 7*x + 10)$
%T g2 : partfrac(g1, x)$
%T (g1 = g2);
%T g2;
%T f1;
%T gs : [b=5, B=13/3, a=2, A=-7/3];
%T subst(gs, f1);
%T ratsimp(subst(gs, f1) - g1);
\sa{f1}{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}}
\sa{f1.5}{\frac{A(x-b)}{(x-a)(x-b)} + \frac{B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f1.6}{\frac{A(x-b) + B(x-a)}{(x-a)(x-b)}}
\sa{f2}{\frac {(A+B)x + (-Ab-Ba)} {x^2 + (-a-b)x + ab}}
\sa{f3}{\frac {cx+d} {x^2+ex+f}}
\sa{g1}{\frac {2x+3} {x^2-7x+10}}
\sa{g2}{\frac {2x+3} {(x-2)(x-5)}}
\sa{g3}{\frac {A(x-2)} {(x-2)(x-5)} + \frac {B(x-5)} {(x-2)(x-5)}}
\msk
a) $\scalebox{1.0}{$
\begin{array}[t]{rcl}
\ga{f1} &=& \ga{f3} \\[7pt]
\ga{f1} &=& \ga{f1.5} \\[6pt]
&=& \ga{f1.6} \\[6pt]
&=& \ga{f2} \\[7pt]
c &=& A+B \\
d &=& -Ab-Ba \\
e &=& -a-b \\
f &=& ab \\[15pt]
\end{array}
$}
$
\newpage
% «exercicio-4a-2» (to ".exercicio-4a-2")
% (c2m222fpp 12 "exercicio-4a-2")
% (c2m222fpa "exercicio-4a-2")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (a), cont...}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Dá pra gente reescrever isso usando o `$[:=]$':
%
$$\begin{array}{l}
\left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \right)
\bsm{ c:=A+B \\ d:=-Ab-Ba \\ e:=-a-b \\ f:=ab} \\[15pt]
= \left( \ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2} \right),
\end{array}
$$
e sabemos que esta igualdade é verdade:
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f2}$$
então isto aqui
%
$$\begin{array}{rcl}
c &=& A+B \\
d &=& -Ab-Ba \\
e &=& -a-b \\
f &=& ab \\
\end{array}
$$
é \ColorRed{uma} solução para a equação
%
$$\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f3} \;\; ...$$
mas não sabemos se é a \ColorRed{única} solução!
}\anothercol{
Sempre dá pra escrever soluções de equações
usando o `$[:=]$'. Por exemplo, as duas soluções
da equação
%
$$ (x-2)(x-5) = 0:$$
São:
%
$$\begin{array}{l}
\left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=2] \; = \\
\left( (2-2)(2-5)=0 \right) \\
\left( (x-2)(x-5)=0 \right) [x:=5] \; = \\
\left( (5-2)(5-5)=0 \right) \\
\end{array}
$$
\ColorRed{Nenhum} livro ``\ColorRed{básico}'' define
``solução de uma equação'' desse jeito ---
como ``a substituição que transforma a
equação numa igualdade verdadeira'' ---
mas eu acho isso um bom modo de
entender o que são ``equações'' e
``soluções''...
\msk
Ah, note que eu não fiquei repetindo a
condição ``as suas fórmulas para $c,d,e,f$
não podem conter `$x$'\,'' o tempo todo...
eu deixei isso implícito. \quad \smile
}}
\newpage
% «exercicio-4b» (to ".exercicio-4b")
% (c2m222fpp 13 "exercicio-4b")
% (c2m222fpa "exercicio-4b")
{\bf Exercício 4: uma solução pro item (b)}
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Temos duas soluções para
%
$$(x-a)(x-b) = x^2-7x+10:$$
uma é $a=2$ e $b=5$, e a outra é $a=5$ e $b=2$.
Lembre que Cálculo 2 é sobre \ColorRed{chutar} e \ColorRed{testar}.
A gente pode chutar que $a=5$, $b=2$, e que
$c,d,e,f$ são os que a gente obtém pelo
item (a), e aí ver se isso nos leva a uma
solução...
\msk
(Obs: isso funciona!!!)
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-4c» (to ".exercicio-4c")
% (c2m222fpp 14 "exercicio-4c")
% (c2m222fpa "exercicio-4c")
% (c2m212fpp 9 "exercicio-3c")
% (c2m212fpa "exercicio-3c")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 246 "8.1.2 Fatores quadráticos")
% (find-dmirandacalcpage 251 "Exercícios")
{\bf Exercício 4: item (c)}
Seja [PFP] esta igualdade aqui -- o
``princípio por trás das frações parciais'':
%
$$\text{[PFP]} \;\;=\;\;
\left(\ga{f1} \;\;=\;\; \ga{f1.6}
\right)
$$
\msk
c) Resolva o exercício 8.7.2 do livro do Miranda --
\ssk
{\scriptsize
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=251}
}
\ssk
\def\rq{\ColorRed{?}}
e depois mostre qual é a substituição da forma
%
$$\text{[PFP]} \bsm{a:=\rq \\ b:=\rq \\ A:=\rq \\ B:=\rq}
$$
que ``está por trás'' da sua solução.
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m222fpp 15 "exercicio-5")
% (c2m222fpa "exercicio-5")
% (c2m201fracparcp 8 "exercicio-4")
% (c2m201fracparc "exercicio-4")
{\bf Exercício 5.}
\ssk
Use estas idéias para integrar:
$$\intx{\frac{2x^3 + 7x^2 + 7x + 3}{x+2}} \;\; = \;\; ?$$
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m222fpp 16 "exercicio-6")
% (c2m222fpa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
\ssk
O que acontece nos casos em que ``teria vai um''?
\ssk
a) Tente fazer a divisão com resto de $x^3$ por $x+2$.
Mais precisamente, encontre um polinômios $R(x)$ e $Q(x)$ tais que
$(x^3) = Q(x) · (x+2) + R(x)$ e $R(x)$ é no máximo de grau 1.
Teste a sua resposta!
\ssk
b) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ pelo método acima.
Teste a sua resposta derivando a sua antiderivada para $\frac{x^3}{x+2}$.
\ssk
c) Calcule $\intx{\frac{x^3}{x+2}}$ fazendo a substituição $u=x+2$.
Você deve obter o mesmo resultado que na (b).
\bsk
d) Calcule $\intx{\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}}$ por frações parciais.
\newpage
{\bf Dica importante}
\ssk
Lembre que uns dos meus slogans é
``eu só vou corrigir os sinais de igual''...
No slide ?? a igualdade mais importante é a da última linha.
Nós vamos usá-la assim, pra transformar a integral original
em algo fácil de integrar:
\msk
% (find-fline "~/LATEX/2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf")
\includegraphics[height=4cm]{2020-1-C2/20201119_C2_div_com_resto_4.pdf}
\newpage
% «P1-2020.1» (to ".P1-2020.1")
% (c2m202fpp 11 "P1-2020.1")
% (c2m202fp "P1-2020.1")
{\bf Uma questão da P1 de 2020.1}
A questão 3 da P1 de 2020.1,
\ssk
% (c2m201p1p 5 "questao-3")
% (c2m201p1 "questao-3")
% (c2m201p1p 9 "gabarito-3a")
% (c2m201p1a "gabarito-3a")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2-P1.pdf}
\ssk
era de frações parciais, e eu pus nesse PDF um gabarito
parcial dela, que não inclui nem as contas da divisão de
polinômios nem a verificação de que a nossa integral
está certa. Faça a questão, incluindo a parte que
não está no gabarito.
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-fracoes-parciais veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-fracoes-parciais pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2fp"
% ee-tla: "c2m222fp"
% End: